Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса

2
Оглавление
Введение..................................................... 7
Общие сведения................................................ 16
Глава 1 Обобщенные решения прямых задач для нестационарного модифицированного уравнения переноса... 19
1.1 Предварительные сведения. Обозначения.................. 19
1.2 Обобщенные решения прямых задач для нестационарного
модифицированного уравнения переноса .................. 20
Глава 2 Обратная задача для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является функция источников............................ 33
2.1 О задаче управляемости для модифицированного уравнения
переноса с финальным переопределением.................. 33
2.1.1 Предварительные сведения. Обозначения............ 33
2.1.2 Определение параметра линейного модифицированного уравнения переноса по информации о финальном состоянии процесса..................................... 34
2.1.3 Обратная задача для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением 40
3
2.1.4 Формулировка основного результата................. 46
2.1.5 Строгая дифференцируемость оператора 5............ 47
2.1.6 Завершение доказательства основного результата . . 47
2.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с терминальным переопределением ............................................ 50
2.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных
операторах для прямой задачи...................... 50
2.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных
к дифференциальным операторам для прямой задачи 51
2.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.............................................. 54
Глава 3 Обратная задача для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является индикатриса рассеяния........................... 66
3.1 О задаче управляемости для модифицированного уравнения
переноса с финальным переопределением.................... 66
3.1.1 Предварительные сведения. Обозначения............. 66
3.1.2 Обобщенная разрешимость обратной задачи для
линейного модифицированного уравнения переноса определения пары функций ц и ;.................... 67
4
3.1.3 задача управляемости для нелинейного модифициро-
ванного уравнения переноса с финальным переопределением .......................................... 73
3.1.4 Формулировка, основного результата................. 77
3.1.5 Строгая дифференцируемость оператора 5............. 78
3.1.6 Завершение доказательства основного результата . . 79
3.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с терминальным переопределением ............................................. 81
3.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных
операторах для прямой задачи....................... 82
3.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных
к дифференциальным операторам для прямой задачи 83
3.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи............................................... 86
Глава 4 О задаче управляемости для нестационарного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке.................................. 99
4.1 Обобщенная разрешимость обратных задач для линейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке....................................101
4.1.1 Обобщенная разрешимость обратной задачи определения пары функций и и /................................101
4.1.2 Обобщенная разрешимость обратной задачи определения пары функций и и ^................................109
4.2 Обратная задача для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, где управлением является функция источников Р. . . 113
4.2.1 Формулировка основного результата................ 115
4.2.2 Строгая дифференцируемость оператора 5............116
4.2.3 Завершение доказательства основного результата . . 117
4.3 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке....................119
4.3.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи............................120
4.3.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных
к дифференциальным операторам для прямой задачи 121
4.3.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи............................................. 123
4.4 Обратная задача для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на. выходящем потоке, где управлением является индикатриса рассеяния /. . 136
4.4.1 Формулировка основного результата...............138
4.4.2 Строгая дифференцируемость оператора 5......... 139
4.4.3 Завершение доказательства основного результата . . 140
4.5 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, где управлением является индикатриса рассеяния 3.................................. 142
4.5.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи............................ 143
4.5.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных
к дифференциальным операторам для прямой задачи 144
4.5.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.............................................. 147
Заключение.....................................................160
Литература.....................................................162
7
Введение
В диссертации исследуется локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением и переопределением на выходящем потоке для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса. Эти задачи можно рассматривать как задачи управляемости, в которой управлением является множитель в правой части или характеристики среды, зависящие только от пространственных переменных.
Актуальность темы. Задачи управляемости в математической физике для линейных и нелинейных объектов, описываемых уравнениями в частных производных, являются предметом исследований многих математиков, и в настоящее время наблюдается повышенный интерес именно к этой тематике по сравнению с другими проблемами теории управления. Это связано, в первую очередь, с тем, что вопросы необходимых или достаточных условий оптимальности, по крайней мере, на идейном уровне функционального анализа, в основном прояснились, хотя, конечно, и там остались возможности для развития и обобщений. Далее, выводы, получаемые при использовании общих теорем об условиях экстремума в задачах с частными производными, как правило, не доводят процесс решения до пригодного для использования результата, хотя и дают возможность взглянуть на исходную задачу с другой, не менее сложной, стороны. Во вторую
8
очередь, многие задачи управляемости (технические, экономические, экологические, производственные, социальные, биологические, климатические и др.) получили возможность решения именно в последнее время в связи с бурным развитием науки, техники, вычислительной техники, и это побудило математиков дать теоретическое подкрепление хотя бы для каких-нибудь простейших моделей, связанных с управляемостью.
Диссертация посвящена одному из таких вопросов.
Изложение естественным образом разделено на четыре части.
В первой главе Доказана, однозначная разрешимость обобщенного решения начально-краевой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса, которое отличается от обычного уравнения переноса заменой в интегральном слагаемом функции, являющейся решением, некоторой постоянной функцией из того же класса, что и решение.
Во второй главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных. Аналогичный результат для линейной обычной задачи получен ранее в работе [15,24]. Основная идея доказательства состоит в двукратном использовании известной уточненной теоремы
9
об обратной функции применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей (см |2б,27)).
В третьей главе получен результат, аналогичный результату, полученному во второй главе, но управлением является индикатриса рассеяния. Доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса. Поскольку обычная теорема об обратной функции локальна, то и результат носит локальный характер без уточнения допустимых размеров окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения. Попутно введены обозначения для различных операторов (линейных и нелинейных), встречающихся по ходу дела. Во второй части на основе двукратного использования уточненной теоремы об обратной функции (наиболее общий ее вариант принадлежит Сухинину и доказывается с помощью леммы Цорна, хотя в случае, рассматриваемом в диссертации, а именно, когда обратная функция единственна, эта теорема доказывается с помощью принципа сжимающих отображений и стандартных рассуждений, известных до публикаций Сухинина на эту тему). С использованием обозначений из первой части получены достаточные условия па размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача, была однозначно разрешима.
В четвертой главе доказана локальная разрешимость обратных задач для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса
10
в случае переопределения на выходящем потоке, которые можно трактовать как задачи управляемости. В первой части доказана локальная разрешимость обратной задачи для линейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на. выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу управляемости, где управлением является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния. Во второй части доказана локальная разрешимость обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с переопределением па выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу управляемости, где управлением является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния. В третьей части уточняется допустимый размер окрестности, с тем чтобы указанная обратная задача для модифицированного уравнения переноса была однозначно разрешима. Основная идея доказательства состоит, так же как и в предыдущих главах, в двукратном применении уточненной теоремы об обратной функции.
Изучение обратных задач для линейных уравнений переноса началось достаточно давно. Первые постановки этих задач можно найти в [1-3]. После этого появились работы, посвященные, например, вопросам единственности решения многомерных обратных задач для стационарного односкоростного линейного уравнения переноса. Эти вопросы были изучены в работе [4]. Для нестационарного многоскоростного линейного уравнения
и
переноса
ди
тггО^'М) + (V, У)и(я, V,*) -Ь £(х,-и,£)и(х,г>}£) = ос
= J J(x1v, £,г/)а(хуі/,£) сіу' + Р(х,г>,£),
V
теоремы существования и единственности решений обратных задач в клас-
ди ,
се функций, непрерывных вместе со своими производными — и (г?, \)и)
оЬ
получены в работах [5,6]. Аналогичные теоремы доказаны методом полугрупп в работе [7]. Ряд статей посвящен изучению обратных задач теории переноса в плоскопараллельной геометрии, а также для иных видов линейного кинетического уравнения. В [8] исследуются вопросы существования и единственности обобщенных решений обратных задач для нестационарного миогоскоростного линейного уравнения переноса с переопределением интегрального типа. При этом изучается также корректность постановки соответствующих прямых задач. Необходимо отметить, что исследование прямых задач для того или иного вида уравнения переноса проводились в многих работах (см., например, [9-14] и их библиографии). В [15] изучается управляемость некоторых систем с распределенными параметрами, описывающих процесс массоперетюса, и рассматривается подход к задачам управления с точки зрения теории обратных задач математической физики. Получен ответ на вопрос об управляемости нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса (В.1)-(В.4) с финальным пе-
12
реопределением.
щ(х, v, £) H- (г;, V)tt(x, v, t) 4- £(ж, у, t)u(x, v, t) =
= j J(x, v1, t, v)u(x< v . t) civ' F(x. v. t),
V
(a:,M) e D = G xV x{0,T), (B.l)
u(x. v. t) = v, t). (x, vy t) € 7- x [0,71],
где 7- = {(ж, v) edG xV : (v,nx) < 0} , (B.2)
u(x. v. t) — <p(x> v), (ж, v) £ G x V, (B.3)
u(x, v, f) = *0(x*, v), (ж, v) e G x V , (B.4)
также исследованы нелинейные обратные задачи определения стационарной части коэффициента поглощения £ или индикатрисы рассеяния
,/. Иначе, в предположении, что функции Е и J представимы в виде
Е(х,уЛ) = a(x,v,t)gi(x,v}t) 4- hi(x,v,t),
J(ж, г»7, t, г>) = Дж, г0<?2(я> ц', £, г») 4- Л2(ж, г?7, £, г»),
где <т, j — искомые, а д\, дг, /tj, Л2 — априори заданные функции; таким образом обратные задачи заключаются в определении пар функций {и, <т} или почти всюду удовлетворяющих условиям (В.1)-(В.4) (уравне-
ния линейные, но обратная задача при такой постановке становится нелинейной). Для означенных задач доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений {и, а} или {u,j} этих обратных задач, которые могут трактоваться как нелинейные задачи управления из началь-
13
ного состояния <р(х,у) в стационарное состояние -ф(х,у) за конечное время Т.
Кроме вопроса управляемости процессом массопереноса Ы.Г1 Волковым изучались некоторые проблемы из теории оптимального управления в задачах математической физики [16]. В частности, получен критерий оптимального управления источниками в некоторых процессах нестационарного переноса нейтронов [17] в [18].
Исследованию линейных уравнений переноса посвящено большое количество работ (см., например, [28-32| и их библиографии).
Цель работы.
1. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние, за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является - в одном случае -функция источников п - в другом случае - индикатриса рассеяния, зависящие только от пространственных переменных.
2. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с переопределением на выходящем потоке, которую можно
14
трактовать как задачу локальной управляемости, где управлением . является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния, зависящие только от пространственных переменных.
Общая методика исследования. В основе доказательства теоремы о локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса лежат известные свойства решений линейных (прямой и обратной) задач, а также двукратное применение теоремы об обратной функции, обычной и уточненной применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей в соответствующих функциональных пространствах (в одном из двух случаев пространство прообразов определяется как множество решений соответствующей линейной задачи).
Выли также использованы неравенство Гельдера , теорема Фубини, теорема Лебега, теорема Адамара, теоремы вложения, неравенство Мин-ковского, теорема Банаха, теоремы о следах, принцип сжимающих отображений, лемма Гронуолла, принцип Банаха о неподвижной точке, теория полугрупп, формула Ныотона-Лейбница.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:
1. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением для случая 2 ^ р < оо с уточнением размера допустимой