Линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты

0 Введение 6
1 Исторический обзор 21
1. Линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты, и теория представлений 21
2. Общая постановка задачи 25
3. Основные методы решения 27
3.1 Теория классических групп 28
3.2 Проективная геометрия 30
3.3 Дифференциальная геометрия 32
3.4 Дуализации 33
3.5 Тензорное исчисление 35
3.6 Матричная комбинаторика 37
4. Линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты над кольцами 38
5. Некоммутативные определители 42
5.1 Комбинаторный подход к определителю 43
5.2 Категорный подход к определителю 45
II Линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты над некоммутативными
кольцами 47
7. Введение 47
8. Полулинейные отображения матриц над телом, сохраняющие определитель Дьедонне 49
9. Введение в линейную алгебру над некоммутативными кольцами 54
2
9.1 Линейная алгебра над некоммутативными локальными кольцами 54
9.2 Определитель над некоммутативным локальным кольцом 59
9.3 Определитель Аджамагбо 62
10. Полулинейные отображения матриц над локальными кольцами, сохраняющие вырожденность 65
11. Полулинейные отображения матриц над локальным кольцом, сохраняющие определитель Дьедоние 72
III Теория моделей и линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты 78
12. Основные понятия теории моделей 79
13. Изложение основных понятий линейной алгебры
на языке теории моделей 82
14. Волее короткие доказательства некоторых известных результатов 89
15. Примеры применения принципа переноса для получения новых результатов 91
16. Вещественно замкнутые поля 95
IV Метод матричных деформаций
и его применение к классификации линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты юо
17. Введение 100
з
18. Редукции к отображениям, сохраняющим нильпотентность 102
19. Характеризация матриц ранг а 1 107
‘20. Матрицы с нулевым следом и различными собственными числами 109
21. Основная теорема 110
22. Характеризация множества матриц фиксированного ранга к 117
V Частичные порядки на матричных алгебрах
и линейные отображения, их сохраняющие 120
23. Введение 120
24. Техника редукций в матричных неравенствах 123
25. Отображения, сохраняющие минус-порядок 129
26. Сохранение свойства принадлежности определителя данному множеству 132
VI Результаты фробениусовского типа для матриц
над суперкоммутативным кольцом 135
27. Введение 135
28. Градуированные локальные кольца 136
29. Основные алгебраические структуры над гг-градуи-рованными суперкоммутативными кольцами 140
30. Унимодулярные элементы в градуированном локальном суперкоммутативном кольце 146
31. Ранг и его свойства 148
4
32. Классификация четных отображений, сохраняющих ранг 1 151
33. Классификация нечетных отображений, сохраняющих ранг 1 166
34. Список литературы 167
5
Введение
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации. Задачи классификации линейных отображений, сохраняющих матричные свойства или инварианты, постоянно возникают как в качестве естественных алгебраических задач, гак и н связи с различными вопросами специальной теории относительности, численных методов и теории динамических систем. Не случайно, особенно бурное развитие теории линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, происходит в течении последних нескольких лет.
Говорят, что линейное отображение Т : Mn(R) -> Mn{R) матриц фиксированного порядка 71 над кольцом R сохраняет некоторое свойство V, если из условия: матрица .4 обладает свойством 7\ следует, что ее образ — матрица Т(А) также обладает свойством V. Оказывается, что зачастую этой информации достаточно для полной характеризации отображения Т. Разработка вопроса характеризации линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, является основным предметом исследовании данной диссертационной работ ы.
Изучение этой задачи началось с характеризации линейных отображений, сохраняющих определитель матриц над полем комплексных чисел, полученной в 1897 г. Георгом Фробениусом в связи с классификацией конечномерных комплексных представлений конечных неабелевых групп.
В настоящее время этот раздел алгебры активно развивается математиками из разных стран. Современный уровень развития теории нашел отражение более, чем в тысяче печатных работ в центральных математических журналах, в ряде обзоров, н том числе, 33-ий том журнала “Linear and Multilinear Algebra" (“Линейная и полилинейная алгебра") целиком посвящен обзору результатов о линейных отображениях, сохраняющих матричные инварианты, в работе многочисленных между-
6
народных конференций по этой тематике. Последняя из них, “Linear Preserver Problems-99” проходила в 1999г. в Лиссабоне (Португалия). Кроме того, в ежегодной международной встрече общества линейной алгебры (1LAS Meetings) есть отдельная секция, работа которой посвящена вопросу классификации линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты.
Цель работы состоит в решении серии задач классификации полулинейных над центром отображений матриц над телами и локальными кольцами, сохраняющих некоммутативные опрелители, и ряд связанных с ними матричных инвариантов; построении и развитии метода матричных деформаций и применении этого метода к решению задач классификации линейных отображений, сохраняющих спектральные свойства матриц; исследовании линейных отображений, сохраняющих полугрупиовой частичный порядок на алгебре матриц, и их классификации; характеризации линейных отображений, сохраняющих экстремальные случаи классических матричных неравенств; введении методов теории моделей для классификаций линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, и обосновании их использования; получении ряда характеризаций класса градуированных локальных колец; определении понятия ранга матриц над гг-градунрованным суперкоммутативным локальным кольцом и классификации линейных отображений, сохраняющих матрицы ранга 1. над этим кольцом.
Основные методы исследования. В работе используются методы и результаты структурной теории колец, линейной алгебры над полями и кольцами, теории моделей, теории классических групп, градуированных колец, полугрупп, компьютерной алгебры.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них:
• Классификация сюръектинных полулинейных отображений матриц над телом, сохраняющих определитель Дьедонне.
7
• При пополнительном предположении конечной порожденности кольца, кок модуля над некоторым коммутативным кольцом, получены
- классификация сохраняющих определитель Дьедонне сюръек-типных полулинейных отображений матриц над локальным кольцом;
- классификация сохраняющих вырожденность биективных полулинейных отображений матриц над локальным кольцом без делителей нуля;
- классификация сохраняющих определитель Аджамагбо сюръ-ективных полулинейных отображений матриц над локальной областью Оре;
• Введение методов теории моделей для классификации линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, обоснование их использования и применение этих методов в целях получения классификации биективных линейных отображений матриц над произвольным алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, сохраняющих
- специальную линейную группу;
- унитарную группу;
- симметрические многочлены от собственных значений матриц;
- контролируемость;
- эквивалентность;
- t и »-конгруэнтность,
и многие другие матричные инварианты.
• Построение и развитие метода матричных деформаций, классификация с его помощью линейных отображений, сохраняющих целый ряд спектральных свойств матриц над полем, среди которых
- принадлежность спектра фиксированному множеству;
8
- простота спектра;
- потентность матриц;
- свойство матриц иметь конечный порядок;
- счетные объединения орбит подобия матриц.
• Классификация биективных линейных отображений матриц над полем с достаточным числом элементов, сохраняющих полугрупповой частичный порядок, заданный на матричной алгебре, и матричные отношения, возникающие в качестве экстремальных случаев в неравенстве
\гкА-гкВ\<гк{А + В) < гкА + гкВ.
• Классификация линейных отображений матриц над алгебраически замкнутым полем, которые переводят матрицы с определителями в одном фиксированном множестве в матрицы с определителями в другом фиксированном множестве.
• Ряд эквивалентных условий, определяющих класс градуированных локальных колец.
• Введение понятия ранга матриц над г2-градуированным супер-коммутативным локальным кольцом и классификация биективных супер-линейных однородных отображений матриц над Ъ2-градуироваяным локальным суперкоммутативным кольцом, сохраняющих ранг 1.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные п ней результаты могут быть использованы в различных задачах линейной и полилинейной алгебры, теории колец, в вычислительных методах, теории динамических систем и математической статистике.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на Конференции Молодых Ученых механико-математического факультета МГУ ”Ломоносов-97я в 1997 г.; международной алгебраической
9
конференции, посвященной 90-летней годовщине дня рождения А.Г. Ку-роша в Москве в 1998 г.; 4-ой конференции по приложеннинм компьютерной алгебры, проводимой международной организацией ИМ А КС, в Праге (Чехия) в 1998 г.; международной конференции по общей алгебре и дискретной математике в Потсдаме (Германия) в 1998 г.; международной конференции, посвященной проблеме линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, в Лиссабоне (Португалия) в
1999 г.; 55-ой международной конференции по общей алгебре и дискретной математике н Потсдаме (Германия) в 1999 г.; международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры Высшей Алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова в Москве в 1999 г.; 8-ой встрече международной организации линейной алгебры в Барселоне (Испания) в 1999 г.; 12-ой международной конференции по формальным степенным рядам и алгебраической комбинаторике в Москве в 2000 г.; 9-ой международной конференции по матрицам и статистике в Хайдерабаде (Индия) в
2000 г., на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, семинаре ’’Кольца и модули”, семинаре * Избранные вопросы алгебры”, научном семинаре кафедры алгебры математического факультета Казанского университета.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце дисертации. Результаты совместных работ, включенные в диссертацию, принадлежат автору лично.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, б « лав, разбитых на параграфы, нумерация параграфов сквозная, нумерация теорем подчинена нумерации параграфов, и списка литературы. Полный объем диссертации 178 страниц, библиография включает 131 наименование.
Краткое содержание работы.
Глава 1 носит вводный характер. В этой главе помещен краткий
Ю
обзор результатов классификации линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, сформулирована общая постановка задачи, описаны различные методы и направления исследования отображений, сохраняющих матричные инварианты.
Глава 2 посвящена полулинейным отображениям, сохраняющим различные некоммутативные аналоги определителя. Построена линейная алгебра над некоммутативным локальным кольцом. Введено понятие ранга и определителя матрицы и изучены их свойства. Установлена взаимосвязь между различными инвариантами матриц над локальными кольцами.
Пусть Я — локальное кольцо, являющееся алгеброй над некоторым коммутативным кольцом К, Мп(Я) — алгебра матриц порядка п с коэффициентами из Я. В дальнейшем нам потребуется следующий класс полулинейных отображений
Определение 0.1 Полулинейное над К отображение Т : Л/„(Я) —> М„(Я) называется стандартным, если оно может быть записано следующим образом: или Т(Х) = для всех матриц X € Л/„(Я), или
Т(Х) = Р ('Я'‘)Ф для всех матриц X € А/„(Я). Здесь Р, ф € СХП(Я), р — автоморфизм, в первом случае, и анти-автоморфизм, во втором случае, кольца Я, о-полулинейный над кольцом К.
Установлено, что матрицы Риф определены единственным, с точностью до обратимого скалярного множителя, образом, р определен единственным образом, с точностью до внутреннего автоморфизма кольца Я.
Основными результатами главы 2 являются следующие теоремы:
Теорема 0.2 Пусть 1) — тело, являющееся алгеброй над некоторым полем К. Пусть Т : Л/„(0) Мп(2>) — о-полулинейное над К ото-
бражение, сохраняющее определитель Дьедонне. Предположим, что для каждого г,» = 1,..., п2—2п, образ подгруппы (К" • 1 £>) в факторе мультипликативной группы £>* по ее коммутанту содержит как минимум два
11
элемента с различными г-гпыми степенями. Если О является бесконечномерным расширением К, лш также предположим, что отображение Т является сюрьективным.
Тогда отображение Т стандартное. причем Пе(.(.Рф) = Г.
Теорема 0.3 Пусть Я некоммутативная локальная К-алгебра без делителей нуля над некоторым коммутативным кольцом К, конечно порожденная как К-модуль, |Л'| > 2.
Рассмотрим биективное, а-полулинейное над К отображение Г : М„(Я) —> Мп(Я), взаимооднозначное на множестве матриц, имеющих ранг, и биективное на множестве вырожденных матриц.
Тогда отображение Т является стандартным.
Отсюда получается
Следствие 0.4 Пусть Я — некоммутативная локальная К-алгебра без делителей нуля над некоторым коммутативным кольцолг К, конечно порожденная как К-модуль, и \К\ > 2.
Пусть сюръектионое о-полулинейное над К отображение Т : М„(Я) -> Мп(Я), отображающее множество матриц, обладающих рангом, на себя, сохраняет определитель Аджамагбо. Тогда отображение Т является стандартным, причем с1е1 (Р()) = ^(1).
Теорема 0.5 Пусть Я — некоммутативная лока.чьная К-алгебра над некоторым коммутативным кольцом К, конечно порожденная как К-модуль.
Пусть сюръективное о-полулинейное над К отображение Т : М„[Я) —* М„(Я) сохраняет определитель Дьедонне над локальным кольцом. Предположим, что при каждом I, г = — 2п, образ подгруппы о Ю содержит как .минимум два элемента с различными
1-тыми степенными.
Тогда отображение Т стандартное, причем деЦРС}) = Т.
Г лава 3 посвящена применению теории моделей в линейной алгебре. Приведены основные понятия, касающиеся языков первого порядка.
12
Развиты и обоснованы методы, позволяющие переносить результаты, доказанные для отображений матриц над полем комплексных чисел, на произвольные алгебраически замкнутые поля нулевой характеристики. Доказана следующая теорема:
Теорема 0.6 Пусть МтіП(Р) — алгебра т х п-матриц над алгебраически замкнутыми полем Е нулевой характеристики. И пусть Б — некоторое подмножество о Мтм(¥).
Предположим, что для утверждения А:
Т : Л/т|П(Е) -» М,п>п(¥) — линейное отображение, удовлетворяющее условию Т[Б) С $;
и для утверждения В:
Т имеет некоторый специальный вид
в случае Е = С — поле комплексных чисел, справедливо:
1. из А следует В;
2. множество Б может быть описано на языке первого порядка:
3. вид отображения Т может быть описан на языке первого порядка.
Тогда из утверждения А следует утверждение В над произвольным алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики.
Чаще всего требуется доказать, что отображение Г является стандартным с теми или иными дополнительными свойствами. Поэтому условие 3 выполнено, и если множество Б может быть описано на языке первого порядка, то классификация линейных отображений, его сохраняющих, получается автоматически для произвольного поля нулевой характеристики, как только она получена для поля комплексных чисел. Справедливы аналогичные теоремы о линейных отображениях, сохраняющих не только множества, но и свойства, отношения, инварианты. Приведены многочисленные примеры применения метода, базирующегося на использовании теории моделей. Разработаны способы переноса
13
результатов с поля комплексных чисел на алгебраические замыкания вещественно-замкнутых полей.
Применение теоремы О.С дает как целый ряд новых результатов, так и простые доказательства уже известных. Среди новых результатов можно отметить классификации линейных отображений, сохраняющих: специальную линейную группу, унитарную группу, симметрические многочлены от собственных значений матриц, контролируемость, эквивалентность, £- и »-конгруэнтность матриц и другие матричные отношения. Приведены результаты, показывающие, что в случае алгебраического множества 5 можно избавляться от требования алгебраической замкнутости основного поля.
Б главе 4 предложен метод .матричных деформаций, позволяющий свести классификацию линейных отображений, сохраняющих заданное свойство или отношение, к классификации линейных отображений, сохраняющих некоторое множество, природа которого может сильно отличаться от природы исходного свойства. В частности, реализуя подбор деформации таким образом, чтобы результирующее множество имело более простую структуру, можно получить характеризацию линейных отображений, сохраняющих исходное свойство.
Определение 0.7 Пусть 5 — некоторое подмножество в Мт>п(Г). Для произвольного неотрицательного целого числа г обозначим через ЬДв) множество таких матриц X £ М1П,„(Р), что существует матрица Л £ 5, удовлетворяющая условию А +■ аХ £ в для всех скаляров а £ ¥ за исключением не более, чем г штук.
Множество 1г(5) имеет простую геометрическую природу: его можно рассматривать как множество всех возможных “направлений” или “пучков лучей”, лежащих в 5 и имеющих не более г выколотых точек.
Справедлива следующая редукция:
Лемма 0.8 Если для линейного отображения Г : Мт>п(Р) -» Л/тП(Р) выполнено Т(5) С 5, то отображение Т удовлетворяет условию Т(ЬГ(5)) С /,г(5) для каждого неотрицательного целого числа г.
14
Применение метода матричных деформаций оказалось весьма эффективным. Среди основных результатов главы 4:
Теорема 0.9 Пусть Р — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики. 5 С Мп{¥) — множество, являющееся объединением орбит подобия. Предположим, что выполняется любое из следующих двух условий:
(а) 5 ^ Р Е, где Е — единичная матрица, и ЬГ{8) для некоторого натурального числа г содержится о множестве нильпотентных матриц;
(б) 5 содержит нескалярную диагональную матрицу и Ь$($) содержится в множестве нильпотентных матриц.
Если Т — обратимый линейный оператор на пространстве Л/„ (Р). удовлетворяющий условию Г(Ьг{5)) С 1,(5), то существуют такие ненулевой элемент с € Г и матрицы Р € ОЬ„{¥), В 6 Л/„(Р), что отображение Т имеет вид
X к» сРХР-1 + [хтХ)В или X ^ сГ('Х)Р-[ + (ХгХ)В.
Для упрощения формулировки следующей теоремы понадобится несколько видов стандартных отображений на Л/„(Р).
(1) Существуют такие обратимые матрицы Р. ф € М„(Р)> что отображение Т имеет вид
X ь* РХС1 или X ^ Р(!Х)(1
(2) Существует такая обратимая матрица Р € Мп(Р), что отображение Т имеет вид
Х^РХР”1 или X н-» Р(*Х)Р~1.
(3) Существуют такие обратимая матрица Р € МП(Р) и ненулевой элемент с 6 Р, что отображение Т имеет вид
Х^сРХР'1 или X сР(*Х)Р~1.
15