Вложения однородных пространств и геометрическая теория инвариантов

Оглавление
Введение 4
Постановки задач и известные результаты........................ 4
Краткое содержание диссертации ............................... 13
Используемые обозначения и соглашения..........................23
1 Некоторые результаты теории алгебраических групп преобразований 26
1.1 Алгебраические группы преобразований и однородные пространства ....................................................26
1.2 Классификация аффинных однородных пространств сложности один....................................................29
1.3 Стягивания аффинных сферических многообразий .............46
1.4 Линейные действия со сферическими орбитами................61
1.5 Стабильность диагональных действий........................70
1.6 Критерий Мацусимы и инвариантные идеалы...................74
2 Аффинные вложения однородных пространств 80
2.1 Аффинно замкнутые однородные пространства.................80
2.2 Модальность вложений......................................83
2.3 Каноническое вложение.....................................89
2.4 Стабильность действий подгрупп на аффинных вложениях . 94
2.5 Автоморфизмы аффинных' вложений .........................104
2.6 Алгебры с конечно порожденными инвариантными подалгебрами .....................................................108
2.7 Инвариантные алгебры на однородных пространствах компактных групп Ли.............................................116
2
3 Комбинаторные методы в геометрической теории инвари-
антов 123
3.1 Необходимые сведения о хороших факторах .................123
3.2 Линеаризованные дивизоры Вейля и квазипроективные факторы.....................................................126
3.3 GIT-веср для действия редуктивной группы на аффинном многообразии................................................131
3.4 А2-факторы для аффинных факториальных многообразий . 134
3.5 Мультиградуированиые алгебры и характеризация С1Т-веера139
4 Кольцо Кокса нормального алгебраического многообразия 148
4.1 Дивизориальные алгебры и относительные спектры...........148
4.2 Кольцо Кокса для многообразия со свободной группой классов дивизоров...............................................151
4.3 Кручение в группе классов дивизоров......................157
4.4 Кольцо Кокса однородного пространства....................164
4.5 Реализация Кокса для аффинных многообразий...............166
4.6 Подъем автоморфизмов.....................................171
о Вложения с малой границей для однородных пространств 174
5.1 Проективные вложения с малой границей....................174
5.2 К-вложения с малой границей..............................183
5.3 А2-максимальные эквивариантные вложения с малой границей ......................................................188
5.4 Примеры .................................................194
5.5 Геометрия вложений с малой границей .....................204
6 Приложения в геометрической теории инвариантов 213
6.1 Соответствие между хорошими подмножествами...............213
6.2 GIT-веера для диагональных действий .....................221
6.3 Соответствие Гельфанда-Макфсрсона........................225
6.4 Кольцо Кокса глубокого GIT-фактора.......................229
з
Введение
Диссертация посвящена теории алгебраических групп преобразований, теории открытых эквивариаитных вложений однородных пространств алгебраических групп и геометрической теории инвариантов. При этом мы преследуем несколько целей, среди которых - развить теорию аффинных вложений однородных пространств и применить ее результаты к описанию всех вложений данного однородного пространства с малой границей, описать все открытые инвариантные подмножества данного (7-многообразия, допускающие хороший фактор относительно действии группы С, изучить свойства такого инварианта нормального алгебраического многообразия как его кольцо Кокса. Попутно мы получаем ряд классификационных результатов и характеризаций для однородных пространств и представлений аффинных алгебраических групп.
Постановки задач и известные результаты
Всюду далее основное поле К предполагается алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Пусть G ~~ аффинная алгебраическая группа и X — алгебраическое многообразие, снабженное регулярным действием G х X —у X группы (7. В этом случае будем говорить, что X является (^-многообразием. Аффинная алгебраическая группа G называется редуктпивпой, если G не содержит иетривильных нормальных у ни-потентных подгрупп или, эквивалентно, каждый рациональный (7-модуль вполне приводим.
Пусть Н — замкнутая подгруппа аффинной алгебраической группы G. Согласно теореме Шевалле, однородное пространство G/H песет каноническую структуру квазипроективного многообразия, для которой транзитивное действие группы G левыми сдвигами регз'лярпо. Важной задачей является описание геометрии многообразия G/H в терминах теоретико-групповых свойств пары ((7, Н). Известно, что однородное пространство G/H проективно тогда и только тогда, когда Н — параболическая подгруппа в G. Конструктивное описание обозримых подгрупп Н, т.е подгрупп, для которых однородное пространство G/Н квазиаффинно, дано в работе A.A. Суханова [33]. Известный критерий Мацусимы, доказанный независимо Ю. Мацусимой [103] и А.Л. Онищиком (24| в комплексно-аналитической категории, а затем А. Бялыиицким-Бирулей [48] в алгебра-
4
ической ситуации, утверждает, что для редуктивной группы 67 однородное пространство С/Н аффинио тогда и только тогда, когда подгруппа Н редуктивна. В работе Д. Луны [100] приведено простое доказательство критерия Мацусимы, основанное на использовании теоремы Морозова-Джекобсона. Отметим, что до настоящего времени неизвестны критерий аффинности однородного пространства 6?/Я в случае произвольной группы (7, а также теоретико-групповая характеризация этшорфиых подгрупп, т.е. подгрупп Н С О, для которых каждая регулярная функция на однородном пространстве 67/# постоянна. Еще один важный класс образуют подгруппы Гроссханса. Так называют обозримые подгруппы ЯСС, для которых алгебра регулярных функций К[С/Я] конечно порождена. В случае редуктивной группы С теорема Ф. Гроссханса [71] связывает такие подгруппы с 14-й проблемой Гильберта: для обозримой подгруппы Я конечная порождеииость алгебры К[С/Я] равносильна конечной по-рожденности алгебр инвариантов К[И]Я, где V пробегает все конечномерные рациональные С-модули. В настоящее время известно, что подгруппами Гроссханса являются определенные классы подгрупп (например, ре-дуктинные подгруппы или унипотептиые радикалы параболических подгрупп), а также построено несколько серий уиипотентиых подгрупп, не являющихся подгруппами Гроссханса. Первая серия получена в знаменитой работе М. Нагаты [108] и затем зюовершенствована Р. Стейнбергом [128], другая основана на конструкции П. Робертса, см. [120] и [41]. Обзор результатов теории алгебраических однородных пространств можно найти в книге Ф. Гроссханса [73].
Важной характеристикой действия является его сложность. Понятие сложности однородного пространства возникло в работе Д. Лупы и Т. Ву-ста [102], а для произвольного 67-многообразия было введено в работе Э.Б. Винберга [11]. Как показали исследования последующих десятилетий, сложность действия адекватно отражает степень трудностей, возникающих в классификационных задачах, и играет ключевую роль при изучении геометрии однородного пространства, в теории его эквивариаптиых открытых вложений, в теории инвариантных гамильтоновых систем на кокасательном расслоении и других областях, связанных с однородными пространствами и действиями.
Напомним определение сложности. Пусть аффинная алгебраическая группа С действует на неприводимом многообразии X, и В — борелев-ская подгруппа в 67. Слоотностью с(Х) = Сс{Х) С-многообразия X называют минимальную коразмерность В-орбиты на X для индуцированного В-действия. По теореме Розенлихта сложность действия равна степени трансцендентности поля К(Х)В рациональных В-ипвариантпых функций на X. Нормальное 67-многообразис X называют сферическим, если ерб) = 0, или, эквивалентно, на X имеется открытая В-орбита. Однородное пространство 67/# редуктивной группы 67 и подгруппа И С. С
называются сферическими, если С/Н является сферическим относительно действия группы <3 левыми сдвигами. Теория сферических многообразий является одним из наиболее разработанных разделов теории алгебраических групп преобразований. Ниже мы рассмотрим ее в контексте более общей теории вложений однородных пространств.
Зафиксируем аффинную алгебраическую группу С и ее замкнутую под-груплу Я. Вложением однородного пространства (7/Я называется пара (Х,х), где X — алгебраическое ^'-многообразие и х € X — точка, орбита (7ж которой открыта и плотна в X, а стабилизатор Сх совпадает с подгруппой Я. Можно сказать, что вложения однородного пространства С/Я — это (7-многообразия с предписанной открытой (7-орбитой. В частности, каждое сферическое многообразие можно рассматривать как вложение некоторого сферического однородного пространства. Исторически теория вложений однородных пространств возникла из задач перечислительной геометрии: число тех или иных геометрических объектов интерпретировалось как индекс пересечения дивизоров на однородном пространстве, и для вычисления такого индекса пространство удобно пополнить и учитывать точки пересечения ”иа бесконечности”. Позже выяснилось, что в терминах вложений можно описывать свойства исходного однородного пространства С/Я. Вот замечательный пример: однородное пространство С/Я является сферическим тогда и только тогда, когда каждое его вложение содержит конечное число С-орбит. Это утверждение следует из работ нескольких авторов, а именно, Ф. Серведио [124] доказал конечность числа С-орбит на аффинном сферическом многообразии, Д. Луна и Т. Вуст [102] обобщили это на произвольные сферические многообразия, и Д.Н. Ахиезер [7] доказал обратную импликацию. Более общо, сложность произвольного однородного пространства можно охарактеризовать в терминах вложений. По аналогии с работами В.И. Арнольда по теории особенностей, модальностью действия связной аффинной алгебраической группы Я на многообразии X называется целое неотрицательное число
тос1/’(Х) = шах mmcodimy.Fi/,
где У пробегает все Я-инвариантные неприводимые подмногообразия в X. Тем самым, модальность действия -- это максимальное число параметров в непрерывном семействе орбит на многообразии. В частности, действия модальности пуль — это в точности действия с конечным числом орбит. В работе [11] Э.Б. Винберг показал, что для произвольного многообразия X с действием редуктивиой группы <7 модальность гпос1е(АГ) совпадает со сложностью действия. В частности, модальность тобсРО вложения (Хух) однородного пространства С/Н не превосходит его сложности. С другой стороны, Д.Н. Ахиезер [8] построил проективное вложение произвольного однородного пространства С/Н, модальность которого равна Сс(<7/Я). Итак, сложность однородного пространства редуктивиой груп-
б
пы — это максимальное значение модальности по всем его вложениям.
Для сферических однородных пространств построена замечательная теория вложений, см. [102], [86], [133], обобщающая теорию торнчсских многообразий. Здесь вложения задаются так называемыми цветными конусами и веерами. Развивая результаты Д. Луны и Т. Вуста [102], Д.А. Ти-машев [34] получил аналогичное (но существенно более сложное) описание вложений однородных пространств сложности один. Однако для однородных пространств сложности > 2 описание всех вложений в рамках теории Луны-Вуста едва ли возможно. Поэтому естественно исследовать специальные классы вложений данного однородного пространства.
Будем называть вложение (Я", а;) однородного пространства G/H аф-финкым, если X является аффинным многообразием. Нетрудно показать, что однородное пространство допускает аффинное вложение тогда и только тогда, когда оно квазиаффпнно. Важным дополнительным средством изучения аффинных вложений по сравнению с проективным случаем является G'-модульная структура на алгебре регулярных функций К[Я] и взаимодействие этой структуры с умножением в алгебре. С другой стороны, аффинные вложения можно получать из проективных, переходя от проективного многообразия к конусу над ним. Эти соображения часто используются в диссертации.
Насколько нам известно, впервые аффинные вложения однородных пространств аффинных алгебраических групп рассматривались в работе М. Розеилихта [122]. Через несколько лет в работах Г. Хохшильда и Г. Мостов [78], [79] был введен комплексно-аналитический вариант этого понятия. Важными примерами описания всех аффинных вложений данного однородного пространства являются классификация S-многообразиЙ (Э.Б. Винберг и В.Л. Попов (16|) и построенная В.Л. Поповым [28] теория 0Ь(2)-вложеииИ. Активно развивающаяся в последнее время теория аффинных алгебраических моноидов также является частью теории аффинных вложений, так как каждый аффинный моноид с группой обратимых элементов G является аффинным вложением однородного пространства (GxG)/G, и обратно, каждое такое вложение имеет структуру моноида. К теории аффинных вложений следует отнести многочисленные результаты о замыканиях орбит алгебраических групп па аффинных многообразиях. Среди них — критерий Д. Луны [99] замкнутости орбит, который послужил мотивировкой для введения автором в работе [Д18[ понятия аффип-но замкнутого пространства, т.е. аффинного однородного пространства, которое допускает только тривиальное аффинное вложение. 13 диссертации мы описываем аффинно замкнутые пространства для произвольной аффинной алгебраической группы и используем это понятие при решении других задач. Среди прочего, мы описываем (совм. с Д.А. Тимаше-вым) аффинные однородные пространства редуктивной группы, каждое аффинное вложение которых имеет конечное число орбит, и находим мак-
7
симальиое значение модальности по всем аффинным вложениям данного аффинного однородного пространства. Обобщая результат В.Л. Попова [28) о группе эквивариантных автоморфизмов ЗЬ(2)-вложения, мы получаем условие разрешимости связной компоненты единицы группы эквивариантных автоморфизмов аффинного вложения.
Пусть Н подгруппа Гроссхапса в группе (7. Тогда однородное пространство (7/Я допускает аффинное вложение в спектр ЭресЩС/Я] алгебры регулярных функций на пространстве С/II. В работе [Д11) мы назвали это вложение каноническим и обозначили его СЕ((7/Я). Из результатов Ф. Гроссхапса (см. [73]) следует, что СЕ((7/Я) — нормальное аффинное вложение, в котором дополнение к открытой орбите имеет коразмерность > 2. Эти свойства определяют каноническое вложение однозначно, и из существования у однородного пространства С/Я аффинного вложения с такими свойствами следует, что Я — подгруппа Гроссханса в С. В диссертации каноническое вложение играет ключевую роль: с его помощью мы осуществляем переход от аффинных вложений к вложениям с малой границей.
Мы рассматриваем несколько приложений теории аффинных вложений. Первое относится к классификации алгебр с конечно порожденными инвариантными подалгебрами. Хорошо известно, что каждая подалгебра в алгебре многочленов К[а;1 над произвольным полем К конечно порождена. Нетрудно показать, что это свойство выполнено и в любой конечно порожденной целостной алгебре, размерность Крулля которой равна 1. С другой стороны, в алгебре К[а?, г/] легко указать не конечно порожденную мономиальную подалгебру. Используя лемму Нетер о нормализации, можно вложить такую подалгебру в любую алгебру с размерностью Крулля > 2. В диссертации найдены все аффинные (7-алгебры, в которых каждая инвариантная подалгебра конечно порождена. Напомним, что аффинной С-алгеброй называется конечно порожденная К-алгсбра А с заданным действием аффинной алгебраической группы (7 автоморфизмами, причем это действие определяет па А структуру рационального Сг-модуля. Оказывается. что помимо одномерных алгебр интересующим нас свойством обладают только алгебры функций на 5-многообразиях, определяемых полугруппой ранга один, и алгебры функций па аффинпо замкнутых однородных пространствах.
Второе приложение касается инвариантных алгебр на однородных пространствах компактных групп Ли. Задача описания инвариантных подалгебр в банаховой алгебре всех непрерывных комплекспозпачиых функций на однородном пространстве К/Ь компактной группы Ли К изучалась начиная с 60-х годов XX века методами функционального анализа, см. например [67] и [139]. В работах В.М. Гичева и И.А. Латыпова [23], [69], [96], [97] намечен алгебраический подход к решению этой задачи. В диссертации, основываясь на идеях Э.Б. Винберга, мы превращаем этот’ подход
8
I
в строго обоснованное соответствие.
Напомним, что действие редуктивной грз'ппы на аффинном многообразии называется стабильным, если типичная орбита этого действия замкнута, см. работу В.Л. Попова [26]. Стабильные действия играют важную роль в геометрической теории инвариантов, поскольку условию стабильности удовлетворяет действие группы на инвариантных аффинных картах множества стабильных точек линеаризованного расслоения. Класс стабильных действий удобен для исследования методами современной теории инвариантов, поскольку стабильные действия — это действия, для которых слой общего положения морфизма факторизации состоит из одной орбиты. Мы доказываем, что для произвольного действия полупро-стой группы G на аффинном многообразии X диагональное Содействие на декартовой степени Хт становится стабильным при достаточно больших значениях т. Это подтверждает общий тезис о том, что типичное действие полу простой группы стабильно; в случае линейных действий это следует из критерия стабильности В.Л. Попова [26] и таблиц А.Г. Элатви-ли [39], [40|. Теорема Д. Луны [99] утверждает, что для любых редуктив-ных подгрупп F и Н редуктивной группы G левое действие подгруппы F на аффинном однородном пространстве G/H стабильно. В диссертации изучается стабильность действия редуктивных подгрупп на аффинных вложениях некоторых неаффинных однородных пространств G/H.
Значительная часть диссертации посвящена геометрической теории инвариантов. Основу этой теории составляет конструкция Д. Мамфор-да [305]. Пусть X —■ нормальпое проективной многообразие с действием редуктивной группы Gy и L — обильное линейное расслоение на X. Предположим, что расслоение L G-линеаризовано, т.е. задано такое регулярное действие группы G на пространстве расслоения L, что проекция L —> X G-эквивариантна и действие линейно на слоях. Линеаризация определяет структуру рационального модуля на пространствах сечений Г(XyL®m) тензорных степеней расслоения L. С каждым инвариантным сечением / € Г(Х, lfim)G свяжем открытое аффинное инвариантное подмножество X/ = {х Е X;f(tг) 0}. Тогда множеством полуапабнлъных точекXs*(L) называется объединение подмножеств X/ по всем натуральным тп и всем / € Т(ХуЬ&,п)°. Множество полустабильпых точек допускает фактор Xs* (L) —> Xss{L)/jG. который получен склейкой категорных факторов для аффинных многообразий X/ Xjj/G. Зафиксируем последнее свойство в качестве определения. Пусть U - нормальное алгебраическое многообразие с действием редуктивной группы G. Инвариантный аффинный морфизм р: U —> У в алгебраическое многообразие У называется хорошим фактором, если индуцированный им гомоморфизм пучков алгебр р*: Оу -+ 0§ является изоморфизмом. Термин ’’good quotient” впервые был использован в работе К.С. Шешадри [125]. Хороший фактор является категорным в категории алгебраических многообразий, поэтому
о
для данного действия может быть не более одного такого фактора, и фак-торпростраиство У принято обозначать U//G. Известно, что для фактора Мамфорда Xss(L) —> XS4(L)//G факторпространство XSS(L)//G проективно. Конструкцию Мамфорда можно обобщить на произвольное нормальное (7-многообразие X и произвольное G-линеаризованное линейное расслоение L, используя в определении Xя* (L) только аффинные открытые подмножества X/. Здесь факторпространства ATSS(L)//G квазипроек-тивиы.
Определение хорошего фактора является весьма ограничительным, и далеко не каждое G-многообразие допускает такой фактор. С другой стороны, на данном G-многообразии может быть много инвариантных открытых подмножеств, обладающих хорошим фактором. Такие подмножества принято называть хорошими G-подмн оэ/с сс гп вам il Одной из центральных задач геомегрической теории инвариантов является задача описания всех хороших G-подмножеств на данном G-многообразии X. Будем говорить, что открытое подмножество V хорошего G-подмножества U насыщено в Uу сели V = p~l(\V) для некоторого открытого подмножества W С U//G. Ясно, что при описании хороших G-подмножеств достаточно ограничиться максимальными относительно насыщенных включений. Имеет смысл рассматривать хорошие G-подмножества для конкретных классов фак-торпространств. Помимо квазипроективных мы рассматриваем более широкий класс А2-мпогообразий, т.е. многообразий, любые две точки которых имеют общую аффинную окрестность. По аналогии с определением квазипроективного многообразия как локально замкнутого подмножества проективного пространства, теорема Я. Влодарчнка [138] характеризует А2-многообразия как замкнутые подмногообразия торических многообразий. Максимальные хорошие G-подмножества среди хороших G-подмиожеств с квазипроективным (coût. А2-) факторпространством называют qp-максимальными (соот. (G, 2)-максимальным). Известно, что на гладком G-многообразии X каждое qp-максимальное подмножество имеет вид XS*(L) для некоторого линеаризованного линейного расслоения L. см. [50]. Ю. Хаузен [76J доказал, что этот результат справедлив для произвольного нормального G-многообразия, если заменить линеаризованные линейные расслоения па подходящим образом определенные линеаризованные дивизоры Вейля.
Два линеаризованных линейных расслоения L\ и L2 па G-многообразии X называются GIT-эквивалентными, если X**(Li) = XКак показано в работах [65], [131] и [117], для проективного G-многообразия отношение GlT-эквивалеитиости определяет на конусе линеаризованных обильных расслоений структуру веера. Будем называть этот веер GIT-веером. Для доказательства этого результата и вычисления GTT-всера в указанных работах использовался численный критерий Мамфорда. Например, И.В. Долгачев и Ю. Ху в работе [65] вычислили этим методом
вГТ-веер для диагонального действия группы 8Ь(тг) па (Р,~1)т.
В работе Ф. Берхтольда и Ю. Хаузеиа [46] в случае действия тора на аффинном многообразии X был предложен элементарный метод вычисления С1Т-веера, который описывает 01Т-эквивалентность для различных линеаризаций тривиального линейного расслоения. Здесь С1Т-конуса получаются всевозможными пересечениями орбитных конусов. Если X факториально, так получаются все рр-максимальные подмножества. В диссертации мы обобщаем этот подход и описываем все яр-максим ал ьные и ((?, 2)-максимальные подмножества на аффинном факториальном многообразии с действием связной редуктивной группы <7. Наши результаты включают в себя полученные ранее А. Бялыницким-Бирулей и Й. Свициц-кой описания максимальных хороших подмножеств для действий торов на векторном пространстве [54] и торическом многообразии [129]. Следует отметить, что комбинаторное описание максимальных хороших <7-подмножеств, факторпростраиства для которых являются произвольными алгебраическими многообразиями, или. более общо, алгебраическими пространствами, неизвестно. Пример, разобранный в работе [130|, показывает, что такое описание едва ли возможно.
Одной из основных идей, использованных в диссертации, является перенос результатов с аффинных на произвольные многообразия с помощью так называемой реализации Кокса. В своей известной работе [64] Д. Кокс связал с каждым невырожденным торическим многообразием кольцо многочленов, которое позже стали называть кольцом Кокса то-рического многообразия. Ю. Ху и С. Кил [81] заметили, что кольцо Кокса можно определить для более широкого класса многообразий, и охарактеризовали многообразия с конечно порожденным кольцом Кокса в терминах геометрической теории инвариантов. Грубо говоря, кольцо Кокса нормального многообразия X с конечно порожденной группой классов дивизоров С1(Х) определяется как
Я(Х) := 0 ГрС0*ф)).
#€С1(Х)
Формальное определение, особенно в случае наличия кручения в группе С1(А'), требует дополнительных усилий, ем. [44], |77] и |Д4]. Важным свойством кольца Кокса при условии свободиости группы С1(АГ) является его факториальность, см. [44] и [66]. Если в 1’руппе С1(Х) есть кручение, мы определяем градуированную версию факториальноети и доказываем, что кольцо Я(АГ) сю обладает, а также приводим примеры неф актор и ал ьи ы х колец Кокса.
Далее будем предполагать, что многообразие X имеет конечно порожденную группу С1(АГ) и конечно порожденное кольцо Кокса 7?(АГ). Тотальным координатным пространством X многообразия X называют аффинное (однородно факториальное) многообразие 8рее/?.(АГ). Опре-
и
делим квазитор Нерона-Севери Нх многообразия X как диагон ал изуе-мую алгебраическую группу, группа характеров которой отождествлена с С1(Х). Тогда С1(АГ)-градуировка на R(X) определяет действие квазитора Нх на многообразии X. Имеется открытое Д*-инвариантное под-■ - —
множество X С X, дополнение к которому имеет коразмерность > 2, и многообразие X реализуется как хороший фактор X по действию квазитора Н%, Морфизм факторизации q: X X называют универсальный торсором или реализацией Кокса для многообразия X. Важно отметить, что примеры реализаций Кокса возникали в разных работах до или одновременно с публикацией статьи Д. Кокса. Например, построенная в работе Э.Б. Випберга [1361 обертывающая полугруппа в нашей терминологии является тотальным координатным пространством над чудесной компактификацией полупростой группы присоединенного типа в смысле де Кончини-Прочези.
В работе Ф. Берхтольда и Ю. Хаузеиа [47| предложен способ кодировать реализацию Кокса многообразия X с помощью комбинаторных данных, связанных с системой образующих факториального кольцаR(X). Авторы назвали эти данные кольцам со связкой (a bunched ring). Используя кольцо со связкой, можно охарактеризовать многие геометрические свойства исходного многообразия.
Реализация Кокса может оказаться удобной для задания многообразий того или иного типа. Например, в работе В.В. Батырева и Ф. Хаддад [42] на этом пути было найдено единообразное описание всех аффинных SL(2)-вложений как факторов четырехмерных гиперповерхностей. Как отмечалось выше, кольцо Кокса торического многообразия является кольцом многочленов, но для неполных многообразий обратное утверждение неверно. Тем не менее, вычисление кольца Кокса часто позволяет найти все то-рические многообразия в данном классе многообразий, см. [18], [42], [Д6[, [Д14], [Д15].
В диссертации основное применение реализации Кокса связано с классификацией вложений с малой границей. Будем говорить, что вложение (Х,х) однородного пространства G/H имеет малую границу, если многообразие X нормально и дополнение к открытой G-орбите в X имеет коразмерность > 2. Бели Н -• подгруппа Гросханса в G, то единственным аффинным вложением с малой границей однородного пространства G/H является его каноническое вложение СЕ(G/Н). Примером проективного вложения с малой границей служит диагональное действие группы SL(rc) на (Рп~1)т при т < п. Для вложений с малой границей кольцо Кокса R(X) совпадает с кольцом Кокса однородного пространства R(G/H), которое в свою очередь изоморфно K[G/Üi], где Hi — пересечение ядер всех характеров подгруппы Н. Универсальным торсором является проекция однородных пространств G/H\ —> G/H. и для описания вложений с малой границей и определенными условиями максимальности (проек-
тивиость, А2-максимальность, 2-полнота) мы используем комбинаторное описание максимальных хороших Нх-подмиожеств на аффинном факториальном многообразии СЕ(С/Н{). В частности, мы получаем теорему конечности для таких вложений. Поскольку вложения с малой границей возникают у нас вместо со своей реализацией Кокса, мы можем воспользоваться теорией колец со связками и описать все локально факториальные и факториальные вложения, а также вычислить различные конуса дивизоров на пространстве вложения.
Также реализация Кокса использована нами для описания яр-макси-малмтых и (С, 2)-максимальных хороших (7-подмножеств на произвольном нормальном (^-многообразии X со свободной конечно порожденной группой С1(Х) и конечно порожденным кольцом Я(Х). Для этого устанавливается соответствие между хорошим (7-подмножествами на X и хорошими (Ст х Дх)-подмножествами на X. В частности, для данного класса многообразий мы получаем положительный ответ на вопрос А. Бялыницкого-Вирули [49) о конечности числа цр-максимальных подмножеств.
Краткое содержание диссертации
В первой главе получены результаты, относящиеся к теории алгебраических групп преобразований аффинных многообразий. В разделе 1.1 мы напоминаем необходимые сведения об алгебраических группах преобразований и однородных пространствах алгебраических групп. В разделе 1.2 получена классификация аффинных однородных пространств сложности один. Одним из важнейших классификационных результатов в теории алгебраических групп преобразований является классификация М. Крамера [94] сферических аффинных однородных пространств простых групп. Составленные в работе [94] таблицы, которые помимо перечня однородных пространств содержат образующие весовой полугруппы для каждого из пространств, многократно использовались в работах по теории инвариантов, теории представлений, теории интегрируемых систем, дифференциальной геометрии и математической физике. Классификация сферических аффинных однородных пространств полупростых групп была получена И.В. Микитюком [22] и, независимо, М. Брионом [60]. Наконец, все аффинные однородные пространства сложности один простых групп были найдены Д.И. Панюшевым [113]. В диссертации мы в определенном смысле завершаем этот классификационный цикл и получаем список аффинных однородных пространств сложности один полупростых групп. Это результат совместной работы с О.В. Чувашовой [Д8|. Здесь же мы напоминаем необходимые сведения из симплектической геометрии и теории интегрируемых гамильтоновых систем и объясняем значение однородных пространств сложности один для этих областей. Использованный
13
нами метод классификации близок к методу работы И.В. Микитюка [22]. В частности, операция, которую мы называем сцепкой, в [22] называлась "расширением пар". Отметим, что применение операции сцепки двух пар алгебра-подалгебра позволяет избежать рассмотрения глубины подалгебры (М. Брион) и проводить индукцию лишь по числу простых компонент объемлющей алгебры. Вычисление сложности однородного пространства основано на изучении стационарной подалгебры общего положения для представления изотропии и применении формул Паиюшева (теоремы 1.11 и 1.12). Как показывает наша классификация, списки однородных пространств сложности < 1 имеют разз'миый объем. Это подтверждает предположение, высказанное в работе [11], где задача классификации пространств сложности один была поставлена впервые.
Раздел 1.3 посвящен изучению различных вариантов конструкции стягивания действия редуктивтюй группы G на аффинном многообразии V', определенной в работе В.Л. Попова [31], и характеризации многообразий, возникающих в качестве тотальных пространств стягивания. Стягивание действия является одним из основных инструментов, используемых в современной теории инвариантов. Его эффективность объясняется тем, что стягивание сохраняет многие свойства действия, но приводит к действиям, которые в определенном смысле проще. Мы применяем эту конструкцию к задаче классификации действий с одиопараметрическим семейством типичных орбит. Инвариантные фильтрации, по которым производится стягивание, можно задавать выпуклыми конусами, и в случае сферического многообразия У каждое нормальное стягивание так реализуется. Применительно к аффинным алгебраическим моноидам такой подход использован в работе Э.Б. Винберга [136].
ß разделе 1.4 мы классифицируем все конечномерные рациональные G-модули редуктивной группы G, в которых все G-орбитьг сферичны. Доказано, что каждый такой модуль становится сферическим после расширения группы G централизующим ее тором. Классификация сферических модулей получена в работе К. Бенсона и Г. Ратклиффа [43] и, независимо, A.C. Лехи [98]. Результаты классификации собраны в таблицах 5 -7. Также показано, что алгебры Gs- и Г/-инвариаитов для таких G-модулей свободны. Классифицированы действия со сферическими орбитами на проекти-визациях P(V') конечномерных рациональных G-модулей V. Эти результаты опубликованы в работе [Д10]. Дальнейшее развитие результаты этого раздела получили в работах [84] и |70|.
В разделе 1.5 доказано, что для произвольного действия иолуиростой группы G на аффинном многообразии X найдется такое натуральное число п., что диагональное действие группы G на декартовой степени X х X х • • • х X (га копий) стабильно для любого т > п. Результаты этого раздела опираются на работу Э.Б. Винберга [135] и опз'бликованы в [ДЗ].
14
В разделе 1.6 дано новое элементарное доказательство нетривиально» импликации в критерии Мацусимы: если однородное пространство G/H редуктивной группы G является аффинным многообразием, то подгруппа Н редуктивна. В отличие от других доказательств, где рсдуктивпость Н выводится из отсутствия в Н нетривиальных нормальных унипотентпых подгрупп, мы доказываем, что все конечномерные рациональные представления группы Н вполне приводимы. Для этого мы рассматриваем инвариантные идеалы в алгебре регулярных функций К(С?/Я] и показываем, что аффинность G/Н равносильна тривиальности идеала, определенного в работе Э.Б. Вииберга [135]. Помимо доказательства критерия Мацусимы, информация об инвариантных идеалах в алгебре K[G/#] может быть полезна и в других ситуациях. В случае, когда алгебра K[G/H] конечно порождена, она содержит наименьший ненулевой радикальный инвариантный идеал (мы называем его граничным), который состоит из функций, равных нулю на дополнении к открытой орбите в каноническом вложении пространства G/Н. Если G редуктивна, то в K\G/H\ есть и наибольший собственный инвариантный идеал 1т\ он соответствует (единственной) замкнутой G'-орбите в каноническом вложении. Если не предполагать, что алгебра K\G/H] конечно порождена, то наибольший инвариантный идеал все равно*существует и совпадает с идеалом, определенным Э.Б. Випбсргом. Мы определяем в этой ситуации аналог граничного идеала и показываем, что для обозримой! подгруппы Н условие аффинности однородного пространства G/Н равносильно тому, что граничный идеал алгебры K[G/H\ совпадает со всей алгеброй. Результаты раздела 1.6 опубликованы в статье [Д13].
Вторая глава посвящена аффинным вложениям однородных пространств. В первом разделе мы рассматриваем аффинио замкнутые однородные пространства. В случае редуктивной группы G из результатов Д. Луны [101] следует, что однородное пространство G/II аффинно замкнуто тогда и только тогда, когда подгруппа Н редуктивна и имеет конечный индекс в своем нормализаторе Nc(H). В совместной работе с H.A. Тенновой [Д7] мы обобщаем теорему Луны и описываем аффинно замкнутые однородные пространства произвольной аффинной алгебраической группы G (теорема 2.3).
Во втором разделе мы переходим к классификации аффинных однородных пространств редуктивных групп, каждое аффинное вложение которых имеет конечное число G-орбит. Как было отмечено выше, этому требованию удовлетворяют все сферические однородные пространства. Из явного описания аффинных вложений группы SL(2), полученного В.Л. Поповым [28], следует, что здесь также число орбит всегда конечно. Заметим, что 8Ь(2)-вложения имеют сложность один. Наконец, очевидно, что интересующему нас условию конечности удовлетворяют аффинно замкнутые однородные пространства. Рассматривая аффштно замкнутое однородное
13
пространство G/T, где Т — максимальный тор группы G, мы замечаем, что сложность аффинно замкнутого однородного пространства может быть сколь угодно большой. Поэтому, в отличие от проективных вложений, конечность числа орбит в аффинных вложениях не может быть охарактеризована только в терминах сложности. Полученная в совместной с Д.А. Тимашевым работе [Д18] классификация по существу задает естественное объединение указанных выше трех классов однородных пространств (теорема 2.9). В качестве обобщения этого результата в работе [Д2] найдено максимальное значение модальности по всем аффинным вложениям данного аффинного однородного пространства (теорема 2.16). Этот результат, в частности, показывает, что если замыкание SL(3)-op6HTbi на произвольном 8Ь(3)-многообразии может содержать (не более чем) трехпараметрическое семейство орбит, то на аффинном SL(3)-мпогообразии в замыкании орбиты может лежать (не более чем) двухпараметрическое семейство орбит. Применительно к однородному пространству G/{e} теорема 2.16 допускает алгебраическую переформулировку. Предположи Nr, что группа G связна и полупроста. и рассмотрим действие G на алгебре К[С7] левыми сдвигами аргумента. Пусть А С K[G] — конечно порожденная подалгебра, инвариантная относительно этого действия. Тогда для любого простого инвариантного идеала I < А имеет место неравенство
tr.deg (Quot(/l//))<7 < -(dim G — rkG) — 1,
£
причем существует подалгебра А и идеал 7, для которых это неравенство обращается в равенство.
В разделе 2.3 мы напоминаем необходимые сведения о подгруппах Грос-сханса и изучаем каноническое вложение CE(G/77), где Н — подгруппа Гроссхапса в G. Рассматривается редуктивная оболочка подгруппы п исследуется, следуя работе [Д11|, наличие G-иеподвижной точки в каноническом вложении. Также із этом разделе мы перечисляем свойства канонического вложения однородного пространства G/Р“, где G -- связная редуктивная группа и Р" - утшпотентпый радикал параболической подгруппы Р группы G. Эти свойства потребуются нам в главе 5. Они в основном были получены Д.А. Тимашевым и вошли в совместную рабо-ту [Д19].
В разделе 2.4 мы возвращаемся к понятию стабильного действия и находим все простые и полупростьте неприводимые подгруппы Н простой группы G, которые действуют стабильно на главном аффинном однородном пространстве группы G. Последний термин восходит к работам И.М. Гель-фанда; в нашей терминологии главное аффинное однородное пространство — это каноническое вложение однородного пространства G/U, где U — максимальная унипотентная подгруппа группы G. Результаты.этого раздела используют и развивают методы работы Э.Б. Винберга [1351 и отвечают на вопрос, поставленный в этой работе. Они опубликованы в
1G
статье [Д9].
Раздел 2.5 посвящен эквивариантным автоморфизмам аффинных вложений. Поскольку группа эквивариантиых автоморфизмов однородного пространства G/H отождествляется с факторгруппой Nq(H)/H нормализатора Ng{H), для каждого вложения G/H <-> X группа Autcr(X) его эквивариантиых автоморфизмов может рассматриваться как подгруппа в Nq{H)/H. Мы изучаем вопрос о том, насколько могут отличаться группы Ng{H)/H и Autc'(AT). Основной результат этого раздела (теорема 2.50) утверждает, что для аффинного вложения с конечным числом G-орбит и G-неподвижной точкой связная компонента единицы Aut(?(A’)0 группы эквивариантиых автоморфизмов разрешима. Этот результат получен автором и опубликован в совместной с Д.А. Тпмашевым работе [Д19].
В разделе 2.6 классифицированы аффинные G-алгебры, каждая инвариантная подалгебра в которых конечно порождена. Мы разделили их на три типа (теорема 2.66): одномерные (в смысле Крулля) алгебры, алгебры функций на S-многообразиях, определяемых полугруппой ранга один, и алгебры функций па аффиино замкнутых однородных пространствах. Для всех прочих аффинных G-алгебр имеется единая геометрическая конструкция, которая приводит к не конечно порожденной инвариантной подалгебре (лемма 2.60). Для редуктивной группы G эти результаты получены в работе [Д11). Случай иередуктнвной группы G в некотором смысле проще, здесь отсутствует второй из перечисленных типов. Классификация в этом случае основана на результатах раздела 2.1 и опубликована в совместной с H.A. Тейповой работе [Д7).
Наконец, последний раздел второй главы посвящен применению теории аффинных вложений к задаче классификации инвариантных алгебр на однородных пространствах компактных групп Ли. Мы систематизируем известные ранее факты об инвариантных алгебрах, устанавливаем биективное соответствие между конечно порожденными инвариантными алгебрами и аффинными вложениями, рассматриваемыми с точностью до определенной эквивалентности (теорема 2.75), а также указываем интерпретации вышеизложенных результатов в терминах инвариантных алгебр. Например, из теоремы 2.9 следует, что при любой реализации сферы в качестве однородного пространства компактной группы Ли каждая конечно порожденная инвариантная алгебра содержит лишь конечное число радикальных инвариантных идеалов. Все результаты этого раздела содержатся в (Д12, Section 5).
В третьей главе разрабатываются комбинаторные методы для решения задачи описания открытых инвариантных подмножеств данного G-многообразия, допускающих хороший фактор. В первом разделе мы напоминаем необходимые сведения о хороших факторах по действию редуктивной группы. В разделе 3.2 излагается конструкция Д. Мамфорда [105), сопоставляющая каждому линеаризованному расслоению на многообра-
17
зии множество его полустабпльнмх точек тт хороший фактор для этого множества. Здесь же дано более общее понятие линеаризованного дивизора Вейля и приведена теорема Ю. Хаузена [76] о том, что множества полустабильных точек линеаризованных дивизоров Вейля включают в себя все максимальные чр-подмножества.
Два следующие раздела посвящены комбинаторному описанию цр- и (<3, 2)-максималышх подмножеств для действия редуктивной группы Є на аффинном факториальном многообразии 2 (теоремы 3.28 и 3.38 соответственно). Описание проводится в терминах орбитных конусов для действия 67 па 2, СІТ-веера действия, а также 2-максималытых наборов орбитных конусов. Условие 2-макси мальпости набора состоит в том, что любые два конуса из набора имеют общую внутреннюю точку. Такие наборы описывают (С?, 2)-максималы1ые подмножества. В свою очередь, условие квазипроективности фактора состоит в том, что общая внутренняя точка имеется у всех конусов набора. Эти результаты получены совместно с Ю. Хаузсном и опубликованы в работе [Д17]. Их доказательство основано на факторизации по действию максимальной полупростой подгруппы в группе 67 и редукции общего случая к известному ранее случаю действия тора.
В разделе 3.5 получена алгебраическая характеризация СГГ-весра для действия алгебраического тора Т на аффинном многообразии 2. Такое действие соответствует мультиградуировке на аффинной алгебре А регулярных функций на 2. Теорема 3.43 утверждает, что если для двух весов и и V найдется такое тп > 0, что для любого к > 0 отображение умножения определяет сюръекцию Акти Акту Льп(и+и)3 ТО воса и И V попадают в один ЗДТ-конус. Если хотя бы один из весов и или V попал в относительную внутренность общего вІТ-конуса, то верно и обратное утверждение. Эти результаты дают ответ па вопрос, поставленный Т. Ода в 1997 г. [110]. Пример 3.44 показывает, что если оба веса лежат на границе общего СІТ-коиуса. то обратная импликация может не выполняться. В этом случае теорема 3.47 доставляет критерий сюръективности отображения умножения па однородных компонентах в терминах нормальности образа отображения между ОІТ-факторами. Также мьт приводим алгоритм вычисления СІТ-веера мультиградуированной алгебры, заданной образующими и соотношениями. Основные результаты этого раздела получены совместно с Ю. Хаузеном и опубликованы в [Д16].
Четвертая глава начинается с определения кольца Кокса Я(Х) нормального алгебраического многообразия X с конечно порожденной группой классов дивизоров С1(ХГ). Для удобства изложения в первом разделе мы определяем пучки дивизориальных алгебр
5 := 0 во, 5В = 0*(£>), которые строятся по произвольной конечно порожденной подгруппе К
в группе дивизоров Вейля \VDiv (X) на многообразии X. Если группа С1(А”) свободна, то кольцо Кокса можно определить как дивизориальную алгебру, построенную по подгруппе К, которая проектируется на С1(Х) изоморфно. Мы проверяем, что с точностью до изоморфизма кольцо Кокса пе зависит от выбора подгруппы К. Если группа С1(Х) имеет кручение, то можно выбрать подгруппу К так, чтобы ее проекция на С1(Х) была сюръективной. Тогда кольцо Кокса получается факторизацией дивизори-альиой алгебры, построенной по К) по идеалу, который определяет отождествление однородных компонент дивизориальиой алгебры, отвечающих линейно эквивалентным дивизорам из К, см. раздел 4.3. Следуя работе |Д4], мы проверяем корректность определения кольца Кокса и доказываем однородную факториальность этого мультиградуироватшого кольца (предложение 4.31). т.е. однозначность разложения ненулевого однородного элемента па однородные простые множители (определение 4.22). Оказывается, что в случае свободной градуирующей группы С1(Х) однородная факторпальность равносильна факториальностп, тт тем самым мы получаем простое доказательство известной ранее теоремы о факториаль-ности колец Кокса. Если же группа С1(Х) имеет кручение, то кольцо Я(Х) может не быть факториальным. Чтобы привести соответствующий пример, мы вычисляем кольцо Кокса однородного пространства С/Я связной группы С с тривиальной группой Пикара и тривиальными характерами. Здесь кольцо Кокса Я(С/Я) изоморфно кольцу К[С/Ях], где Н\ — пересечение ядер всех характеров подгруппы Я (теорема 4.41). Этот результат основан на описании группы Пикара однородного пространства, см. работу В.Л. Попова [29]. В частности, если N — это нормализатор максимального тора Т в группе 8Ъ(2), то кольцо Кокса Я(ЭЦ2)/Лг) изоморфно К[8Ь(2)/Т], и поэтому факториальным не является. Другой пример такого сорта можно получить, рассматривая факторпространство К2 по линейному действию группы кватернионов <5а, см. пример 4.48. Более того, для любой конечно порожденной абелевой группы А с кручением найдется однородное пространство С/Я. для которого С1(С/Я) изоморфна А и кольцо /£(С/Я) не факториально, см. пример 4.43.
Наряду с алгебраическими свойствами колец Кокса, в главе 4 мы изучаем каноническую реализацию многообразияX в качестве хорошего фактора открытого подмножества^ тотального координатного пространствах многообразия X по действию квазитора Неротта-Севери Нх- Такую реализацию <?: X —)■ X мы называем реализацией Кокса многообразия X. Аффинные многообразия X характеризуются условием X = X. В разделе 4.5 мы получаем характеризацию реализации Кокса в терминах действия квазитора на однородно факториальном аффинном многообразии (предложе-ниие 4.44), описываем реализацию Кокса для факторпространств векторных пространств по линейному действию конечной группы (теорема 4.45) и для однородного пространства С/Я алгебраической группы С. В по-
19
следнем случае, если подгруппа Н\ оказывается подгруппой Гроссханса в G, то тотальное координатное пространство G/H изоморфно каноническому вложению однородного пространства G/Hi. Также мы приводим пример аффинного многообразия, кольцо Кокса которого не конечно порождено.
В разделе 4.6 мы получаем аналог теоремы Кокса [64] о подъеме автоморфизмов для аффинных многообразий. Пусть Я = ф«еЛ/Дх — коммутативная ассоциативная алгебра с единицей, градуированная конечно порожденной группой М. Определим подгруппу Aut(Ä) группы автоморфизмов алгебры R как
Aut(R) = {<р € Aut(Ä) | 3(ро G Aut(iW) : <p{Ru) = Rtp0(u) V гг € М}.
Теорема 4.52 утверждает, что для неприводимого нормального аффинного многообразия с конечно порожденной группой С1(Х), квазитором Нерона-Ссвери Нх и условием К[А’]Х = П€х имеется следующая точная последовательность:
1 ->#*-> Аut(R(X)) -> Aut (А) -> 1.
Этот результат позволяет перенести понятия ручного и дикого автоморфизмов с аффинного пространства на любое аффинное торичеекое многообразие: для этого надо поднять автоморфизм аффинного торического многообразия на его кольцо Кокса, которое является кольцом многочленов. Результаты разделов 4.5 и 4.6 получены автором, они вошли в совместную с С.А. Гайфуллиным работу [Д6|.
В пятой главе изучаются эквивариаитные открытые вложения однородных пространств с малой границе!'!. В первом разделе доказано, что проективные вложения с малой границей однородного пространства G/H в случае эпиморфной подгруппы II отвечают тем характерам Я, ядра которых являются подгруппами Гроссханса в G. Этот результат был известен специалистам, некоторый его вариант содержится в работе [57]. Затем мы находим характеризацию тех характеров, ядра которых обозримы. Гарантировать условие Гроссханса сложнее, поэтому все последующие результаты этой главы получены в предположении, что подгруппа Н является расширением Гроссханса, т.е. Н связна и отвечающая ей подгруппа Hi есть подгруппа Гроссханса в G. Мы доказываем, что построенное но характеру проективное вложение с малой границей зависит только от GIT-конуса, в который попадает характер. Отсюда вытекает конечность числа классов изоморфизма проективных вложений с малой границей (теорема 5.12). Также доказано, что однородное пространство G/Н, где G = (SL(2))9, а Я — эпиморфная подгруппа, указанная в работах [57] и [58], не допускает пополнений с малой границей (теорема 5.10). Результаты этого раздела опубликованы в работе [Д5].
Раздел 5.2 носит вспомогательный характер. В нем собраны результаты из [Д15, Section 2|, которые показывают, что открытые вложения
20
V 4 I с малой границей алгебраического многообразия V биективно соответствуют промежуточным хорошим -^-подмножествам \¥х, где
V С У/х ^ У• При этом многообразие X является факторпространством \Ух по действию тора Ну, а морфизмы V-вложений соответствуют включениям между подмножествами УУх множества X.
В разделе 5.3 эти соображения применены к описанию А2-максимальных вложений с малой границей однородного пространства (9/Я, где Я — расширение Гроссханса. Здесь V = С/Я, V = <9/Яь а V - каноническое вложение пространства 0/Н\. Как следует из теоремы 3.38, промежуточные подмножества ТК*, отвечающие А2-максимальным вложениям с малой границей, задаются 2-максимальными наборами орбитных конусов, причем для того, чтобы открытая орбита па пространстве вложения была изоморфна О/В, нужно, чтобы набор был внутренним (теорема 5.30). Отсюда следует конечность максимальных вложений. Все результаты этого раздела получены совместно с Ю. Хаузеттом в работе [Д15].
В разделе 5.4 рассматриваются примеры вложений однородных пространств с малой границей. Среди прочего, приводится полученная в |Д5, §5] классификация проективных вложений с малой границей для однородных пространств группы $Ь(3), а также описание вложений с малой границей однородных пространств простых групп в торические многообразия (предложение 5.41).
Раздел 5.5 посвящен геометрии вложений с малой границей. Используя теорию колец со связками, мы описываем конуса эффективных, подвижных, полуобильных и обильных дивизоров вложения с малой границей, характеризуем локально факториальные и О-факториал ьные вложения и, при определенных ограничениях на каноническое вложение пространства С/Яь описываем гладкие вложения и вычисляем канонический класс вложения.
В шестой главе мы возвращаемся к задаче описания хороших <9-подмножеств. На этот раз рассматривается произвольное нормальное (9-многообразие со свободной конечно порожденной группой! классов дивизоров С1(Х) и конечно порожденным кольцом Кокса Я(Х). Мы работаем с эквивариаитной реализацией Кокса, т.с. с подъемом действия группы (9 на тотальное координатное пространство X, коммутирующим с действием тора Нерона-Севери, см. [Д17] и [Д14]. Результаты третьей главы дают полное описание максимальных хороших подмножеств для действия редуктивной группы на аффинном факториальном многообразии с ква-зипроектнвным и А2-факторпространством. Теперь мы можем применить это описание к тотальному координатному пространству X, рассматриваемому как аффинное факториальное ((9 х Я^)-многообразие. Теорема 6.5 показывает, как получить из этого описания все хорошие (9-подмножества на многообразии X.
Соответствие из теоремы 6.5 применимо к очень широкому классу <9-
21
многообразий. Тем не менее оно оказывается полезным даже в классической задаче о вариации фактора множества полустабильных точек при различных выборах обильного линеаризованного расслоения на проективном многообразии. При некоторых естественных ограничениях такая вариация описывается GIT-веером для (G х Я у)-действия на Х> который определяется своими стенками, т.е. орбитными конусами коразмерности один. Предположим, что группа G полупроста. Тогда стенки — это орбитные конуса точек категорного фактора A //G, стабилизаторы которых относительно действия тора Нх одномерны. Во многих случаях известной информации об образующих алгебры G-инвариантов и соотношениях между ними достаточно, чтобы явно выписать уравнения, задающие стенки GIT-веера. Мі,і иллюстрируем этот метод, вычисляя GIT-веер для диагонального действия симплектической группы Sp(2n) на произведении P(K2n)m нескольких копий проективизации ее тавтологического представления (теорема 6.12). Другая серия примеров — это произведения проек-тивизаций неприводимых компонент приводимых представлений группы G, алгебра инвариантов которых свободна. Возникающие здесь фактор-пространства оказываются торическими многообразиями.
Известное соответствие Гельфанда-Макферсоиа [68) связывает типичные орбиты диагонального действия группы SL(n) на (РП-1)7П и типичные орбиты естественного действия тора на грассмапиане G(?i,m). Это соответствие определяет изоморфизмы между определенными факторпро-страпствами для обоих действий, см. [83, Theorem 2.4.7]. В рамках нашего соответствия между хорошими подмножествами на G-многообразии и его тотальном координатном пространстве соответствие Гельфанда-Макферсоиа можно обобщить на многие классы действий и доказать изоморфизм обратных пределов системы GIT-факторов для действия полу-простоп группы и соответствующего ему действия тора (теорема 6.17).
В последнем разделе мы описываем реализацию Кокса для так называемых глубоких GIT-факторов. Естественно предположить, что такая реализация получается при факторизации относительно действия тора Нерона-Севери подходящего открытого подмножества в фактор пространстве X//G. Другими словами, для нахождения реализации Кокса (или вычисления кольца Кокса) GIT-фактора надо профакторизовать тотальное координатное пространство многообразия X по действующей полу-простой группе G. Оказывается, такое предположение верно не для всех GIT-факторов, а только для тех из них, для которых соответствующие GIT-коиуса расположены в определенном смысле далеко от границы носителя GIT-веера (теорема 6.22). Зная реализацию Кокса, мы вновь можем воспользоваться теорией колец со связками и описать конуса дивизоров для GIT-факторов, а также охарактеризовать локально факториальные и Q-факториальиыс GIT-факторы. Все результаты шестой главы получены совместно с 10. Хаузеном и опубликованы в работе |Д17).
22