СОДЕРЖАНИЕ
Введение...............................................................4
1. Существующие методы расчета нестационарных колебаний упругих систем при ударных взаимодействиях....................................8
1.1. Математические модели соударения тел с распределенными параметрами и методы исследования динамики упругих систем...............8
1.2. Основные соотношения теории оболочек.........................14
1.3. Расчет тороидальных оболочек асимптотическим методом.........60
1.4. Построение передаточной функции..............................68
1.5. Выводы. Цель и задачи исследования...........................73
2. Метод конечных элементов (МКЭ) в динамике оболочек как вязко-упругих систем с распределенными параметрами......................75
2.1. Вариационные принципы динамики вязкоупругих систем с распределенными параметрами для разрывных полей смещений и напряжений............................................................ 75
2.2. Нестационарные колебания в упругих системах с учетом рассеяния энергии.........................................................83
3. Динамический расчет конических оболочек...........................86
3.1. Уравнения динамики оболочек вращения. Динамический расчет осесимметрично нагруженной конической оболочки.....................86
3.2. Колебания оболочек вращения при абсолютно упругом ударе при сохранении связи с препятствием и при отскоке от препятствия......96
4. Статический и динамический расчет гофрированных мембран..........100
4.1. Статический расчет гофрированных мембран. Сравнение полученных результатов с известными результатами..........................100
4.2. Динамический расчет гофрированных мембран...................103
2
5. Заключение........
6. Список литературы Приложения...........
ВВЕДЕНИЕ
Классическая теория колебаний основывается на решении дифференциальных уравнений и стыковке решений для различных частей системы при выполнении условий непрерывности. О состоянии теории колебаний в настоящее время можно судить по фундаментальным работам [3, 7, 8, 17, 19,20,23, 30, 31,33,34,36, 40, 64, 65, 69,71, 72, 73, 110, 117, 119,125, 130, 131, 134, 137, 138]. Развитие теории колебаний идет по пути применения метода конечных элементов (МКЭ) в сочетании с численным интегрированием соответствующих дифференциальных уравнений.
В настоящее время объем вычислений уже не является определяющим фактором. Важным становится построение простых и универсальных алгоритмов. Все этапы расчета должны быть строго формализованы при помощи удобного математического аппарата Основной задачей является создание достаточно универсальной и эффективной программы вычислений на ЭВМ.
При изучении колебаний обнаруживается, что классических методов недостаточно и что необходимы новые, более общие и в то же время менее сложные методы. В связи с этим, перспективным, но недостаточно разработанным направлением расчета нестационарных колебаний оболочек вращения при соударении с препятствием, является подход, предложенный Санкиным Ю.Н., основанный на прямом и обратном преобразовании Лапласа, построении передаточной функции вязкоупругой системы с распределенными параметрами, позволяющий осуществлять обоснованный переход от сложной упругой системы к ее простой эквивалентной модели с применением современных вычислительных методов и средств.
Проблема моделирования динамических характеристик оболочек, как систем с распределенными параметрами (например, обшивка самолета, элементы конструкций космических аппаратов) является актуальной в связи с тем, что в ряде случаев приходится обеспечивать защиту от соударе-
4
ния с препятствием и внезапных силовых воздействий. Одной из первых работ, посвященных исследованию динамических явлений в системах с распределенными параметрами с применением преобразования Лапласа, является работа Кошутина М.И. [47]. Однако метод, предлагаемый в [47] был рассчитан па ручной счет и его возможности были сильно ограничены.
Здесь решение задачи осуществлено методом конечных элементов (МКЭ). Методу конечных элементов посвящены многочисленные работы [9, 12, 22, 35, 37, 41,44, 46, 54, 66, 77, 88, 100, 142]. Особенностью используемого в работе варианта МКЭ является то, что исходным является смешанный вариационный принцип, для соответствующих величин, преобразованных по Лапласу, куда входят начальные условия, предложенный Ю.Н. Санкиным [89, 91]. Под вариационным принципом понимается эквивалентность решения краевой или начально-краевой задачи условию стационара соответствующею функционала. Для прямого вариационного метода достаточно иметь в распоряжении функционал, которому искомое решение сообщает стационарное, а не обязательно экстремальное, значение.
Анализ различных вариационных принципов содержится в работах [1, 21, 87, 89, 91, 140, 141, 143, 144, 145]. Однако решение проблемы начальных условий дано в работах [89, 91]. В предлагаемой работе исходные уравнения в частных производных преобразуются по Лапласу [45, 52, 57]. В преобразованные уравнения входят начальные условия, которые наряду с заданными силами также являются возмущающими воздействиями. Обратное преобразование Лапласа осуществляется численным образом. Для чего полагаем р = 1со, где р - параметр преобразования Лапласа, I - комплексная единица, со - частотный параметр. В результате задача сводится к решению алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Затем осуществляется построение амплитудно-фазо-частотных характеристик (АФЧХ). Данное построение, как правило, всегда возможно. Поскольку все особые точки соответствующих выражений, благодаря учету
5
внутреннего рассеяния энергии, лежат в левой полуплоскости, то обратное преобразование Лапласа осуществляется путем использования построенных АФЧХ. Кроме того, АФЧХ могут служить для построения простых математических моделей.
Математическое моделирование оболочек как систем с распределенными параметрами в настоящее время представляет собой весьма актуальную задачу, так как анализ переходных процессов при нестационарных возмущениях разработан в настоящее время недостаточно и сводится к решению задачи Коши для систем дифференциальных уравнений высокого порядка. Это ведет к потере точности после небольшого числа шагов интегрирования.
Предлагаемая работа посвящена исследованию оболочек вращения, как систем с распределенными параметрами, динамические явления в которых описываются уравнениями МКЭ, которые являются вариационными уравнениями. В работе рассматривается частотный метод построения переходных процессов.
В последнее время появилось большое количество работ по применению прямых методов типа Бубнова-Галеркина-Ритца и на их основе различных модификаций МКЭ, а также разностных уравнений. Предлагаемые здесь вычислительные схемы требуют построения АФЧХ с учетом начальных условий для отдельных сечений оболочки с последующим численным обратным преобразованием.
При разработке метода динамического анализа оболочек вращения автор основывался на фундаментальных работах [26,32, 56,67,116, 127,133, 139].
При составлении алгоритмов программ использовались работы [2, 14, 15, 27, 30, 53, 60, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 104, 109, 111, 112, 115, 118, 121,123, 132]
6
Научная новизна положений, выносимых на защиту.
1. Впервые разработан способ расчета переходных процессов в оболочках вращения, позволяющий промоделировать состояние оболочки на протяжении нескольких сотен и тысяч циклов, основанный на соотношениях, полученных из вариационных соображений, для преобразованных по Лапласу узловых перемещений для конического конечного элемента.
2. Впервые разработана методика динамического расчета оболочек вращения при соударении с препятствием и внезапном нагружении, основанная на смешанном вариационном принципе для преобразованных по Лапласу полей обобщенных перемещений и обобщенных сил.
3. Впервые получены математические модели оболочек вращения, основанные на использовании экстремальных точек АФЧХ, позволяющие компактно представить результаты решения нескольких сотен или тысяч уравнений.
7
1. СУЩЕСТВУЮЩИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ ПРИ УДАРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ
1.1 Математическое модели соударения тел с распределенными пара-метрами и методы исследования динамики упругих систем
Ударные явления в телах с распределенными параметрами сопровождаются распространением волн, которые сами по себе представляют некоторую сумму колебательных процессов. При этом основные предпосылки, которые используются при изучении динамических явлений в телах с распределенными параметрами, берутся часто такими же, как и при исследовании соударения твердых не деформируемых тел.
Рассмотрим некоторые основные модели, используемые для описания соударения твердых тел и, которые могут быть использованы при изучении соударения тел с распределенными параметрами. Различные модели ударного взаимодействия рассмотрены в работах [4, 5, 6, 11, 25, 42, 43, 135]. В предлагаемой работе классификация ударных взаимодействий и методов исследования удара уточнена. В частности, на наш взгляд, более точно выделены модели и методы исследования ударною взаимодействия тел с распределенными параметрами.
Одной из наиболее универсальных теорий удара, правда основанной на формальных предпосылках, является теория Ньютона, которую он предложил в 80-х годах XVII века. Его теория основана на предположении о пропорциональной зависимости между относительными скоростями тел до и после удара, и, в качестве интегральной характеристики действия ударных сил, ввел коэффициент восстановления скорости при ударе, зависящей только от кинематических характеристик движущихся тел перед ударом. Теория Ньютона вполне пригодна для исследования виброударных систем, но не позволяет определять силы взаимодействия при ударе, кото-
8
рые необходимо знать, например, для определения безопасной скорости соударения с препятствием или при внезапном нагружении импульсами силы.
Следующим шагом в уточнении механизма соударения твердых тел является теория удара, разработанная Герцем. Его теория основана на следующих гипотезах: 1) общие деформации малы по сравнению деформациями в области контакта соударяющихся объектов; 2) предполагается, что контактная сила и контактные деформации связаны при ударе такой же зависимостью, как и при статическом взаимодействии, то есть силы инерции не учитываются.
Контактная сила Р в зависимости от сближения тел а определяется формулой [16]:
3/
Р = ка/2,
где коэффициент к зависит от кривизны поверхностей тел в точке контакта и от свойств материала, а продолжительность удара вычисляется по формуле [16]:
т=2.9432{^|}ХуЛ
ш, т2 __
где т = —5----—, т,, т2 - массы соударяющихся тел, кг; У0 - начальная
ш1 -ьт2
скорость соударения, м/с.
Основным ограничением теории Герца является ограничение на зону контакта соударяющихся тел. Необходимо чтобы зона контакта была мала по сравнению с другими размерами тел. И если предпосылки теории Герца выполняются, то она дает хорошие совпадения с экспериментальными значениями. Теория Герца может быть использована и при изучении соударения тел с распределенными параметрами, например, при ударе сферы о деформируемое полупространство.
Наиболее изученными явлениями при ударе тел с распределенными
параметрами до последнего времени были волновые явления, возникаю-
9
щие при продольном ударе по прямолинейному стержню. К числу подобных работ относятся работы Д. Бернулли (1751 г.), Навье (1823 г.) и Пуассона (1833 г.).
Как было отмечено выше динамические явления при ударе могу!' рассматриваться как некоторый суммарный колебательный процесс, и поэтому довольно точные результаты получаются при замене сплошной среды дискретной моделью в виде сосредоточенных масс соединенных между собой упругими элементами. Так, например, как заметил В.К. Манжосов, при моделировании продольного удара по стержню приемлемые результаты получаются при замене стержня примерно десятью сосредоточенными массами соединенными упругими элементами. Правда при этом специфика ударных явлений, связанных с распространением прямой и обратной волны не выявляется.
Другим, так же достаточно эффективным, методом является энергетический метод, когда считается, что энергия ударяющего тела полностью переходит в потенциальную энергию тела, по которому осуществляется удар. Данная модель так же не учитывает специфику колебательных процессов на разных частотах и формах колебаний. Она дает неплохие результаты при поперечном ударе по балке, и уже дает значительную погрешность при рассмотрении продольного удара по стержню.
В настоящее время при продольном соударении стержней широко используется метод Д’Аламбера. Это решение дает хорошие практические результаты и широко используется в настоящее время для изучения продольного удара по стержню при различных граничных условиях.
Вместе с тем, как заметил Н. Винер [24], при достаточном количестве членов ряда, волновые явления можно моделировать с помощью ряда Фурье, это относится и к продольному удару по стержню. Как известно ряд по собственным функциям самосопряженного оператора, описывающего поведение упругого тела, представляет собой обобщенный ряд Фурье [29, 51,
10
59, 113, 120J. Обобщенный ряд Фурье сходится по энергии к искомому решению, поэтому во всех случаях, когда изучаются колебания тел с распределенными параметрами, и, в частности, рассматриваемая в данной работе задача о нестационарных колебаниях конической оболочки при соударении с препятствием и внезапном нагружении, может быть решена при помощи обобщенных рядов Фурье. Фактически именно эта процедура и реализуется в работе. На основе вариационных уравнений, каковыми являются уравнения МКЭ, для узловых перемещений преобразованных по Лапласу строится алгебраическая система с комплексными коэффициентами. Решая эту систему, строятся АФЧХ, затем, по экстремальным точкам АФЧХ, выделяются коэффициенты обобщенного ряда Фурье. Обычный подход при решении задач колебания оболочки при ударном взаимодействии не представляется возможным, так как одновременно имеют место связанные колебания вдоль по образующей оболочки и по поперечным направлениям к образующей.
При рассмотрении задач колебаний, возникают частные задачи, такие как, например, определение собственных частот и форм колебаний. К числу подобных задач относится задача определения собственных частот методом Релея. Согласно методу Релея собственная частота находится из равенства [10]
П= Т
max 1 max >
где Птах, Тгпах - соответственно максимальная потенциальная и кинетическая энергия.
Метод Рэлея применяется главным образом для оценки основной частоты системы, однако другие ее динамические характеристики остаются нераскрытыми. Точность определения частоты колебаний зависит от выбора формы колебаний, которую трудно заранее предсказать.
Метод Ритца позволяет свести расчет системы с распределенной массой к расчету более простой системы с конечным числом степеней свободы, и в частности, дает более точное решение для первой собственной час-
11
тоты [10, 29]. Однако он не позволяет решать задачи о нестационарных колебаниях систем с распределенными параметрами с учетом рассеяния энергии.
Метод Бубнова-Галеркина совпадает с методом Ритца для самосопряженных операторов, в том случае, когда координатные функции удовлетворяют всем граничным условиям как геометрическим, так и силовым [62,63, 126].
Энергетический метод [62, 63], предложенный С.Г. Михлиным, благодаря тому, что задача сводится к нахождению решений в энергетическом пространстве, которое является частным случаем пространства Соболева, требует выполнения только геометрических условий, так как силовые условия автоматически выполняются при решении соответствующей вариационной системы уравнений. Следует заметить, что МКЭ является развитием энергетического метода С.Г. Михлина.
Конечноразностные методы в настоящее время претерпели значительные изменения, они превратились в вариационноразностные. Подобные методы изучены, например, в работах [14, 15, 54].
Вариационный метод, рассматриваемый в данной работе, справедлив при решении линейных задач динамики вязкоупругих систем с распределенными параметрами с учетом начальных условий и рассеяния энергии, при любых видах нагружения, лишь бы существовало преобразование Лапласа для соответствующих сил. В частном случае этот метод решает задачу о вынужденных колебаниях с учетом рассеяния энергии и, кроме того, из него следуют метод Релея, метод Ритца и метод Бубнова-Галеркина при соответствующих предположениях [126, 128].
Классификация методов исследования ударных явлений и колебаний при этом возникающих представлена на рис. 1.
12
- Київ+380960830922