Алгоритмы статистического моделирования решений уравнений эллиптического и параболического типа

Содержание
Введение 5
1 Алгоритмы статистического моделирования для решения уравнений эллиптического типа 16
1.1 Случайные блуждания внутри области и моделирование марковских цепей..................................................... 16
1.1.1 Формула Грина и алгоритм блуждания по сферам .... 16
1.1.2 Оценки метода Монте-Карло для итераций интегральных операторов.................................................20
1.2 Эффективные алгоритмы моделирования точки выхода броуновского случайного процесса на границу........................24
1.3 Методы Монте-Карло на основе моделирования блуждания по сферам в применении к задаче Неймана и смешанной краевой задаче.............................................................31
1.3.1 Введение и постановка задачи ...........................31
1.3.2 Соотношение о среднем для граничной точки...............33
1.3.3 Решение интегрального уравнения во всей области и алгоритм блуждания по сферам.....................................35
1.3.4 Построение оценки решения.............................37.
1.4 Алгоритмы случайного блуждания по сферам для решения задачи с условиями непрерывности.....................................43
1.4.1 Постановка задачи.......................................43
1.4.2 Интегральное представление решения в граничной точке 44
1.4.3 Алгоритм построения оценки..............................45
1.4.4 Другие краевые задачи...................................48
1.5 Методы Монте-Карло, основанные на теории потенциала, в применении к решению эллиптических уравнений....................49
1.5.1 Марковские цепи блуждания по границе и оценки для
решений краевых задач....................................49
1.5.2 Методы Монте-Карло для решения задач с условиями
непрерывности............................................55
1.5.3 Алгоритмы случайного блуждания по границе для линеаризованного уравнения Пуассона-Больцмана....................60
1.5.4 Применение алгоритма случайного блуждания по гра-
нице к решению задачи с условиями непрерывности для уравнения Пуассона-Больцмана.............................62
2
2 Алгоритмы статистического моделирования для решения урав-
нений параболического типа 66
2.1 Методы Монте-Карло для решения параболических уравнений . 67
2.1.1 Интегральная формулировка задачи...............................67
2.1.2 Построение оценки для решения задачи Коши......................72
2.1.3 Оценка решения краевой задачи..................................81
2.2 Алгоритмы случайного блуждания для решения уравнения конвекции-диффузии ...........................................................88
2.2.1 Уравнение конвекции-диффузии и краевая задача .... 88
2.2.2 Интегральное уравнение для решения задачи Коши ... 89
2.2.3 Оценка решения задачи Коши.....................................93
2.2.4 Первая краевая задача..........................................98
2.2.5 Оценка решения краевой задачи.................................102
2.3 Алгоритмы статистического моделирования для решения системы параболических уравнений ..............................109
2.3.1 Сопряжённая оценка для вектора решения........................111
2.3.2 Прямая оценка.................................................112
2.4 Методы Монте-Карло для параболических уравнений с граничной функцией, зависящей от решения.................................115
2.4.1 Краевая задача и интегральное уравнение для плотности потенциала 115
2.4.2 Алгоритм построения оценки...................................118'
2.5 Метод Монте-Карло для решения двумерных уравнений пограничного слоя.......................................................127
2.5.1 Построение системы интегральных уравнений.....................127
2.5.2 Итерационный метод и его сходимость...........................134
2.5.3 Алгоритм метода Монте-Карло и построение оценки . . . 140
2.6 Решение параболических уравнений со случайными параметрами 146
2.6.1 Алгоритмы статистического моделирования для реше-
ния параболических уравнений со случайными начальными данными и правой частью..........................146
2.6.2 Методы Монте-Карло для решения параболического уравнения со случайным коэффициентом.............................151
2.6.3 Стохастическая задача Коши и вероятностное представление .......................................................152
2.6.4 Интегральное представление решения.....................154
2.6.5 Оценки метода Монте-Карло..............................163
2.7 Метод Монте-Карло для решения уравнения Шрёдингера на
основе преобразования Хопфа-Коула............................170
3 Применение разработанных методов к решению модельных и прикладных задач 174
3.1 Применение методов Монте-Карло для вычисления физических
свойств макромолекул.........................................174
3.1.1 Вычисление диффузионно-обусловленной константы реакции .......................................................176
3.1.2 Результаты вычислительных экспериментов................185
3
3.2 Вычислительные эксперименты по решению задач с граничными условиями, включающими в себя нормальную производную решения..........................................................189
3.2.1 Результаты тестовых расчётов по применению блужда-
ния по сферам для решения задачи Неймана и смешанной краевой задачи.....................................189
3.3 Численные статистические модели для решения уравнения Пуассона-Больцмана и для вычисления свободной электростатической энергии макромолекул в растворе..................................195
3.3.1 Внутренняя энергия молекулы............................195
3.3.2 Оценка зависимости от концентрации соли................202
3.3.3 Вычислительные эксперименты по определению зависимости от концентрации соли ..................................206
3.4 Комплекс программ для решения задач молекулярной электростатики .........................................................215
3.5 Вычисление электрической ёмкости с использованием алгоритма случайного блуждания по границе...............................217
3.5.1 Поверхностный потенциал и эргодическая теорема .... 218
3.5.2 Оценка метода Монте-Карло для электрической ёмкости 221
3.5.3 Вычисление распределения заряда на поверхности .... 222
3.5.4 Результаты вычислений для единичного куба..............224
3.6 Алгоритмы статистического моделирования для определения эффективных свойств пористых сред................................228
3.6.1 Аналитические формулы для проницаемости................228
3.6.2 Глубина проникновения и прямые вычисления проницаемости ......................................................230
3.6.3 Методы Монте-Карло для вычисления проницаемости . . 233
3.6.4 Калибровка алгоритма...................................235
3.6.5 Результаты численных экспериментов.....................236
3.7 Решение уравнения конвекции-диффузии.........................240
3.8 Решение системы линеаризованных уравнений
Навье-Стокса.................................................243
3.9 Решение параболических уравнений со случайными параметрами244
4 Дополнение 246
4.1 Рандомизированные итерационные методы решения интегральных уравнений Эйлера.............................................246
4.1.1 Постановка задачи......................................246
4.1.2 Численные методы решения...............................251
4.1.3 Результаты вычислительных экспериментов................258
Заключение 261
Список литературы 262
4
Введение
Статистическое моделирование (метод Монте-Карло) как инструмент научного исследования возникло фактически одновременно с зарождением теории вероятностей и использовалось вначале для получения случайных чисел непосредственно из опыта. Стохастичность результатов физических экспериментов с игральными костями, монетами и другими объектами позволяли высказать предположение о случайности изучаемых процессов, а наблюдаемая устойчивость некоторых усредненных величин давала возможность исследовать статистические свойства полученных результатов и законы, которым подчиняется их поведение. Использование подобного подхода, основанного на непосредственном физическом эксперименте, позволило впоследствии перейти к применению алгоритмов статистического моделирования для решения задач, которые, на первый взгляд, не поддаются вероятностной интерпретации, таких, например, как вычисление числа тг [163].
Сильным стимулом к развитию алгоритмов статистического моделирования в современном их виде послужило появление вычислительных машин и возникшая в сороковых годах двадцатого века насущная необходимость решать задачи ядерной физики [272, 204). Успех в применении методов Монте-Карло к решению этих задач обусловлен был тем, что, во-первых, вероятностная модель достаточно точно описывает взаимодействие излучения с веществом, а во-вторых, компьютерная реализация этой модели приводит к эффективным вычислительным алгоритмам, которые даже на маломощной технике первого поколения позволяли получать необходимые результаты за разумное время. Таким образом, в этом случае одновременно были выполнены два необходимых для практического применения численного метода условия.
Как известно, физические процессы переноса излучения через вещество могут быть описаны в рамках не только вероятностной, но также и других моделей. В частности, па макроуровне используется уравнение переноса, которое может быть записано в дифференциальной, в интегро-дифференциальной либо в интегральной форме.
Подобная ситуация, когда для описания какого-либо феномена примешь
ются различные модели, отличающихся друг от друга масштабами, степенью детализации и, как следствие, используемым математическим аппаратом, является скорее правилом, чем исключением. Естественным требованием, обеспечивающим научную обоснованность и состоятельность моделей в практическом их применении, является их согласование. Условие это необходимо должно выполняться также и в отношении вычислительных алгоритмов, создаваемых для решения задач в рамках различных моделей. Таким образом, естественно рассматривать всю совокупность вычислительных методов, как единый набор инструментов для численного исследования различных сторон изучаемого объекта.
13 данной работе мы рассматриваем такие природные явления, которые на макроуровне описываются дифференциальными уравнениями в частных производим х эллиптического и параболического типа. Одним из таких явлений является, в частности, процесс диффузии. Существуют различные теоретические подходы к изучению этого феномена, и его, как известно, можно описать не только в терминах уравнений в частных производных, но и в рамках теории случайных процессов. Условия согласования в данном случае состоят в том, что макропараметр, удовлетворяющий дифференциальному уравнению, представляется в виде некоторого функционала от случайного процесса. Такие соотношения принято называть вероятностными представлениями.
Заметим, что как дифференциальные уравнения являются следствием некоторых интегральных соотношений (законов сохранения), так и сами макропараметры. удовлетворяюище этим уравнениям, тоже получаются как результат осреднения (интегрирования). Вероятностные представления являются, по сути, тоже интегральными, только интегрирование в них происходит в более сложном пространстве и по более сложной мере. Установление связи между детерминированным и вероятностным подходами к рассмотрению физического процесса диффузии относится ещё к концу девятнадцатого -началу двадцатого века [224, 105, 140, 218]. Строгая математическая формулировка соотношений между решением дифференциального уравнения и диффузионным (в математическом смысле) процессом стала возможна после внедрения аксиоматического подхода в теорию вероятностей и случайных процессов [276, 277, 278, 190, 29]. Построено множество разнообразных вероятностных представлений [182, 183, 11. 181, 5, 153, 91] в виде континуальных интегралов. Эти представления, в принципе, позволяют получать решения краевых задач для эллиптических и параболических уравнений. К сожалению, методы вычисления таких интегралов весьма трудоёмки и малопригодны для рутинных расчётов [98, 16, 70, 65, 64]. Более продуктивным оказалось применение численных методов, основанных, по сути, на прямом моделирова-
С)
нии диффузионных процессов, например, с использованием методов численного решения стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений [2, 102, 189, 210, 262, 211]. Метод этот универсален, позволяет решать уравнения с переменными коэффициентами, учитывать влияние различных физических полей, включаемых в модель, и т.д. Аналогичный подход применим и к решению более сложных задач, таких, например, как задача о распространении примеси в стохастических полях скоростей, задача об эффективности захвата аэрозолей [28, 7, 67, 92], различные задачи финансовой математики [177, 158] и т.д. Следует отметить, что при решении задач со случайными параметрами, если нет возможности переформулировать эти задачи соответствующим образом, вычисление случайного решения, его моментов и других вероятностных характеристик наиболее эффективно проводится именно с использованием алгоритмов статистического моделирования.
Близким по духу и сути к методам, использующим вероятностные представления, является простой и естественный подход, основанный на рандомизации конечно-разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений. Подход этот восходит к исследованиям начала двадцатого века, а его изложение и результаты применения к построению функции Грина приведены в-[38, 129). Кажущаяся простота алгоритма, возможность использовать унифицированный подход к решению задач с различными краевыми условиями, вычислять решение одновременно во всех узлах сетки, а также другие положительные свойства метода по-прежнему побуждают исследователей к его использованию [147, 168, 148, 169, 20, 54, 58[. Основная проблема в применении случайного блуждания по решётке заключается в том, что такой алгоритм не только наследует все те трудности, с которыми сталкиваются детерминированные методы конечных разностей, но и добавляет к ним специфические для методов Монте-Карло особенности, в первую очередь - статистическую скорость уменьшения ошибки при увеличении объёма выборки.
Как показала практика, наиболее эффективными с вычислительной точки оказались алгоритмы статистического моделирования, основанные на переформулировке задачи, поставленной для дифференциального уравнения, и переходе к решению интегрального уравнения. По сути, именно такой подход лежал в основе методов Монте-Карло, разработанных для решения задач атомной физики. Впоследствии алгоритмы статистического моделирования переноса излучения продолжали развиваться, расширялся спектр задач, к решению которых они применялись. К настоящему времени именно методы Монте-Карло являются основным инструментом исследования и решения практических задач теории переноса [120, 44, 19, 196. 96, 97, 30]. В процессе решения этих задач были выработаны основные принципы иостро-
7
ения монте-карловских оценок для итераций линейных операторов и для решения интегрального уравнения [132]. В дальнейшем теория методов статистического моделирования, основанная на естественной связи между интегральными операторами и марковскими цепями, интенсивно разрабатывалась [90, 21, 22, 47, 207, 50, 95, 23], что, в частности, создало возможность использовать её результаты для построения эффективных оценок метода Монте-Карло для решения параболических и эллиптических уравнений.
Существуют различные приёмы перехода от эллиптического или парабо-лическиого уравнения к формулировке задачи в виде интегрального уравнения второго рода, на основе которого затем могут быть выведены оценки метода Монте-Карло. С этой целью используются фундаментальные решения оператора дифференциального уравнения и различные функции, построенные на их основе (функция Грина, параметрикс, функция Леви и др.). Использование этих функций в сочетании с интегральными формулами Грина лежало в основании исходного конструктивного определения случайного блуждания по сферам [212, 115]. Следует, заметить, однако, что все построения полагались исключительно на интерпретации этих формул в духе теории случайных процессов и вероятностных представлений [182, 183). Позднее было показано, что интерпретация используемых формул как интегральных уравнений с обобщённым ядром позволяет использовать разработанную теорию построения оценок для итераций интегрального оператора и строить алгоритмы статистического моделирования. Такой подход оказался весьма продуктивным и вплоть до настоящего времени используется в целях конструирования методов Монте-Карло для решения различных эллиптических, параболических уравнений и их систем [17, 18, 21, 22, 67, 48, 24, 209, 50, 52, 51, 117, 53, 4, 116, 3].
Возможен и другой путь перехода к интегральной формулировке задачи, который также использует информацию о фундаментальных решениях дифференциального оператора. Этот подход основан на применении теории потенциала и приводит к интегральным уравнениям, которым удовлетворяет как плотность потенциала, так и само решение. Идея об использовании такого подхода для построения методов Монте-Карло высказана в [66], а подробно они изложены в [42, 234] (см. также [22]). Во многих случаях ряд Неймана для получающегося интегрального уравнения не является сходящимся. Такая специфика привела к необходимости использовать различные приёмы преобразования ряда, позволяющие как строить оценки решения, так и повышать эффективность алгоритмов за счёт ускорения сходимости [233].
Как показывает практика, возрождение интереса к применению алгоритмов статистического моделирования для вычисления свойств объектов, опи-
8
сываемых параболическими и эллиптическими уравнениями, вызвано необходимостью решать всё более сложные задачи, такие, например, как задача определения макроскопических свойств неупорядоченных сред и тел со сложной геометрической структурой. Как известно, для многих сложных явлений применение вероятностной модели и её непосредственная компьютерная реализация является, по сути, единственно возможным подходом, позволяющим применять численные методы для их исследования. Среди прочих следует упомянуть задачи статистической физики, задачи вычислительной генетики, и вообще задачи моделирования и оптимизации сложных систем [164, 232]. Заметим при этом, что сложность задач может возрастать за счёт изменения всего лишь одного параметра, и, в частности, хорошо известно [20, 21, 131], что при решении систем алгебраических уравнений существует такое пороговое значение размерности, после которого применение метода Монте-Карло становится заведомо более эффективным. Похожая ситуация возникает и как следствие усложнения геометрии расчётной области в приложениях, например, к задачам компьютерной графики, а также, как уже отмечено, в задачах вычисления макроскопических свойств среды и отдельно взятых молекул.
Возвращение к широкому использованию метода Монте-Карло, происходящее в последние годы, обусловлено, в частности, тем, что исследователи стали лучше осознавать, где этот метод эффективен в применении [164]. Кроме того, количество таких задач увеличивается, в частности, потому, что стали применяться более эффективные алгоритмы, а также потому, что практические задачи требуют усложнения модели, её детализации н делают неэффективными традиционные вычислительные методы. Нельзя забывать и про такое неотъемлемое преимущество алгоритмов статистического моделирования, как возможность естественного распараллеливания вычислений, позволяющего наиболее продуктивно использовать постоянно растущие возможности современных компьютеров.
Кроме свойства имманентной параллельности, как уже неоднократно отмечалось (см. например, [22, 67, 20]) методы Монте-Карло обладают и другими привлекательными свойствами. В применении к алгоритмам решения задач, связанных с уравнениями эллиптического и параболического типа, необходимо отметить, в первую очередь, возможность учёта сложных геометрических деталей, оценивания отдельных функционалов и точечных значений без нахождения всего поля решения, а также статистический характер сходимости. Скорость этой сходимости относительно мала, но, в тоже время, позволяет получать достоверные апостериорные оценки погрешности вычисляемого результата.
Подводя итог приведенным выше рассуждениям, сформулируем тему дис-
9
сертации.
Основными целями данной работы являются
• Построение и обоснование новых алгоритмов статистического моделирования решений задач, описываемых уравнениями эллиптического и параболического типа
• Эффективная компьютерная реализация построенных вычислительных методов
• Применение разработанного программного обеспечения к решению практических задач
В первой главе мы рассматриваем алгоритмы статистического моделирования для решения задач, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа. Вначале дается общая схема построения алгоритмов, основанных на интегральной формуле Грина и её связи с вероятностным представлением. Определяется марковская цепь блуждания по сферам и её свойства. В параграфе 1.2 описываются эффективные методы моделирования распределения точек выхода винеровского процесса на границу области, основанные на случайном блуждании в подобластях, доказываются свойства построенных с использованием такого алгоритма оценок. В параграфе 1.3 описано построение алгоритма блуждания по сферам для решения задачи Неймана и смешанной краевой задачи. Выводится интегральная формула среднего для значения решения на границе области. Эффективные методы статистического моделирования строятся на основе рандомизации этой формулы. В параграфе 1.4 соотношение о среднем обобщается для значения решения в точке, находящейся на границе раздела областей с различающимися свойствами. Решения различных эллиптических уравнений согласованы друг с другом через условия непрерывности. Строится алгоритм метода Монте-Карло, позволяющий решать поставленную краевую задачу в любой точке пространства и вычислять значения линейных функционалов. В параграфе 1.5 описываются алгоритмы случайного блуждания по границе для решения эллиптических уравнений. Вначале даётся описание общего подхода к построению оценок для решений интегральных уравнений теории потенциала для уравнения Лапласа. В силу того, что в случае задач Неймана и Дирихле ряд Неймана для этих уравнений не сходится, используется метод вычисления решения, основанный на аналитическом продолжении резольвенты. Далее аналогичный подход используется и для построения оценки метода Монте-Карло в случае задачи нахождения решения во всём пространстве с
10
условиями непрерывности, заданными на границе раздела областей с разными коэффициентами диэлектрической проницаемости. Далее строятся алгоритмы случайного блуждания по границе для решения краевых задач для линеаризованного уравнения Пуассона-Больцмана. Вначале рассматриваются задачи Дирихле и Неймана, а затем, на основе специально подобранного представления строится алгоритм, совмещающий случайные блуждания по границе и по сферам внутри области, который позволяет построить оценку решения задачи с условиями непрерывности.
Результаты главы 1 опубликованы в работах [73, 74, 75, 69, 76, 78, 77, 79, 42, 234, 199, 200, 186, 202, 201, 254, 185, 255, 151, 240, 187, 85, 86, 252, 253, 256]
Вторая глава посвящена разработке и обоснованию алгоритмов статистического моделирования для решений уравнений параболического типа. В первом параграфе рассматривается уравнение общего вида, для решения которого выписывается интегральное представление в виде суммы тепловых потенциалов, ядрами которых является фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Далее показано, что решение и его производные по пространственным переменным удовлетворяют системе интегральных уравнений Вольтерра, что позволяет построить несмещённую оценку метода Монте-Карло для самого решения задачи Коши и его производных. Рассматриваются различные виды оценок: скалярные и векторные, прямая и сопряженная, локально-векторная. Добавление поверхностных тепловых потенциалов расширяет систему интегральных уравнений, рандомизация которой определяет ветвящуюся марковскую цепь с фазовым пространством, включающим в себя как внутреннюю часть области решения, так и её боковую цилиндрическую поверхность. Использование этой цепи позволяет построить несмещённую оценку решения начально-краевой задачи типа Дирихле. В параграфе 2.2 рассматривается уравнение конвекции-диффузии, выписывается интегральное уравнение Вольтерра, которому удовлетворяет его решение. Строится марковская цепь, согласованная с интегральным уравнением, и определяется оценка решения задачи Коши. Доказывается её несмещённость и конечность дисперсии. По аналогии с предыдущим параграфом на основе моделирования ветвящейся марковской цепи строится оценка метода Монте-Карло для решения первой краевой задачи. Доказывается конечность среднего числа точек цепи и свойства оценки. В параграфе 2.3 линеаризованное уравнение Навье-Стокса рассматривается как система уравнений параболического типа. Использование тепловых потенциалов позволяет выписать систему линейных интегральных уравнений для вектора завихренности. Показано, что при решении задачи Коши ряд Неймана для этой системы сходится. Это позволило построить векторные оценки статистического моделирования для завих-
11
рениости, удовлетворяющей линеаризованному уравнению Навье-Стокса. В параграфе 2.4 рассматривается первая краевая задача для параболического уравнения, в которой граничная функция зависит от решения внутри области. На основе применения тепловых потенциалов выписываются интегральные уравнения для решения и для плотности поверхностного теплового потенциала. Показана сходимость ряда Неймана, поетроена оценка решения задачи, показана сё несмещённость и конечность её дисперсии. В параграфе 2.5 рассматривается двумерное уравнение Прандтля для завихренности, построено интегральное уравнение, которому удовлетворяет эта функция. Для решения этого уравнения определяется итерационный алгоритм и доказывается его сходимость. На основе рандомизации итерационного процесса построена ветвящаяся марковская цепь и конструктивно определена монте-карловская оценка решения. Параграф 2.6 посвящён рассмотрению задачи Коши для параболического уравнения со случайными параметрами: коэффициенте при линейном члене, правой части и начальными данными. Вначале рассматривается задача со случайными данными. Выписываются интегральные уравнения для решения и для его вторых моментов. Показана сходимость ряда Неймана, определены оценки статистического моделирования и доказаны их свойства. Далее получено интегральное уравнение, которому удовлетворяет решение уравнения со случайным коэффициентом. Определены условия, которым должны удовлетворять случайные параметры для обеспечения сходимости ряда Неймана в различных вероятностных смыслах. Построена оценка решения и доказаны её вероятностные свойства. В параграфе 2.7 описывается алгоритм решения уравнения Шрёдиигера, основанный на преобразовании* Хопфа-Коула, переходе к нелинейному уравнению и стохастическом моделировании системы взаимодействующих частиц. Построенный метод Монте-Карло позволяет вычислять собственную функцию и собственное значение дифференциального оператора.
Результаты главы 2 опубликованы в работах [80, 241, 242, 244, 243, 81, 82, 245, 83, 246, 247, 248, 84, 249, 250, 251)
Третья глава посвящена применению построенных методов статистического моделирования к решению модельных и прикладных задач. В первом параграфе даны результаты вычислений, полученные на основе использования алгоритмов метода Монте-Карло для определения диффузионно обусловленной константы реакции. Далее приведены результаты численных экспериментов по решению задач с граничными условиями, включающими в себя нормальную производную решения. Прояснены свойства построенных методов. В параграфе 3.3 рассмотрено применение разработанных алгоритмов случайного блуждания к решению задач молекулярной биофизики. Показа-
12
на эффективность методов статистического моделирования к определению зависимости свойств макромолекул от концентрации солей. Приведены ре-зультаты вычислений значений потенциала и свободной электростатической энергии для пептидов, помещённых в солевой водный раствор. В параграфе
3.4 описан комплекс программ, построенный с использованием разработанных алгоритмов и применяющийся для решения задач молекулярной биофизики. В параграфе 3.5 описывается применение методов Монте-Карло к вычислению электростатической ёмкости. Параграф 3.6 посвящён использованию алгоритмов случайного блуждания для вычисления эффективного коэффициента проницаемости пористой среды со случайными параметрами. С помощью численных экспериментов выявлены условия проявления логнормального распределения этого коэффициента. В последующих параграфах даны результаты вычислительных экспериментов по выяснению эффективности алгоритмов, построенных для решения уравнения конвекции-диффузии, системы линеаризованных уравнений Навье-Стокса и параболических уравнения со случайными параметрами.
Результаты главы 3 опубликованы в работах [60, 81, 246. 84, 249, 250, 199,. 186, 202, 201, 254, 185, 240, 187, 86, 256, 273)
В главе 4 приведены результаты исследований, близких к теме диссертации, но выпадающих из общей логики изложения. Описано построение алгоритма метода Монте-Карло и на модельных примерах показана возможность его применения к решению уравнений газовой динамики (Эйлера). Результаты главы 4 опубликованы в работе [175].
Настоящая работа выполнена в учреждении Российской академии наук, Институте вычислительной математики и математической геофизики (Вычислительном центре) Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск (ИВМ и МГ СО РАН).
Изложенные в пей результаты были представлены и докладывались на следующих конференциях.
VII всесоюзная конференция ’Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике’, Новосибирск. 1985; Всесоюзная конференция ’Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики’, Новосибирск, 1987; Третья республиканская конференция ’Интегральные уравнения в прикладном моделировании’, Одесса, 1989; Актуальные проблемы статистического моделирования и его приложения, Ташкент, 1989; VIII всесоюзная конференция ’Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике’, Новосибирск, 1991; Международная конференция АМСА-95, Новосибирск, 1995; Математические модели и численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1996; The 2nd St. Petersburg
13
Workshop on Simulation, St. Petersburg, 1996; GAMM Annual Meeting, Regensburg, Germany, 1997; First IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Brussels, Belgium, 1997; 15th IMACS World Congress, Berlin, Germany, 1997; Münchener Stochastik-Tage, Munich, Germany, 1998; SibINPRIM-98, Новосибирск, 1998; The 3rd St. Petersburg Workshop on Simulation, St. Petersburg, 1998; SiblNPRIM-2000, Новосибирск, 2000; Algorithms and Complexity for Continuous Problems, Schloss Dagstuhl, Wadern, Germany, 2000; The 4th St. Petersburg Workshop on Simulation, St. Petersburg, 2001; Международная конференция по вычислительной математике ICCM-2002, Новосибирск, 2002; The International Conference on Computational Science ICCS-2003, St. Petersburg, Russia, 2003; 4th International Conference on ’Large Scale Scientific Computations’, Sozopol, Bulgaria, 2003; IVth IM ACS Seminar on Monte Carlo Methods, Berlin, Germany, 2003; AMS 2004 Spring Southeastern Section Meeting, Tallahassee, USA, 2004; NATO Advanced Research Workshop: Advances in Air Pollution Modelling for Environmental Security, Borovctz, Bulgaria, 2004; Международная конференция по вычислительной математике ICCM-2004, Новосибирск, 2004; SIAM Conference on Computational Science and Engineering, Orlando, USA, 2005; The 5th IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Tallahassee, USA, 2005; The International Conference on Computational Science ICCS-2005, Atlanta, USA, 2005; 5th International Conference on ’Large Scale Scientific Computations’, Sozopol, Bulgaria, 2005; 17th IMACS World Congress, Paris, France, 2005; 7th International Conference on Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods in Scientific Computing, Ulm, Germany, 2006; 6th Conference on Numerical Mathematics and Applications, Borovets. Bulgaria, 2006; Workshop on Quantitative Computational Biophysics, Tallahassee, USA, 2007; Всероссийская конференция по вычислительной математике ICCM-2007, Новосибирск, 2007; The 6th IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Reading, UK, 2007; Международная конференция ’Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений’, посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева, Новосибирск, 2008.
Результаты диссертации были представлены па семинаре кафедры статистического моделирования математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета под руководством профессора С. М. Ермакова.
Результаты регулярно, начиная с 1979 и вплоть до последнего времени, докладывались и обсуждались на семинарах отдела статистического моделирования в физике (СМФ) ИВМ и МГ СО РАН.
Выражаю благодарность и признательность основателю новосибирской школы методов Монте-Карло и многолетнему руководителю отдела СМФ
14
члену-корреспонденту Российской Академии наук Г.А.Михайлову, моему научному руководителю профессору К. К. Сабе л ьфе льду, а также всем сотрудникам отдела за поддержку и создание творческой атмосферы.
Большое спасибо руководителям Российского научного центра компании Бейкер Хьюз профессорам Л.А.Табаровскому и С.В.Егереву за поддержку моего стремления завершить работу над диссертацией.
15
Глава 1
Алгоритмы статистического моделирования для решения уравнений эллиптического типа
1.1 Случайные блз'ждания внутри области и моделирование марковских цепей
1.1.1 Формула Грина и алгоритм блуждания по сферам
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в области С € К771 с регулярной границей Г:
Считаем, что (2 удовлетворяет условиям существования и единственности решения поставленной задачи [45]. Всюду далее, если не оговорено особо, мы полагаем, что размерность пространства т равна трём. Делается это, во-первых, в силу того что именно этот случай наиболее интересен с точки зрения приложений и решения практических задач электростатики и биофизики, а во-вторых, в целях упрощения выражений и большей ясности в описании вычислительных алгоритмов. Следует сразу заметить, что изложенные результаты распространяются и на задачи, рассматриваемые в пространствах размерности большей, чем три.
Обозначим через Ф(х,у) функцию Грина задачи Дирихле (1.1.1). Согласно формуле Грима (9, 6|, решение в произвольной внутренней точке области х выражается в виде интеграла по границе:
Ди(х) = 0 , х £ <7 и(у) = д(у) , у 6 Г .
(1.1.2)
где п{у) - внешняя нормаль.
16
Пусть теперь У/х{€) - винеровский процесс [13, о], начинающийся в данной точке х: \УХ(0) = Ху а т* и х* = ЖДт*) есть, соответственно, время и пространственные координаты точки выхода этого процесса на границу Г. Классическое вероятностное представление решения [182, 183, 5, 14, 153] позволяет выписать следующую формулу: и(х) = Е<?(о;*), или. если обозначить через рх(у) плотность распределения случайной точки х* на поверхности Г,
Из выписанных интегральных представлений, в силу произвольности функции у. с очевидностью следует, что почти всюду в регулярных точках границы Г плотность распределения точки выхода диффузионного процесса совпадает с нормальной производной функции Грина задачи Дирихле. Заметим, что этот факт отмечался ещё в классической работе [129, 38]).
Таким образом, если функция Грина известна и существует возможность эффективного моделирования случайных точек, распределённых па Г с плотностью. совпадающей с её нормальной производной, то в качестве монте-карловской оценки решения краевой задачи можно взять д(х*). Оценка эта, как мы видим, несмещённая, а вычцелительный алгоритм статистического моделирования сводится к выбору достаточно большого количества случайных точек, распределённых на поверхности Г в соответствии с известной плотностью распределения.
Сразу отметим, что реально такой подход работает только для областей с достаточно простой геометрией, для которых функцию Грина и её нормальную производную можно вычислить аналитически. Следует напомнить, однако, что, как хорошо известно, задача нахождения функции Грина настолько же сложна, как и решение исходной краевой задачи. Кроме того, даже наличие аналитической формулы далеко не всегда даёт возможность построить эффективный алгоритм моделирования случайных точек на границе.
Общепринятым подходом, позволяющим использовать частичное усреднение и не прибегать к подробному моделированию траектории диффузионного процесса, является применение вероятностного представления (1.1.3) (или, что равносильно, формулы Грина (1.1.2)) не ко всей области, в которой ищется решение, а к некоторым стандартным подобластям, вписываемым в неё. В частности, в качестве таких подобластей можно брать сферы, полностью содержащиеся внутри области [212, 64]. Цормальная производная сферической функции Грина, выписанной для центральной точки, постоянна. Это означает, что плотность рх(у) также постоянна, что соответствует изотропному распределению случайной точки у на поверхности сферы £(.г, с?) с центром в
(1.1.3)
17
точке х. В трёхмерном случае это соотношение выражается следующей формулой.
Радиус (I этой сферы по определению не может превосходить расстояния (Иэ^а:, Г) от точки х до границы области. Если 3(х,с1) не составляет часть границы Г, то точка у с вероятностью единица находится внутри области, а, значит, значение решения в пей неизвестно, 'что приводит к необходимости продолжать моделирование. На использовании сферических средних основан широко известный алгоритм случайного блуждания по сферам. Для уравнения Лапласа он был предложен достаточно давно [212, 115]. Впоследствии он был обобщен и обоснован с использованием традиционных способов построения весовых оценок метода Монте-Карло, применяемых для решения интегральных уравнений второго рода [18].
Итак, пусть хо ~ точка, в которой необходимо оценить решение задачи (1.1.1), а {с^, к = 0,1,...} - последовательностью независимых изотропных случайных векторов единичной длины. Тогда
Определение 1. Марковская цепь точек, моделируемых внутри области С с помощью рекуррентного соотношения
называется случайным блуэ/сдапием по сферам.
Здесь (1{хк-1, Г) обычно берётся максимально возможным, то есть равным сИэЦа;*-!, Г), расстоянию от точки х^-г до границы области. (Другие варианты выбора величины с1 предлагались в [212] и рассматривались, например, в [67, 233]).
Кроме сфер можно рассматривать и другие стандартные вписываемые в О области, для которых известны функции Грина [212]. В частности, разработаны и используются на практике алгоритмы, построенные на основе случайных блужданий по поверхностям кубов [176], другим подобластям [34, 35, 156, 118. 136], а в применении к эллиптическим уравнениям более общего вида - на основе блуждания по границам эллипсоидов [22, 146, 88].
Как известно [182, .183], блуждание по сферам сходится к границе, но, однако, только за бесконечное число шагов. Для того, чтобы сделать вычислительный алгоритм, основанный на моделировании этой марковской цепи, реализуемым, вводится приграничная полоса ширины е (^-окрестность границы), при попадании в которую цепь обрывается. Обозначим через х,\ последнюю точку блуждания по сферам и пусть х^ - ближайшая к точка
(1.1.4)
Хк = х*-1 + <*>к Л{хк-1, Г)
(1.1.5)
18
на границе. Тогда в качестве оценки решения задачи (1.1.1) можно взять значение 9(x*n).
Рассмотрим свойства марковской цепи блуждания по сферам или, как её ещё называют, сферического процесса.
1. [182, 183, 212]. Марковская цепь блуждания по сферам {х&, к = 0,1,...} с вероятностью единица сходится к точке Хоо на границе Г. Эта точка совпадает с точкой выхода винеровского диффузионного процесса Wx(t) на границу: хоо = х*. Число шагов марковской цепи блуждания по сферам до выхода на границу с вероятностью единица бесконечно.
2. [39, 64]. В трёхмерном пространстве среднее число шагов марковской цепи блуждания но сферам вплоть до первого достижения приграничной полосы ширины е есть величина порядка log е.
3. |212, 64]. Величина д{х*N) является е-смещённой оценкой решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Пусть х 6 В(хо, d) - точка внутри начальной сферы случайного блуждания. Функция Грина для этой точки известна в явном виде. Следствием этого является формула Пуассона, согласно которой (в R3)
и(х) = / Рр{х -> у) u(y)d s(y) , (1.1.6)
J S(x0,d)
где pJx -» у) = ■■- - —т—-—^— ядро Пуассона. Использование данной
47га |х — у\*
формулы позволяет применять алгоритм блуждания но сферам к вычислению решения не только в точке хо, но и одновременно в произвольном числе точек начальной сферы. Для этого достаточно оценку умножить на вес, равный отношению ядра интеграла (1.1.6) и плотности распределения точки xi: Qo — 4тгd2pp(x -» хД (см. следующий параграф 1.1.2).
Формула Пуассона (1.1.6) позволяет вычислять не только решение, но его первые производные по пространственным переменным [15, 64]. При этом оценка метода Монте-Карло строится с использованием той же самой траектории блуждания по сферам.
Пусть х = (Х(1),Х(2),Х(3)). Тогда
т~^-(х) = [ ^-Рр(х -» у) u(y)ds(y) , г = 1,2,3 . (1.1.7)
dx(i) Js(x0,d) d
Отсюда следует, что для марковской цепи блуждания по сферам, начинающейся в точке хо = х и обрывающейся в окрестности граничной точки х*,
19
оценки для производных отличаются от оценки решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа только начальным весом:
Формулу Пуассона можно использовать и непосредственно для построения марковской цепи, что приводит к блужданию по сферам со смещёнными центрами [61, 8, 159).
1.1.2 Оценки метода Монте-Карло для итераций интегральных операторов
В дальнейшем мы будем использовать основные принципы построения оценок для итераций интегральных операторов и для суммы ряда Неймана в целом [132, 90, 21].
Рассмотрим интегральное уравнение второго рода
Здесь для простоты предполагаем,что область интегрирования (7 есть ограниченная область в Щт, а ц(с1х') есть элемент объёма. Будем считать также, что уравнение (1.1.9) есть уравнение Фредгольма.
Определим марковскую цепь с пространством состояний, совпадающим с областью интегрирования С, как последовательность случайных точек У = {Уо, Уь. • •, Уп> • - •}> в которой начальная точка УЬ распределена в (7 с плотностью Ро(я)) а распределение каждой следующей точки зависит только от предыдущей и определяется переходной плотностью
Здесь г(У5-1, У;) есть условная плотность распределения точки У1 при фиксированной У*-ъ а #(Уг-1) есть вероятность того, что цепь оборвется в состоянии У{_1 (г > 1) и дальнейшего перехода не произойдёт. Таким образом, длина марковской цепи (количество точек АО является случайной и зависит от д. Используя марковскую цепь У, определим случайные веса
ди
9а:«)
д(х*„) , і = 1,2,3 . (1.1.8)
(1.1.9)
в
или в операторном виде:
V? = К<р + / .
р(ум -> Уі) - г(У^ь Ц)(1 “ д{Уі-1))
20
и
Будем предполагать, что плотности ро и Р согласованы, соответственно, с функциями / и к. Это означает, что
Эти предположения необходимы для того, чтобы обеспечить ограниченность весов <2;.
Пусть необходимо вычислить значение интегрального функционала от решения интегрального уравнения
для некоторой функции к.
Утверждение 1. При выполнении условий согласования плотностей (1.1.11) случай'ные величины
являются несмещеїтими оценками для интегралов (Кг/, /і)* Е& = (К1/, к). Если спектральный радиус для интегрального оператора К\
с
меньше единицы (или, что равносильно, сходится ряд Неймана), то
N
является несмещенной оценкой для /д: Е£ = /д.
Оценки ^ и(в терминологии методов Монте-Карло принято называть прямыми оценками по столкновениям, в силу того, что в интегральном уравнении теории переноса функция / описывает источник частиц, а моделирование марковской цепи соответствует прямому моделированию процесса распространения излучения в веществе.
Ро(х) ф 0 для {х : /(х) ф 0} ,
Р(х У) Ф 0 для {ж, у : к{у, х) ф 0} .
(1.1.10)
(1.1.11)
(1.1.12)
с
6 = ЯМУі)
(1.1.13)
(1.1.14)
21
Рассматриваются также и сопряжённые оценки, которые можно построить при выполнении условий согласования плотностей:
р0(х) ф 0 для {х : h(x) ф 0} , (1.1.15)
р(х -)• у) ф 0 для {х, у :к(х,у)ф 0} . (1.1.16)
Тогда, если мы определим случайные веса рекуррентными соотношениями
0,= фу
Wo Ро(УЬ) ’
Qt-Qt-г pÇY^^Y,)' ~ '
то сопряжённые оценки выражаются следующими формулами
G = QU(Yi), (1.1.17)
Л'
с = Еда- (1.1.18)
i=о
При этом из очевидных равенств (/О/» h) = (/» К*%К) вытекает, что
Щ = (ICf, h) . (1.1.19)
Кроме того, если обозначить через решение сопряжённого уравнения </?’ = K*ip* 4- h, то при условии сходимости ряда Неймана для интегрального оператора К[
ЕГ = (/,^) = 4- (1.1.20)
Дисперсия оценки £ выражается формулой
Varfô = (x,[V - Л]) - Il , (1.1.21)
где х есть сумма ряда Неймана для интегрального уравнения
Г к2(х,х') . , . , /2(т) ,
х(х) _ J р(х'^х)Х^Х 5 + ^) • (U.22)
G
Все построения, приведённые выше, остаются верны и для интегрального оператора К рассматриваемого в банаховом пространстве Х(С) функций, интегрируемых в G. это означает, что <р, / G X (G), а функция h принадлежит сопряжённому пространству X*{G). Если
1. {/ I/с(х, х')\rix(dx')}l/r < Ci для почти всех х € G , г > 0 ,
G
22
2. {/\к{х^)\с < С2 для почти всех х'бС, а > 0 ,
(7
3. р > а > р — г(р — 1) ,
то оператор К является вполне непрерывным оператором из //(Г) в /^(Г), норма которого
\\К\| < С\~°/р Сс2/р .
В частности, это верно для ядер интегральных операторов теории потенциала, которые имеют следующий вид:
Ь(х, х')
к(х,х') =
\х — х'\п ’
где Ь(х,х') есть ограниченная непрерывная функция, п < т. Если, кроме того, р > тп/(т - п), то интегральный оператор К переводит функции из ЬР(С) в элементы пространства непрерывных функций С'(Сг) [26]. Условия согласования при этом преобразуются в условия ограниченности отношений, входящих в используемые при построении оценок веса. Это означает, что особенности ядра оператора должны быть включены в плотность перехода.
Все построения переносятся и на случай интегрального оператора с ядром, включающим в себя дельтаобразную функцию. К такому классу интегральных уравнений относится, в частности, уравнение, определяющее блуждание по сферам. Интегрирование в этом уравнении происходит по всей области в пространстве К171 с использованием объёмной меры, а переход к интегрированию по поверхности сферы осуществляется за счёт множителя в виде индикаторной дельтаобразной функции, входящего в ядро. Функция эта должна быть включена в определение переходной плотности
Заметим также, что все утверждения о построенных оценках остаются верными для уравнений Вольтерра, а также интегральных уравнений, рассматриваемых в отличных от Кт пространствах. При этом необходимо выбрать соответствую!цую меру интегрирования, а все рассматриваемые функции должны быть измеримы по этой мере [19, 21, 20].
23
1.2 Эффективные алгоритмы моделирования точки выхода броуновского случайного процесса на границу
Обсудим вопрос о практической реализации алгоритма блуждания по сферам
и других методов Монте-Карло, основанных на формулах Грина и прямом
моделировании точек выхода диффузионного процесса на границу либо всей
области в целом, либо некоторых её подобластей. Интуитивно кажется, что
наиболее эффективным является использование для моделирования точек на
дФ
поверхности Г плотности —, где Ф - функция Грина задачи Дирихле, по-
оть
строенная для всей области С. Здесь, однако, следует заметить, что даже если такую функцию и удастся получить в каком-то аналитическом виде, то не меньшие умственные усилия потребуются и для построения алгоритма выбора точек, распределённых на поверхности Г с требуемой плотностью. Кроме того, алгоритмы эти могут быть настолько сложными и трудоёмкими, что моделирование одной точки может занимать существенно больше времени, чем построение траектории марковской цепи блуждания по сферам (или по другим простым поверхностям) вплоть до первого попадания точки этой цепи в узкую полосу вблизи границы (с-окрестность).
С другой стороны, на каждом шаге построения случайного блуждания но сферам и при использовании других аналогичных алгоритмов требуется определять расстояние до границы области. Задача определения минимального расстояния от точки до множества других точек является классической проблемой вычислительной геометрии. Её решению посвящено большое количество публикаций. В том случае, когда множество, до которого ищется расстояние, представляет собой набор гиперповерхностей, задача существенно усложняется. При этом известно, что в общей постановке трудоёмкость определения минимального расстояния имеет порядок, совпадающий с числом точек множества (или поверхностей в данном случае), то есть мало отличается от вычислительных затрат при использовании простого перебора [103, 214, 126]. В некоторых частных случаях трудоёмкость работы алгоритма можно существенно уменьшить за счёт предварительной подготовки геометрических данных. Один из возможных подходов, предложенный нами в [71, 75), заключается в разбиении области на зоны, в каждой из которых расстояние определяется как минимум из расстояний до ограниченного набора граничных поверхностей. Использование этого метода позволило создать эффективно работающий программный код, принятый в Государственный фонд алгоритмов и программ [72]. В процессе эксплуатации программы оказалось, однако, что, во-первых, данный подход хорошо работает только для огра-
24
ничейных областей, а во-вторых, объём предварительной вычислительной и программистской работы быстро растёт с усложнением конфигурации границы области.
Один из возможных путей преодоления данной алгоритмической трудности основан на представлении области в виде объединения пересекающихся подобластей, в каждой из которых оценка решения задачи Дирихле строится достаточно просто [73]. В качестве частного случая можно рассматривать и вариант когда для какой-то подобласти (или для всех подобластей) функция Грина известна [59].
Итак, рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа (1.1.1) в области
м
<7=и<4-
Будем предполагать, что каждая из подобластей принадлежит некоторому классу, определяемому следующими требованиями:
а) в каждой из них решение задачи Дирихле щ с граничными значениями существует и единственно;
б) для решения можно построить оценку метода Монте-Карло вида
£[*4/1 (®) = £*> • • • > ^лг) > (1.2.1)
где х Є Gj, і* € дGj, а и Є Суі > 1 - марковская цепь случайной или фиксированной длины N. При этом вес С? не зависит от граничной функции ду Заметим, что как алгоритм блуждания по сферам, так и другие методы: Монте-Карло, основанные на рандомизации формул Грина, приводят к оценкам вида (1.2.1). Оценки из этого класса можно построить и на основе других алгоритмов случайного блуждания, в частности, блуждания по границе (см. §1.5).
Будем предполагать, что для каждой из подобластей Gj,j = 1 ,...,М сё пересечение с объединением остальных ^і(|(и^) непусто. Предсталі
вим границу подобласти в виде объединения двух гиперповерхностей: =
Г;>і Р)Г^,2, где Г,Д входит как часть в границу всей области а Г^2 находится внутри области О. Таким образом, <9С = ^ Г, а Г^2 = (^| где
з ЬФз
дЄук — дЄ] |^| то есть часть границы подобласти с номером j, входящая в подобласть с номером /с.
Оценка метода Монте-Карло СМ(Ж) Аля значения в заданной точке х решения исходной задачи Дирихле, рассматриваемой во всей области С, стро-
25
ится в соответствии со следующим алгоритмом.
Вначале определяется подобласть, в которой находится точка х. Обозначим эту подобласть С?(о). Возможная неоднозначность в сё определении не является существенной.
Далее строится марковская цепь случайного блуждания £?>■••, в 5(0) и определяется точка £ <9(7 (о). Возможны два варианта: £$ Е ^(0)д и С0* £ Р(0),2* В первом случае процесс обрывается, а во втором мы продолжаем построение марковской цени в замыкании той подобласти, в которой оказалась точка £*. Обозначим её (ЗД).
Таким образом, как мы видим, процесс построения оценки обрывается при первом попадании точки на границу всей области. Пусть это произошло па шаге с номером К. Тогда оценка выглядит следующим образом
с[м](*) = д№) (п & *{, • • •. 4)) • (12-2)
где принято Ь~1 = X.
Для доказательства различных свойств этой оценки нам потребуется следующее утверждение, представляющее собой очевидное обобщение известной леммы Шварца (см., например, [37, 89)).
Лемма 1. Пусть область С представляется в виде объединения двух пере-секающихся областей (З1 и Сч- Предположим, что границы этих областей состоят, из конечного числа поверхностей, имеющих непрерывно изменяю-щуюся нормаль, а на гиперповерхности, образованной в результате пересечения дС\ и предельные направления соответствующих нормалей образуют угол, отличный от пуля.
Пусть F - функция, удовлетворяющая в 6Д уравнению Лапласа, непрерывная в замыкании этой области 0\ и принимают,ал следуют,ие граничные значения: она равна нулю на Гхд (то ест/ь па границе С) и единице на Г12 (то есть внутри (72Л
Тогда существует такая положительная постоянная у < I, зависящая только от областей С1 и (72, что И < д па поверхности Г2,2 (то есть внутри 0\).
Теорема 1. Если оценка £[щ](х), определяемая равенством (1.2.1), является несмещённой оценкой решения задачи Дирихле в као/сдой из подобластей Gj, рассматриваемых отдельно, то оценка СМ(^)> построенная в соответствии с формулой (1.2.2), будет несмешанной оценкой решения задачи Ди-
м
рихле во всей области <3 = {] с,.
26