-2-
Оглавление
1 Введение. 6
1 Предварительные сведения. 18
2 Задача Коши для уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2 в классе убывающих на бесконечности потенциалов. 18
2.1 Прямое преобразование рассеяния..................... 18
2.2 Обратное преобразование рассеяния................... 33
3 Алгебраические римановы поверхности. Циклы, дифференциалы, тета-функция Римана. 38
3.1 Циклы на алгебраических кривых...................... 38
3.2 Дифференциалы на алгебраических кривых...............40
3.3 Векторные поля на окружности '...................... 44
3.4 Билинейные соотношения Римана....................... 44
3.5 Отображение Абеля................................... 45
3.6 Тета-функция Римана................................. 46
4 Уравнение Кортевега - де Фриза. Конечнозонные решения. 47
5 Конечнозонные решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили. Высшие уравнения КП. 53
6 Двумерные операторы Шредингера, ’’конечнозонные при одной энергии”. Уравнения Веселова-Новикова. 57
II Преобразование рассеяния для двумерного оператора Шредингера при одной энергии и параболического оператора. 64
-3
7 Преобразование рассеяния при фиксированной положительной энергии для двумерного оператора Шредингера
с убывающим на бесконечности потенциалом. 64
7.1 Прямое преобразование, рассеяния....................... 65
7.2 Обратное преобразование рассеяния...................... 75
7.3 Условия потенциальности и вещественности............... 78
7.4 Связь с физической задачей рассеяния. Прозрачные при одной энергии потенциалы................................... 81
7.5 Интегрирование уравнений Веселова-Новикова............. 85
8 Задача рассеяния при фиксированной отрицательной энергии. 87
9 Рациональные солитоны уравнений Веселова-Новикова -безотражательные при фиксированной энергии двумерные потенциалы. 98
9.1 Алгебраическая схема построения рациональных солитонов. 100
9.2 Редукции на данные рассеяния...........................104
9.3 Явные формулы для потенциалов. Сведение к пфаффианам.111
10 Прозрачные при одной энергии потенциалы, быстро убывающие на бесконечности. 120
10.1 Условия на данные расеяния для быстроубывающих потенциалов. Прямая задача...................................121
10.2 Построение потенциалов, прозрачных при одной энергии. . 130
11 Преобразование рассеяния для быстороубывабщих потенциалов на фоне конечнозонных. 145
11.1 Прямое преобразование рассеяния на конечнозонном фоне. 150
11.2 Обратное преобразование рассеяния наконечнозонном фоне. 156
- 4 -
12 Несингулярность обратного спектрального преобразования для уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2 с ’’большими” ’’данными рассеяния” в вещественном случае. 160
13 Несингулярность прямого спектрального преобразования для уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2 с ’’большим” вещественным начальным потенциалом 163
13.1 Однородные решения интегрального уравнения прямой задачи рассеяния. . .....................................168
13.2 Регулярность прямого спектрального преобразования для параболического оператора...............................177
13.3 Задача Коши для уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2 в классе быстроубывающих на бесконечности потенциалов. . 185
III Неизоспектральные симметрии интегрируемых уравне-
ний. 187
14 Действие неизоспектральных симметрий на конечнозонных решениях уравнения Кадомцева-Петвиашвили. 188
14.1 Неизоспектральные симметрии КдФ и КП..................188
14.2 Тензорная функция Бейкера-Ахиезера....................190
14.3 Деформации римановых поверхностей и задача Римана. . . 193
14.4 Ядро Коши-Бейкера-Ахиезера............................194
14.5 Деформации спектральных кривых и дополнительные симметрии КП..................................................197
14.6 Грассманнианы и пространства флагов...................199
14.7 Вариации геометрических объектов......................206
15 Неизоспектральные симметрии уравнений Уизема . 208
15.1 Уравнения Уизема для КдФ..............................208
15.2 Дифференциалы на гиперэллиптических римановых поверхностях..................................................212
15.3 Неизоспектральнмс симметрии иерархии Уизема для КдФ. 216
16 Построение строго периодических конечнозонных решений интегрируемых уравнений методом изопериодических
деформаций. 226
16.1 Условия периодичности в терминах дифференциала квазиимпульса.................................................229
16.2 Деформации, сохраняющие периоды дифференциала квазиимпульса.................................................233
16.3 Явные формулы для уравнений изопериодических деформаций......................................................236
16.4 Изопериодические деформации как градиентные системы. 244
17 Заключение. 247
18 Список литературы
250
-6
1 Введение.
Одна из известнейших задач математической физики - задача о рассеянии асимптотически свободной частицы на локализованном потенциале (см., например, [52], [67], [81]). Условно ее можно разбить на две части - прямую и обратную задачи. Прямая задача состоит в вычислении амплитуд или сечений рассеяния в предположении, что потенциал известен, обратная - в восстановлении неизвестного потенциала по известным данным рассеяния.
Интерес к квантовой задаче рассеяния был, в первую очередь, мотивирован внутренними потребностями квантовой механики, включая проблему интерпретации ускорительных экспериментов и описание квантовой механики как суперпозиции элементарных процессов рассеяния.
Новый толчок к развитию теории рассеяния в 70-е годы дало появление метода обратной задачи в теории нелинейных уравнений. После того, как в 1967 году Гарднер, Грин, Крускал и Миура проинтегрировали уравнение Кор'гевега де Фриза при помощи задачи рассеяния для одномерного оператора Шредингера [107], этот метод был распространен на ряд других уравнений математической физики, включая уравнение Кадомцева-Петвиашвили [23], [36]. В свою очередь, развитие теории интегрируемых систем привело к появлению новых подходов к теории рассеяния, включая метод конечнозонного интегрирования, начало которому положила работа С.П.Новикова [59], а также работы Б.А.Дубровина [24], А.Р.Итса, В.Б.Матвеева [39], П.Лакса. [124], Г.Мак-Кина и П.Ван Мербеке [131] и ряда других авторов (см., например, обзор [28]); метода нелокальной задачи Римана [129] С.В.Манакова, см. также [33]; метода ^-проблемы Р.Билза-Р.Койфмана [86], [87], М.Абловица, Д.Бар Якова, А.Фокаса [84].
С другой стороны, значительный интерес к задачам рассеяния для уравнений в частных производных связан с развитием волновой томо-
-7-
графии.
Движение бессииновой частицы в стационарном потенциальном поле описывается в квантовой механике через разложение но собственным функциям стационарного оператора Шредингера ([52])
Ь = +ц(яь...,яп).
г=1
Пусть потенциал и(х\,... ,хп) достаточно быстро убывает при [£| —> оо, х = (х\,..., яп). Тогда дискретный спектр Ь лежит в области отрицательных энергий, а непрерывный заполняет всю вещественную полуось и его кратность бесконечна при п > 1.
В зависимости от решаемой задачи базис собственных функций непрерывного спектра можно выбирать различными способами. В частно-сти, в качестве базисных можно выбрать решения Ф(&,т), отвечающие рассеянию частиц с импульсом к на потенциале и(х):
ЬЪ(к,х) = ЕЪ(к,х), £б1Г, Е=\к\2. (1.1)
Эти решения фиксируются выбором асимптотики мри |£| оо:
<1,,
где / - некоторая заранее не известная функция.
Согласно теореме Като (см., например, [66]), при любом веществен-—♦
ном к Е М.'1 решение с асимптотикой (1.2) существует и единственно. Отметим, что для фиксации единственного решения постулировать асимптотику вида Ф(£, х) = е'(кЯ + о(1) было бы недостаточно, поскольку существует большое количество решений с асимптотикой
Ф(М) = +91 (к, ЙЙ +
-8-
(1.3)
І |/;|г к, ,^хх
\х
4 е~і\к\\х\
+ О
М#Р \\МГТ
Условие отсутствия в асимптотике членов вида д% (к, {§[т) на_
зывается условием излучения.
Функции (1.2) совместно с функциями дискретного спектра образуют полный базис в пространстве Х2(М”) (см. [66]).
Функция/(&,/), М Є \к\2 = |/|2 называется амплитудой рассеяния для потенциала д(.т).
л л
Оператором рассеяния или ,5 - матрицей называется оператор 1 + о с ядром
г|&|
) \ 27Г /
п-1
(1.4)
действующий на функциях на единичной сфере.
(5 /) (г?) = /.../ *(?,?') /(?') с/ст,
Фе#*-'
где с/сг - стандартный элемент объема.
л л
Из вещественности оператора Ь следует, что оператор 1+5 унитарен (см., например, [52])
(ї + 5)(ї + 5)+ = 1. (1.5)
В терминах ядра у') соотношение (1.5) приобретает вид:
.$(#, Vі) + з(И\у) + /. . . [ б(у, у”) з{у\у") (1(7 = 0. (1.6)
£//Є£»-і
В терминах /(А;,/):
/(*, Т) + і-іГЧ{Ц) + ->7= п--1 /• • •/Нк,к")Г(1,к'Уа, (1.7)
Ы2тгг|Ш |*"|=|*|
-9-
где do - элемент объема на сфере радиуса \к\.
Отсутствие в операторе L производных первого порядка (магнитного ноля) влечет инвариантность процесса рассеяния относительно обращения времени. В терминах амплитуды рассеяния это означает следующую симметрию:
/(ч-£) = /(ГА (1.8)
или, что эквивалентно,
s{-v\—v) = s(v,v'). (1.9)
Это свойство называется свойством взаимности.
Прямая задача рассеяния состоит в вычислени амплитуды рассеяния по потенциалу и(х). Обратная задача рассеяния состоит в восстановлении потенциала по амплитуде рассеяния (и, возможно, данным, отвечающим дискретному спектру).
Одномерная задача рассеяния в размерности 1 была решена в 50-е годы в работе И.М.Гельфаида, В.М.Лсвитана [9], [10] и В.А.Марченко [55], более строгое исследование этой задачи было проведено Л.Д.Фаддеевым (см. обзор [72]).
В отличие от одномерной задачи, многомерная задача, решенная Л.Д.Фаддеевым [72] (часть результатов была получена независимо от него Р.Г. Ньютоном [135], см. также книгу [81]), оказывается существенно более сложной. Дело в том, что в п - мерном пространстве амплитуда рассеяния /(&,/), \к\2 = |/|2 - функция 2п — 1 вещественной переменной, по которой нужно восстановить функцию п вещественных переменных и(х), т.е. эта задача сильно переопределена. Условия совместности, найденные Л.Д.Фаддеевым [72], имеют вид нелинейной системы интегральных уравнений, и анализ их - очень сложная задача. За время, прошедшее с момента выхода в свет работы [72], были найдены другие формулировки условий совместности (М.Абловиц - А.Нахман [132],
-10-
Р.Г.Новиков - Г.М.Хенкин [63], [64]), однако, по-видимому, привести их к простому виду невозможно.
Отметим, что если нам известна амплитуда рассеяния при всех энергиях, и мы априори знаем, что она отвечает некоторому потенциалу (т.е. условия совместности выполнены), то обратная задача в каком-то смысле тривиальна, поскольку при высоких энергиях многомерная задача рассеяния линеаризуется и амплитуда рассеяния переходит в преобразование Фурье потенциала и(х)
{(к,Г) = , /.../ е*Ч*-^и(г)Лс, 0(1) (1.10)
2г (у 2т) 7
(Ю.М.Березанский [2], Л.Д.Фадцеев [73]). Однако практическое использование высокоэнергетического предела часто затруднено, поскольку, во-первых, измерения в этой области оказываются невозможными, и, во-вторых, сама, физическая модель перестает работать.
Один из естественных способов уменьшения переопределенности обратной задач состоит в том, что пытаемся восстановить потенциал, пользуясь лишь частью данных рассеяния. Одна из естественно возникающих при этом постановок - обратная задача рассеяния при фиксированной энергии €0. Она интересна еще и потому, что уравнение акустических волн в изотропной жидкости может быть приведено к виду:
- ДФ 4- <7(х)\Р = сАг(ж)Ф. (1-11)
Мы видим, что, вообще говоря, акустическая задача рассеяния существенно отличается от квантовой, однако при фиксированном и/2 она совпадает с квантовой задачей рассеяния при фиксированной энергии €о (см., например, [116]). Тем самым результаты, полученные в квантовой задаче рассеяния при фиксированной энергии могут быть приложены и к акустической задаче.
11
Из работ Р.Ньютоиа [134], Т.Редже [142], П.Сабатье [144] следует что, решение обратной задачи при одной энергии уже не единственно, поэтому естественный вопрос - с какой точностью мы можем восстановить потенциал по данным рассеяния, или, что то же самое, как можно описать множество всех решений обратной задачи.
Важный случай задачи при фиксированной энергии - задача о прозрачных при одной энергии бо потенциалах, т.е. таких, что волны с энергией бо> приходящие с любого направления, на нем вообще не рассеиваются. Их существование было установлено достаточно давно (см., например, [144]), однако примеры работы [144] медленно убывали на бесконечности (как г"3/2). Естественно возникает вопрос об описании таких потенциалов, а также, могут ли они быть хорошо локализованными в пространстве.
К сожалению, в наиболее интересной размерности п = 3 проблем, связанных с переопределенностью, избежать не удается. В то же время, при п = 2 амплитуда рассеяния при фиксированной энергии - функция двух переменных, и, как мы увидим в Главе 2, нетривиальных условий совместности действительно нет.
С другой стороны, в работах С.П.Новикова, Б.А.Дубровина, И.М.Кри-чевера, А.П.Веселова [27], [7], [8] было осуществлено построение ’’конечнозонных при одной энергии” двумерных операторов Шредингера. Оказалось, что с этой задачей связана иерархия солитонных уравнений (уравнений Веселова-Новикова), т.е. двумерная задача рассеяния при одной энергии обладает бесконечномерной алгеброй симметрий и, в некотором смысле, ” вполне интегрируема” (более детально эти результаты изложены в разделе б Главы 1). Как отметил С.П.Новиков, эти результаты указывают на применимость методов теории солитонов к быстроубывающей задаче рассеяния для двумерного оператора Шредингера и возможность ее эффективного решения. Эта программа бы-
- 12
ла реализована автором совместно с Р.Г.Новиковым, С.В.Манаковым,
С.П.Новиковым [11]-[15], [109], [61], [62], [136]. Изложение полученных при этом результатов является одной из основных целей данной работы,
Масштабным преобразованием
х —» а-1 ж, у —>• а-1?/, и —> с?и, бо —>• а,2б0 задача для произвольной энергии бо сводится к одному из трех случаев:
бо = 0, бо = 1 бо = — 1.
В нашей работе мы ограничимся задачей рассеяния при бу ^ 0. Случай б0 = 1 исследуется в разделе 7, случай б0 = — 1 - в разделе 8. При б0 = 0 задача усложняется, поскольку функция Грина (и, как следствие, норма интегрального оператора) логарифмически растет при р —» 0. В частности, из результатов раздела 8 видно, что для сколь угодно мелкой потенциальной ямы прямое преобразование рассеяния сингулярно. В работах М.Боити, X. Леона, М.Манны и Ф.Пемпинелли [90] и Дая [148] было показано, что эту трудность можно преодолеть, меняя нормировку функций Грина. Однако при этом приходится вводить переопределенный набор данных рассеяния и столь же простого ответа, как при бо ф О получить не удается. (При бо Ф 0 мы работаем в предположении, что норма потенциала и{х,у) в подходящем функциональном пространстве меньше абсолютной величины энергии, поэтому наивный предельный переход бо —»■ 0 не проходит).
Хорошо известно, что при исследовании обратных задач одним из важнейших приемов является выход в область комплексных импульсов.
Для многомерного оператора Шредингера решения с комплексным импульсом
• ЬУ(к,х) = ЕЪ(к,х)у £ € С7*, 1т£^0, Е = (£,к)
^(к,х) = е^(1+о(1)) '
были построены Л.Д.Фаддеевым [74]. В отличие от ”физических” решений (1.2), они полностью задаются главным членом асимптотики, но
—р
при этом они определены лишь для точек к общего положения, а на некоторых подмногообразиях в С” могут иметь особенности по к .
Важным свойством решений (1.12) является их нсголоморфная зависимость от к. Как показал Л.Д.Фаддеев [72], их ограничения на одномерные подпространства к = б’7+£/, где 7, к £ П£п, (7,7) = 1, (% к±) = О, а- £ С мероморфные по § вне вещественной прямой 1т Я = О, И ЭТО СВОЙСТВО было использовано в работе [72] для решения обратной задачи. Наоборот, в более поздних работах [132], [63], [64] именно отклонение от голоморфности рассматривалось в качестве ключевого свойства. Подход, использующий 5-проблему играет центральную роль и в нашей работе.
С решениями (1.2) Л.Д.Фаддеев связал следующие ’’нефизические” ’’данные рассеяния1’
Как мы увидим ниже, часть вводимых таким образом ’'нефизических” ’’данных рассеяния” б}дет играть у нас роль параметров, описывающих все решения с заданной амплитудой рассеяния.
Несложно убедиться, что в пределе медленной зависимости потенциала от одной из переменных двумерный стационарный оператор Шрсдин-гера переходит в зависимости от знака энергии либо в одномерный нестационарный оператор Шредингера, либо в оператор теплопроводности, а уравнение Веселова-Новикова - в уравнение Кадомцева-Петвиашвили
Уравнение КП в настоящее время - одно из наиболее известных уравнений в теории солитонов, что обусловлено целым рядом его замечательных свойств:
(1.13)
где к, I 6 С", 1т к = 1т /.
(КП).
14-
- Уравнение КП - исторически первое уравнение с 2 пространственными переменными, для которого была установлена его интегрируемость методом обратной задачи рассеяния (В.Е.Захаров - А.Б.Шабат [36], [37], Дрюма [23]).
- Уравнение КП естественно возникает в ряде физических задач, например, в физике плазмы (Кадомцев - Петвиашвили [40]), в теории океанских волн.
- Уравнение КП описывает первую нелинейную поправку в многомасштабных разложениях нелинейных гамильтоновых систем с 2 пространственными переменными общего вида в предположении некоторых условий невырожденности [35].
- Многие известные системы теории солитонов получаются как редукции КП или допускают вложение в иерархию КП.
- При исследовани уравнения КП возникают чрезвычайно интересные математические структуры.
В литературе используются различные нормировки КП, однако все они эквивалентны с точностью до масштабного преобразования
{и,х,у,г) —► (71«, 72*, 732/, 7Д).
В нашем тексте мы для определенности будем пользоваться следующей нормировкой:
(щ + бгш* - иххх)х = 30?иуу.
Наиболее интересным и осмысленным с точки зрения физических приложений является случай а2 ф 0. Без ограничения общности можно считать а2 = ±1, т.с. мы будем предполагать, что имеет место один из двух случаев:
1) а = г ~ уравнение КП1,
15 -
2) см = 1 - уравнение КП2.
С алгебраической точки зрения уравнения КП1 и КП2 эквивалентны, поскольку они переводятся друг в друга заменой у ->• ;Ыу. Однако с аналитической точки зрения КП1 и КП2 сильно отличаются друг от друга (так, например, для КП2 с периодическими начальными условиями удается определить прямое преобразование рассеяния для вспомогательной спектральной задачи и, тем самым, в каком-то смысле решить задачу Коши (Кричевер [43], [44]), а для КП1 до сих пор не ясно, возможно ли вообще получить аналогичный результат). Интегрирование КП основано на использовании следующего представления Лакса, а именно, уравнение КП
4" /^,ххх)х ' 3ОС 'М'уу•
эквивалентно условию коммутативности следующей пары линейных дифференциальных операторов
[Ь,А]= О,
Ь = схду-дх + и(х,у,г),
А = д1 - 4д1 + 6и(х,у^)дх 4- 3их(х, у^) +3аы(х,у^),
где
дхъ){х,у,1) = дуи(х,у^).
При а = г - Ь - нестационарный одномерный оператор Шрсдингера, при а = 1 - Ь параболический оператор (оператор теплопроводности).
Важным свойством КП является его пел окал ьность. Эволюционное уравнение называется локальным, если оно представимо в следующем виде:
щ(х,£) = К[х,щих,...],
где К\х, и, иХ)...] - функция, зависящая от потенциала и его производных по пространственным переменным, взятым в точке х. Если же для
-16
вычисления К[х>щиХу...] этого недостаточно и нужно знать и(х, г) в других точках, то уравнение называется нелокальным.
Задача Коши для уравнения КП1 в классе убывающих на бесконечности потенциалов была решена С.В.Манаковым [129], более регулярный вывод преобразования рассеяния был предложен М.Абловицем и А.Фокасом [99]. Спектральное преобразование для уравнения КП2 в предположении малости потенциала для прямой задачи (или данных рассеяния для обратной) было построено Абловицем, Бар Яковым и Фо-касом в работе [84].
Методы, используемые в нашей работе при исследовании задачи рассеяния для двумерного оператора Шредингера аналогичны методам, используемым в теории КП. С другой стороны, техника, разработанная для оператора Шредингера, позволила получить ряд новых результатов для КП. В частности, удалось доказать, что при некоторых предположениях спектральное преобразование для КП2 с вещественным потенциалом неособо в обе стороны (ранее это было доказано лишь для некоторой окрестности нулевого потенциала). В свою очередь это доказывает несингулярную разрешимость задачи Коши со сколь угодно большими начальными условиями в быстроубывающем классе.
Первая глава диссертации носит вводный характер. В ней собраны основные определения, а также дан обзор тех фактов и методов из теории уравнения КП2, которые нам понадобятся в дальнейшем. Этот обзор сделан довольно подробным, поскольку излагаемый в нем материал доступен лишь в оригинальных публикациях, и в некоторых случаях трсб}гст уточнения.
Во второй главе изложены основные результаты по преобразованию рассеяния для двумерного оператора Шредингера и параболического оператора. В частности, построен полный независимый набор обобщенных данных рассеяния при фиксированной ненулевой энергии, найдены
-17-
редукции, обеспечивающие отсутствие в операторе членов с первыми производными (магнитого поля) и вещественность, найдена естественная параметризация множества потенциалов с заданной амплитудой рассеяния при одной энергии. Исследован вопрос о прозрачных (не рассеивающих) при одной энергии потенциалах, в частности, построены явные примеры и доказано, что такие потенциалы могут убывать на бесконечности быстрее любой степени расстояния. Доказаны теоремы о несингулярности преобразования рассеяния для параболического оператора. Для оператора Шредингера при энергии ниже основного состояния и параболического оператора построено преобразование рассеяния для убывающих потенциалов на конечнозонном фоне.
В третьей главе техника спектрального преобразования применена к исследованию так называемых неизоспектральных симметрий соли-тонных уравнений. В частности, построена геометрическая реализация действия подалгебры алгебры симметрий КП, изоморфной алгебре векторных полей на окружности на конечнозонных решениях, показано, что по крайней мере для уравнения КдФ это действие проносится через операцию усреднения. Предложен основанный на неизоспектральных симметриях новый алгоритм выделения чисто перидических по пространственной переменной конечнозонных решений.
- 18-
Глава I
Предварительные сведения.
2 Задача Коши для уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2 в классе убывающих на бесконечности потенциалов.
Напомним результаты работы [84]. (Мы также будем пользоваться оценками норм операторов из обзора [103].)
2.1 Прямое преобразование рассеяния.
Сначала опишем прямое спектральное преобразование. Отметим, что в отличие от нестационарного оператора Шредингера, входящего в пару Лакса для КП1, параболический оператор (оператор теплопроводности)
Ь - ду - д2х + и(х, у),
входящий в пару Лакса для КП2, не имеет нетривиальной спектральной теории и теории рассеяния в классическом понимании. Тем не менее, введенные в [84] обобщенные ”данные рассеяния5’, связанные с растущими на бесконечности решениями (эти решения аналогичны введенным Л.Д.Фадцеевым растущим волновым функциям многомерного оператора Шредингера) оказываются достаточными для интегрирования КП2.
При исследовании прямой задачи мы будем сначала считать, что на потенциал и(х,у) наложены следующие ограничения:
1) и(х,у) - гладкая функция 2 вещественных переменных, определенная на
2) Существует набор вещественных констант е > 0, таких, что
£^и(х'у)
^(у/х* + у* + 1)*ъ привсех*>^°- (2Л)
-19-
3)
оо
! и(х,у)с1х = 0 при всех у.
—оо
(условие 3 обеспечивает хорошее поведение данных рассеяния на бесконечности, см., например, [35]).
В задаче рассеяния для Ь все уровни энергии эквивалентны. Действительно, пусть Ф(я,*/) - некоторое решение уравнения
ЬЩх,у) = еФ (х,у).
Тогда функция
Ф(ж,у) = е~суЪ(х,у)
- собственная функция Ь с энергией 0:
1Ф(.Т,7/)=0.
Поэтому достаточно ограничиться нулевым уровнем энергиии
(ду-д1 + и(х,у))'Ф(\,х,у) = 0. (2.2)
Спектральный параметр Л вводим, задавая асимптотику волновой функции на бесконечности:
Ф(А,а;,</) = еХх+*у где
х(Л, х, у) = 1 + о(1) при х2 + у2 -> оо. (2.3)
Введем следующие обозначения:
Ь0 = ду- д2х,
Ьо(Х) = е-(Л*+л2у> То еХх+х~у = ду-д2г~ 2\дх,
= Яе Л, Л/ = 1т Л.
-20-
Уравнение на функцию %(А,я,2/) имеет вид:
£о(А)*(А, х, у) + и(х, у)х(Х,х, у) = 0. (2.4)
Дифференциальное уравнение (2.4) с граничным условием (2.4) эквивалентно интегральному уравнению
*(А, *,«/) = !- С!{Х)и{х, у)х( А, х, у) (2.5)
где 6(А) - интегральный оператор:
С(А)/(А,х,у) = Ив(Х,х - х',у - у')/{Х,х',у')^х^у',
С(АуХ^у) - убывающая на бесконечности функция Грина оператора
Д)( А)
Ьо{\)С(\,ху у) = 6(х)6{у).
В импульсном представлении оператор £о(А) - оператор умножения на функцию
Ь0{Х) = іру +р^ - 2іХрх,
откуда следует, что
1 гг е'{р*х+р»у)
Х'У) = т~2 ~ТТ~-------------------------------(2*6)
4тг2 Л р1 + гру - 2г\Рх
Интеграл но (іру в формуле (2.6) явно вычисляется и мы получаем эквивалентное представление для С(\,х,у)\
в( А, ж, у) = ^~І (Ірх^п(у) + ь^пірі + 2А іРх)]егЬ*х+(гРІ+2ХРМ (2.7)
Естественно возникает вопрос о сходимости (2.6) . Если А/ ф 0, то знаменатель (2.6) имеет 2 простых нуля в точках рх = ру = 0 и рх = —2А/, ру = —4А/Ад и эти особенности абсолютно интегрируемы. Если А і = 0, то знаменатель имеет единственный ноль в точке рх = ру = 0 и эта особенность также абсолютно интегрируема.
-21
Тем самым единственная особенность, требующая регуляризации, -это окрестность бесконечности в рх,ру - плоскости. На бесконечности абсолютной сходимости нет, однако несложно проверяется, что формула (2.7) дает нам регуляризацию этого интеграла, непрерывную по х,у при
х2 + У2 ф 0.
Лемма 2.1 Зафиксируем точку (х,у) такую, что х2 + у2 Ф 0. Тогда
1) 0(Х,х,у) - непрерывная функция X на всей X - плоскости
2) Функция С{Х,х,у) не голоморфна по X, а имеет отличную от 0
производную по X:
дС(Х,Х,у) _ ^пА/ л_2»'А/я—4|А/Аду /0 0\
5А ~ е
(Более строго было бы писать не С(Х,х,у), а С(Х,Х,х,у). Однако, чтобы не усложнять формулы, в нашей работе мы будем опускать зависимость от переменных типа А, х, не подразумевая голоморфности, если это явно не оговорено).
3) Функция С(Х,х,у) имеет следующие симметрии:
а) <?(А,х,у) = &(\,х,у)
б) в(Х,х,у) = е2'л,1+4‘л,Лв!'С(А,2:,1/)
Доказательство пунктов 1 и 3 достаточно стандартно. Докажем пункт
2.
Обозначим у(Х,х,у) подинтегральное выражение в (2.6):
I ейРгХ+РуУ)
Числитель у(А, х,у) не зависит от А вообще, а знаменатель зависит от А, поэтому единственный источник неголоморфности интеграла - зависящие от А нули знаменателя. У нас ровно один такой нуль: рх = 2А/, ру = —4А/Ад.
-22-
Тем самым
dG(\x,y) rr d
\=\,= JJ dX (J^x^J^x^yf(lVxdl)y
д\ , .
ис{Ро)
где ро - координата подвижного нуля при Л = Ло рох = —2Лог, Роу = —4Л0уЛод, ие{ро) - с- окрестность точкиро в {рх^Ру) плоскости. В окрестности точки рох,Роу введем локальные координаты рх = —2р/, ру = ”4/ід/і/ , и для элемента объема имеем:
<1]>х<1ру = 8\fii\dpRdpj (2.9)
В координатах //д, р\ получаем:
дС{\,х,у) гг д е-ч»*+ъкм)
«.-ХИ-5ЙР ^
д\
где интеграл берется по области U((Xо) - е - окрестности точки р = Xо в р - плоскости, р = PR + ipj.
Далее воспользуемся формулой Коши-Грина (называемой также обобщенной формулой Коши) (см., например, книгу [80], стр. 105).
Пусть f(z) - функция класса С1 в замыкании компактной области D на z - плоскости, ограниченной конечным числом спрямляемых кривых. Тогда если z £ D
. 1 г пт 1 гг от м,
№)" Щ — --Jl^rjzrT <2Л0>
Из нее немедленно следует, что
J: ~j = *S{zR-iR)&[zi-h) (2.11)
Подставляя (2.11) в (2.9) получаем:
—)£■'" = ~ II S(Xr - унЩХ, - у,) e-"0*i-+w,») N dfiRdfii =
2тг U у,
-23
= -^-8вп(Л/)е-МА/*-4{АяЛ|®
27Г
Пункт 2 доказан.
Из формулы (2.7) несложно вычисляется асимптотика й(\ух, у) при больших х, у.
Лемма 2.2 Пусть А/ ф 0. Тогда при х2 + у2 —» оо
са * <Л = ^ПЛ' _ г8еПЛ' С-2.А^-4,ЛДЙУ , 0 С 1 ) _
2тг(.т + 2\у) 2тг{х + 2\у) \у/х2 + уЧ
Следующий шаг - исследование интегрального уравнения (2.5). Убедимся, что при достаточно малом соо норма интегрального опера-тора С(\)и(х,у) меньше 1 и тем самым (2.5) однозначно разрешимо и решение можно выписать в виде ряда:
оо
х(А,з,у) = 1 + ХЛС(А)и(ж,г/)] • 1. (2-12)
А*=1
При этом мы будем следовать работе [103].
Обозначим й{рхуру) преобразование Фурье функции и(х,у)
й(рх,ру) = ^ Л е~'(р*х+р»р) и(х, и) дхду,
и(х,у) = Л е’(р'*+р»*'> й(рх,ру) <1.рх<1ру Перепишем уравнение (2.5) в импульсном представлении. Пусть
х(А,а:,у) = Л е'(р‘х+Ру!/) х(Х,рх,ру) <1рх<1ру.
Тогда уравнение на х(А,Рх,Ру) имеет вид:
х{\Рх>РУ) = 5{*Щу)~^ ~ 2гГ\рхТ{р/1 й^х~^х'Ру~^ Х(А»3»» 9») <*9*<%-
(2.13)
-24-
Лемма 2.3 (доказательство см. [103])
Пусть /(рх.ру) € Т2(М2) П Ь°°(Е2) на (рх, ру)-плоскости. Тогда
/(Рх,Ру)
6£2(К2) и
Л <ЦьАРу
Р2х ~ 2г'Арг + гру 1{Рх>Ру)
р1 - 2гАрх + гру
где
С,-4Э + 2Й.^ 1Ы
(2.14)
Согласно неравенству Юнга оператор свертки
(«* /)(рх,ру) = Лй(рх - Ях,ру - <1У) /(?*, д») <*?«<*?»
с функцией й(рх,ру) 6 Ь2(Е2) П £°°(Е2) отображает пространство Ь1 (Е2) в Т2(Е2) П £°°(Е2), причем
IIй * /1к2 < N1^11/11x^1 1И**/1и~ < И«1и~||/||^-
Согласно неравенству Хаусдорфа-Юнга
й ксо <
1
4тг2
МЬ <
Соо
//
с1хАу
471-2 (\Дс2 + у'2 -1- 1)
Л II / 1 || || ✓ 0)0
«1к. <^1МЬ.<^
//
1/2
(\/#2 + /У2 + 1)2+€.
что и дает нам однозначную разрешимость (2.13) при достаточно малом
с, причем х(А,Рх,Ру) = ФЖу) + Х1(А,де,ду), где Х1(А,д*,д„) € ь1(№2). Отсюда. следует сходимость последовательных приближений для (2.13) в пространстве С (К2). Если константа соо такова, что гарантирует сходимость ряда для х(А,х, ;у) при всех А, то будем говорить, что для прямой задачи выполнено условие ’’малой нормы”.
- 25 -
Мы показали, что в предположении ’’малой нормы” функция у(А,.т,т/) определена, при всех А (и в действительности непрерывно зависит от А). Функция Грина не голоморфна по А и, тем самым, х{\,х,у) так же не голоморфна, однако эта неголоморфность весьма специального вида.
Лемма 2.4 Пусть Ф(А, х,у) - волновая функция параболического оператора Ь = ду — д1 + и(х, и), где и(х, у) удовлетворяет условию ”.малости
нормы”, Ф(А,х,у) = еАх+А2ух(Ах,у), х{^^хА) 1 пРи 3)2 + У2 °°*
Тогда
Х{Хд1'У) = Т(\)е-*х'*-4а>х™Х(Кх,у),
где
Г(А) = ^|^г>(А), (2.15)
Ь( А) = И и(х,у)еъх‘^'х^х{\х,у)йх<1у. (2.16)
Доказательство. Дифференцируя по А уравнение (2.5), получаем:
л
- и(ж> у) х(А,у) - ^{Х)х{\ X, у).
По формуле (2.8)
-^.и(х,у)х(Х,х,у) =
х II и(х',у')е2,х,х'+4'х,Хку1 х(Х,х',у')<1х'(1у',
т.е.
и{х, У) х(Х, X, У) = Т(X) е-2.А,х-4,А,АяУ) где Т{А) - величина, не зависящая от ж и у. Тем самым
Х{Х’кУ) = Г(А) е-*х'х~4'х-х«* - С(X) и(х,у) Х(А,*,»),
- Київ+380960830922