РОЗДІЛ 2
СИНТЕЗ НЕЛІНІЙНИХ РЕГУЛЯТОРІВ З УРАХУВАННЯМ
ВИМОГ ДО ЯКОСТІ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ ДЛЯ ДИНАМІЧНИХ
ОБ'ЄКТІВ З ПОЛІНОМІАЛЬНИМИ ПРАВИМИ ЧАСТИНАМИ
2.1. Використання рівняння Белмана для пошуку оптимального керування
З метою знаходження для системи (1.5) керування, оптимального з точки зору функціонала якості (1.6) - (1.8), використаємо рівняння Белмана для системи (1.5) [11, 66, 90]:
, (2.1)
де w = w(X,U) - підінтегральний вираз функціонала якості (1.6), V =V(X) - функція Ляпунова, ? - множина допустимих значень вектора керувань U. Керування U=U(X), при якому значення виразу в (2.1) досягає мінімуму, є оптимальним керуванням Uopt для системи (2.5); тобто, при його застосуванні функціонал якості (1.6) також отримує мінімальне значення. Підставляючи до (2.1) підінтегральний вираз (1.7)-(1.8), отримаємо:
. (2.2)
Bраховуючи, що функція Ляпунова є функцією лише Х, для її похідної можемо записати в силу системи (1.5) співвідношення:
, (2.3)
та, підставляючи вираз для до (2.2), отримаємо:
. (2.4)
Розглянемо задачу пошуку оптимального керування Uopt=Uopt(X) для системи, яка в деякий момент часу t знаходиться в точці Х(t). При заданому значенні вектора Х = X(t) вираз під символом мінімуму в (2.4) як функція U має досить простий вигляд - це багаточлен другого степеня від компонентів вектора U. Отже, функція, що стоїть під мінімумом в (2.4), неперервна та неперервно диференційована по U. Це дозволяє, виходячи з (2.4), записати умову локального екстремуму цієї функції у диференціальній формі :
, U=Uopt(X) . (2.5)
В загальному випадку керування U є вектором, і запис (2.5) представляє систему рівнянь розмірності, що відповідає розмірності вектора U.
Розкриємо дужки в (2.5) :
++ + +
+ + . (2.6)
Послідовно розглянемо члени рівняння (2.6). Оскільки Х=Х(t) не залежить від величини U(t), перший член (2.6) дорівнює нулю. Функції , F(X) та функція Ляпунова V=V(X) не є функціями U, тому доданки (2.6) , та дорівнюють нулю. Відкинувши нульові доданки з (2.6), отримуємо:
+ . (2.7)
Проведемо перетворення доданків (2.7). Використовуючи запис виразу у покоординатній формі, можна показати [90], що
= 2RU . (2.8)
Тепер розглянемо другий доданок (2.7) - вираз .
У ньому є n - компонентним вектором, що не залежить від U(t); B - матриця nxm з постійними елементами. Їх добуток можемо розглядати як m - компонентний вектор-рядок, елементи якого не залежать від U. Для зручності позначимо цей вектор-рядок літерою S, а його компоненти - s1 , s2 , ... , sm :
Тоді = SU = s1u1+s2u2+ ... +smum ,
= s1; = s2; ... ; = sm ;
= = = ST = = . (2.9)
Враховуючи (2.8), (2.9), з рівняння (2.7) отримаємо:
2+=0 , .
Якщо існує матриця R-1, можемо записати :
. (2.10)
Таким чином, задачу пошуку оптимального керування для системи (1.5) можемо розглядати як задачу пошуку відповідної функції Ляпунова.
Застосуємо рівняння Белмана (2.2), (2.4) для опису поведінки системи (1.5) з регулятором (2.10). Вираз під знаком мінімуму в (2.4) набуває мінімального значення, яке дорівнює нулю, якраз при керуванні U=Uopt , визначеному виразом (2.10). Отже, з (2.4) можемо записати
Після підстановки виразу для Uopt (2.10) отримаємо:
+++
=0 . (2.11)
Вважаючи матрицю R симетричною та використовуючи симетричність оберненої матриці, (R-1)T=R-1 , спростимо вираз
= =
= = ;
= .
В такому разі з (2.11) отримаємо
=
=
= 0 ;
= 0 . (2.12)
Рівняння (2.12) є рівнянням Белмана для системи (1.5), в якому враховано зв'язок між оптимальним (з точки зору функціонала якості (1.6)-(1.8)) керуванням та відповідною функцією Ляпунова. Зокрема, при w2(X)=0 отримуємо рівняння Белмана для системи (1.5) з квадратичним функціоналом якості, яке може бути використане для знаходження коефіцієнтів оптимального регулятора [11, 86].
2.2. Синтез нелінійного регулятора з урахуванням вимог до якості перехідних процесів для динамічної системи з поліноміальною правою частиною
Нехай в деякому околі точки рівноваги нелінійну вектор-функцію з (1.5) представлено у вигляді відрізку степеневого ряду за степенями компонент вектора стану Х :
, (2.13)
де - вектор-стовпець, компонентами якого є квадратичні форми
від компонент вектора Х;
- вектор-стовпець, компонентами якого є кубічні форми від компонент вектора Х, і так далі. Надалі будемо вважати, що вектор-функцію F(X) задано набором коефіцієнтів розкладу (2.13).
Розглянемо розв'язання [91, 92] сформульованої вище задачі у випадку, якщо вираз для функції Ляпунова є відрізком степеневого ряду за компонентами n-вимірного вектора стану Х:
, (2.14)
де доданки задано як
, , (2.15)
де x1, x2, ... , xn - компоненти n-вимірного вектора стану Х;
?1, ?2, ... , ?n - невід'ємні цілі числа, показники степенів, у яких відповідні компоненти вектора стану присутні у складі даного доданку;
- дійсний числовий коефіцієнт даного доданку.
Таким чином, в розкладі (2.14) функції Ляпунова доданок складається з членів, кожен з яких містить координати х1, х2, ..., хn в сумарному степені 2, доданок - в степені 3, і так далі. Іншими словами, - деяка квадратична форма від компонентів вектора Х, - кубічна форма і так далі.
Визначимо частину w2(X(t)) у виразі функціонала якості (1.6) - (1.7) як
, (2.16)
де c0, c1, ... ck - деякі числа. Тоді функціонал якості набуває вигляду
. (2.17)
Кількість доданків в розкладі (2.14) і у виразі (2.16) узгоджена з кількістю доданків в розкладі (2.13) нелін