Разработка методов анализа чувствительности геометрически нелинейных упругих механических систем при статических нагрузках

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение....................................................................5
Глава 1.....................................................................13
Современное состояние теории расчета и анализа чувствительности
геометрически нелинейных систем.............................................13
1.1 Постановки и методы решения задач геометрически нелинейной теории
упругости..................................................................13
1.1.1 Современное состояние геометрически нелинейной теории упругости.. 13
1.1.2. Решение геометрически нелинейных задач методом конечных элементов 20
1.2. Современное состояние теории анализа чувствительности..............30
1.3. Цели и задачи исследований.........................................37
Глава 2.....................................................................40
Разработка методики анализа чувствительности геометрически нелинейных механических систем.........................................................40
2.1. Анализ чувствительности геометрически нелинейных систем при решении проектировочных и оптимизационных задач.................................40
2.2. Анализ чувствительности параметров состояния.........................43
2.2.1. Анализ чувствительности перемещений................................43
2.2.2. Анализ чувствительности компонентов второго тензора напряжений Пиола-Кирхгоффа.........................................................48
2.2.3. Анализ чувствительности истинных напряжений.....................5 ]
Глава 3.....................................................................54
Анализ чувствительности на основе стержневого, треугольного и гексаэдрического конечных элементов.........................................54
3.1. Изопараметрический объемный конечный элементе переменным числом узлов...................................................................54
3.1.1. Основные соотношения и матрицы...................................54
3.1.2. Определение чувствительностей перемещений и напряжений...........58
3.2. Треугольный конечный элемент.........................................66
3
3.2.1. Основные соотношения и матрицы треугольного конечного элемента. 66
3.2.2. Определение чувствительностей перемещений и напряжений для треугольного конечного элемента......................................71
3.3. Стержневой конечный элемент, работающий на растяжение - сжатие 78
3.3.1.Основные соотношения и матрицы стержневого конечного элемента. 78
3.3.2. Определение чувствительностей перемещений и напряжений с использованием стержневого конечного элемента........................81
3.3.3. Определение параметров напряженно - деформированного состояния и их чувствительностей на примере фермы Мизеса.........................85
Глава 4....................................................................99
Учет требований устойчивости при проектировании геометрически нелинейных механических систем........................................................99
4.1. Основные методы решения проблем анализа устойчивости и учета 01раничсний по устойчивости в задачах проектирования геометрически нелинейных систем.....................................................101
4.2. Аппроксимация параметра критической нагрузки.......................106
4.2.1. Начальная устойчивость...........................................107
4.2.2. Устойчивость в большом...........................................112
4.2.3. Приближенные методы аппроксимации параметра критической нагрузки ......................................................................117
Глава 5...................................................................127
Расчёт и проектирование сильфонов на основе методов анализа чувствительности..........................................................127
5.1.Анализ существующих методов расчета сильфонных элементов............127
5.2. Обоснование выбора расчетной схемы на основе метода конечных элементов.............................................................132
5.2.1. Генерация конечно - элементной сетки для однослойных сильфонных элементов.............................................................133
4
5.2,2. Статический расчёт сильфонов с помощью МКЭ. Сравнительный анализ результатов расчёта с результатами традиционных методик и
экспериментальных исследований.......................................138
5.3. Анализ параметров напряженно - деформированного состояния и их чувствительности.......................................................145
5.3.1. Необходимость использования анализа чувствительности при проектировании сильфонов.........................................145
5.3.2. Исследование жёсткости сильфона. Анализ чувствительности 149
5.3.3. Анализ напряжённого состояния сильфонов. Анализ чувствительности напряжений.......................................................152
5.3.4. Вывод.........................................................175
Заключение...............................................................176
Литература...............................................................178
Приложение 1. Система обозначении........................................203
Приложение 2. Основные соотношения геометрически нелинейной теории
упругости и принятая система обозначений.................................204
Приложение 3. Функции формы изопараметрического объёмного конечного элемента с переменным числом узлов и их производные по пространственным
координатам..............................................................217
Приложение 4. Таблицы чувствительностей перемещений и напряжений разных
модификаций фермы Мизеса.................................................223
Приложение 5. Поля чувствительностей компонентов тензора напряжений
сильфона при растяжении, изгибе, сдвиге.................................231
Приложение 6. Акты внедрения.............................................263
5
Введение
При создании объектов современного машиностроения необходимо удовлетворять противоречивым требованиям. С одной стороны, проектируемая кон-струкция должна обладать прочностью, устойчивостью, надежностью и заданными механическими свойствами, связанными с ее функциональным назначением. С другой стороны, конкурентоспособность изделия существенно зависит от материалоемкости, технологичности и стоимости изготовления, экономичности в эксплуатации и ряда других факторов. Эффективным инструментом решения указанных проблем является численное моделирование проектируемого объекта в сочетании с процедурами поиска оптимальных или рациональных решений. Ключевую роль при определении направления поиска играют методы анализа чувствительности, которые позволяют оценить характер изменения параметров состояния при изменении варьируемых параметров проекта. Параметры состояния отражают реакцию конструкции и определяются законами механики, в частности, к ним относятся перемещения, напряжения, критическая нагрузка Варьируемые параметры проекта (или параметры проектирования) находятся в распоряжении инженера, определяют форму проекта, материал или управляющее воздействие. Как правило, явная функциональная зависимость между параметрами состояния и параметрами проектирования отсутствует. Зависимость между ними обуславливается уравнениями состояния.
В последние два десятилетия в мире уделяется значительное внимание развитию эффективных методов анализа чувствительности, их теоретическому обоснованию и практическому использованию. В первую очередь, это обусловлено возросшими возможностями вычислительной техники и созданием средств автоматизации прочностных расчетов нового поколения. Следует отметить, что многие современные промышленные комплексы программ прочностных расчетов включают средства решения стандартных оптимизационных задач на основе методов анализа чувствительности. Поля чувствительности позволяют получить информацию об эффективности работы материала в конструкции и поэтому имеют самостоятельное значение при проектировании. За последние годы тео-
6
рия анализа чувствительности сформировалась в самостоятельное научное направление, которое тесно связано с теорией оптимального проектирования конструкций.
К настоящему времени достаточно хорошо изучены методы анализа чувствительности линейных систем [164, 165]. Однако, характеристики ряда современных конструкций таковы, что без учета геометрической нелинейности невозможны корректная постановка и решение, как проблем анализа конструкций, так и задач поиска проекта с заданными механическими свойствами. Геометрическая нелинейность обусловлена учётом нелинейных членов в уравнениях, описывающих связь между деформациями и перемещениями. Такая необходимость возникает, когда деформации и перемещения являются величинами конечного порядка. Геометрически нелинейные конструкции, как правило, относятся к классу тонкостенных, а также к системам, элементы которых выполнены, например, из резиноподобных и других синтетических материалов, позволяющих испытывать значительные деформации при линейной зависимости между напряжениями и деформациями. Учёт геометрической нелинейности представляет большой интерес при проектировании объектов машиностроения, кораблестроения, автомобильного транспорта, авиационной и космической техники. В работе многих приборов, датчиков, устройств автоматического регу лирования используются эффекты обусловленные геометрической нелинейностью.
Как самостоятельная, логически замкнутая теория геометрически нелинейная теории упругости сформировалась в первой половине XX века [36,40,47,89,96,115-117,158,171]. При анализе параметров напряженно - деформированного состояния очень важным является этап решения нелинейных уравнений равновесия, поскольку правильно выбранный метод позволяет получить результаты с минимальными погрешностями [162]. Немало работ посвящено решению прикладных задач, соответствующих определенному виду конструкций, в некоторых случаях, - конкретным конструкциям. При этом часто решение таких задач строится на основе метода котгечньгх элементов (N4X3) [20, 68, 69, 144]. Достоинства МКЭ хорошо известны, в частности, возможно построение расчетных схем сложных конструкций без существенных упрощений, все этапы
7
расчёта полностью формализованы и составляют хорошую основу для средств автоматизации поверочных и проектировочных расчётов.
В рамках геометрически нелинейной постановки задачи, не смотря на свою актуальность, проблема анализа чувствительности исследована менее полно. Это обусловлено сложностью формулировки и решения геометрически нелинейных задач, которые могут иметь несколько решений. Как правило, геометрически нелинейные задачи не имеют замкнутого аналитического решения, а при численном анализе практических задач требуются значительные вычислительные ресурсы, решение может быть неустойчивым вследствие неустойчивости поведения самой конструкции. К настоящему времени получены основные соотношения теории анализа чувствительности геометрически нелинейных систем на базе континуального и дискретного подходов [2, 75, 175-180, 192, 199, 200. 206, 209-212, 214, 216, 234, 252, 254, 259, 281, 279]. Второй подход реализован с помощью МКЭ. Для решения прикладных задач необходимо исследовать особенности реализации этих соотношений для конкретных типов конечных элементов.
При проектировании большинства тонкостенных конструкций необходим учёт ограничений по устойчивости. В основном, исследователи решают проблему учёта ограничений по устойчивости на основе линеаризованных соотношений. Однако, такой подход может иметь силу только в ограниченном числе случаев. Для получения достоверных результатов, как правило, необходимо решать задачу' устойчивости в большом. В связи с этим возникает необходимость разработки эффективных методов анализа чувствительности параметра критической нагрузки геометрически нелинейных конструкций.
К настоящему времени не получено исчерпывающего решения проблемы анализа чувствительности геометрически нелинейных систем, поэтому необходимы дальнейшие исследования в этом направлении. Особенно актуальной является разработка эффективных и одновременно универсальных методов анализа чувствительности, ориентированных на их использование в системах автоматизации прочностных расчетов на основе метода конечных элементов (МКЭ) для
8
создания и развития современных технологий проектирования механических систем.
Настоящая диссертационная работа посвящена разработке методов анализа чувствительности геометрически нелинейных упругих механических систем при статических воздействиях, в основе которых лежат геометрически нелинейная теория упругости, МКЭ, теория анализа чувствительности.
В первой главе отражаются основные этапы развития и современное состояние геометрически нелинейной теории упругости. Для численного решения задач геометрически нелинейной теории упругости, как правило, используется МКЭ. В связи с этим все соотношения представлены в матричной форме. В качестве меры деформаций используются компоненты тензора деформаций Грина и в качестве меры внутренних усилий - соответствующие им компоненты второго тензора напряжений Пиола - Кирхгоффа. Достоинствами этих тензоров является то, что они и их инварианты могут быть записаны без полярного разложения. Устанавливается связь между компонентами второго тензора напряжений Пиола - Кирхгоффа и компонентами истинных напряжений. Вводится система обозначений параметров напряженно - деформированного состояния, используемая в работе. Проводится анализ методов решения нелинейных уравнений состояния. Описывается назначение анализа чувствительности, обосновывается целесообразность его использования при решении проектировочных задач, проводится сравнительный анализ существующих методов анализа чувствительности, исследуется развитие этих методов в рамках геометрически нелинейной теории. В завершении ставится цель исследований данной работы, и отражаются способы её достижения.
Во второй главе показан анализ чувствительности как эффективное средство поиска проекта с заданными механическими характеристиками. На основе анализа чувствительности получаются линейные относительно параметров проектирования аппроксимации параметров состояния, входящих в систему ограничений приближённой задачи оптимизации на (- ой итерации. Приводится выражение для построения аппроксимаций, представляющее собой ряд Тейлора, включающий в себя только коэффициенты разложения первого порядка. Для по-
9
лучения коэффициентов разложения используется анализ чувствительности. При решении проблемы оптимизации геометрически нелинейных систем предлагается получать аппроксимации не самих функционалов, образующих систему ограничений, а параметров состояния, обуславливающих эти функционалы. Это позволяет наиболее точно отражать поведение функционалов при решении приближённой задачи на \ - ой итерации оптимизационного процесса. Во второй части главы получены универсальные соотношения, лежащие в основе методов анализа чувствительности параметров состояния геометрически нелинейных систем: перемещений, компонентов второго тензора напряжений Пиола - Кирх-гоффа и истинных напряжений. Универсальность заключается в возможности их детализации для частных видов конструкций. Для этого требуется общие соотношения МКЭ конкретизировать для рассматриваемого конечного элемента Основные соотношения анализа чувствительности реализованы в виде алгоритмов, описывающих процедуру вычисления коэффициентов чувствительности рассматриваемых параметров состояния.
В третьей главе рассматриваются конкретные конечные элементы: стержневой, работающий на растяжение - сжатие, треугольный, описывающий плоское напряженное состояние, изопараметрический объёмный с переменным числом узлов. Рассмотренные в 1.1.2 общие соотношения МКЭ записываются в контексте данных конечных элементов, затем на базе алгоритмов, полученных в
2.2, и этих выражений строятся соотношения анализа чувствительности перемещений, обобщённых и истинных напряжений. В качестве тестирующего примера была рассмотрена шарнирно - стержневая система, именуемая фермой Мизеса. Физические и геометрические параметры расчётной схемы фермы заданы таким образом, чтобы в полной мере отражать свойства геометрически нелинейных систем. Результаты расчетов представлены в виде таблиц и графиков. Получение численных значений параметров напряженно - деформированного состояния системы и коэффициентов чувствительности параметров состояния осуществлялось в рамках соответствующей программы, реализованной на языке РогГгап 90, все графические построения и некоторые вспомогательные вычисления выполнялись на базе системы символьной математики МаФетабса 3.0.
10
Четвертая глава посвящена вопросу учёта ограничений по устойчивости, в частности, построению аппроксимации параметра критической нагрузки на основе методов анализа чувствительности геометрически нелинейных систем. В первой части главы рассматриваются основные подходы к решению проблемы оценки устойчивости и анализа чувствительности параметра критической нагрузки геометрически нелинейных систем. Во второй части на базе соотношений МКЭ приведены алгоритмы анализа чувствительности параметра критической нагрузки на базе трех методов оценки устойчивости: линеаризованного, точного и синтеза точного и линеаризованного. В рамках этой процедуры произведен анализ ранее известных методов анализа чувствительности и предложен новый подход к решению данной проблемы. А именно, выявлены и обоснованы границы применимости метода анализа чувствительности параметра критической нагрузки, базирующегося на решении точных нелинейных уравнений равновесия, разработан метод анализа чувствительности параметра критической нагрузки на основе приближённой оценки уровня критической нагрузки. Для иллюстрации каждого метода была решена тестовая задача, в связи с чем были разработаны соответствующие программы на языке Fortran - 90. Результаты расчетов приведены в виде таблиц и графиков.
В пятой главе разработана методика проектирования реальных конструкций с учётом ограничений на прочность и жёсткость. В качестве примера рассмотрен однослойный сильфон, особенностью которого является взаимное влияние геометрических параметров. Был осуществлен анализ известных методов расчета сильфонов. Как правило, для каждого типа сильфонов получен свой метод. Метод конечных элементов позволяет в рамках единого подхода решить достаточно точно проблему анализа сильфонов разных типоразмеров. Для анализа парамезров напряженно - деформированного состояния сильфонов, в диссертационной работе был использован изопараметрический КЭ с переменным числом узлов, описанный в 3.3.1. В связи с необходимостью параметрического описания расчётной схемы была создана программа на языке Fortran 90 для генерации расчетных схем однослойных сильфонов произвольных типоразмеров. С помощью программной системы COMPASS [23,24] было исследовано иапря-
11
жённо - деформированное состояние при варьировании геометрическими параметрами. Результаты расчета сопоставлялись с результатами расчетов на основе известных методик. Наряду с этим приведены результаты экспериментальных исследований действительной работы сильфонов. Построены эпюра чувствительности продольной жёсткости и поля чувствительности напряжений. Выявлены геометрические параметры сильфонов, но отношению к которым их жёст-костные характеристики наиболее чувствительны. Продемонстрированы возможности анализа чувствительности, как средства, позволяющего определить характер изменения жёсткости сильфона и нолей напряжений по наружной и внутренней поверхностям сильфона. Для выполнения данных исследований были использованы программная система COMPASS, специально написанные программы на языке FortTan 90 совместно с системой символьной математики Mathematica 3.0, позволяющие строить поля напряжений и их чувствительности.
В связи с тем, что в геометрически нелинейной теории упругости разными авторами используется различная система обозначений, используемые в работе обозначения, приведены в приложении 1.
В приложении 2 приведены основные соотношения геометрически нелинейной теории упругости в рамках континуального подхода.
В приложении 3 даны функции формы изопараметрического объёмного конечного элемента и их проихводные но пространственным координатам.
В приложении 4 приведены таблицы, в которых систематизированы результаты вычисления чувствительностей параметров напряженно - деформированного состояния ферменной конструкции, рассмотренной в примере главы 3.
В приложении 5 показаны поля чувствительностей компонентов тензора напряжений для трёх видов нагружения сильфона: растяжение, изгиб, сдвиг.
Основные положения диссертации доложены на:
Межрегиональном семинаре «Проблемы оптимального проектирования сооружений», Новосибирск, 1996г.;
1 - III Всероссийских семинарах «Проблемы оптимального проектирования сооружений», Новосибирск, 1997, 1998, 2000 г.г.;
12
IX, X, XI - ой научно - технических конференциях ИВВАИУ, Иркутск, 1995, 1998, 1999 г.г.;
VI - ом российско - польском семинаре «Теоретические основы строительства», Иркутск, 1997г.
Научно - технических конференциях ИрГТУ, Иркутск, 1995-1999
г.г.
13
Глава 1
Современное состояние теории расчета и анализа чувствительности геометрически нелинейных
систем
1.1 Постановки и методы решении задач геометрически нелинейной теории упругости
1.1.1 Современное состояние геометрически нелинейной теории упругости
Как стройная теория, позволяющая описать поведение идеального упругого твердого тела, теория упругости берет свое начало в первой половине прошлого века. При этом в основе ее лежали линейные соотношения, то есть соотношения, позволяющие описать поведение упругого тела, перемещения точек которого незначительны по сравнению с его размерами. Иными словами, теория упругости в первоначальном своем состоянии была линейной теорией. Ее создание связано с именами таких ученых, как Ж.Л.Лагранж, С.Жермен, Л.Навье, О.Коши, С.Пуассон. В 1828 году английским математиком Дж.Грином было введено понятие упругого потенциала, на основании которого получены соотношения между напряжениями и деформациями, базирующиеся на законе сохранения энергии без введения каких бы то ни было гипотез о поведении упругих тел. В 1850 году профессором физики Гейдельбергского университета Г.Р.Кирхгофом в теорию упругости был введен энергетический метод.
Первая половина XX века для теории упругости связана, прежде всего, с появлением и, как следствие, мощным развитием одной из ее ветвей - «геометрически нелинейной теорией упругости». Тем не менее, всегда было ясно, что точные соотношения теории упругости нелинейны. Так ещё в 1744 году Л.Эйлер на основе точного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня (уело-
14
вия закрепления «шарнир-шарнир») получил значение критической нагрузки [123,155]. 13 конце XVIII исследованиям нелинейной задачи о деформировании гибких стержней были посвящены труды Я.Вернули и Ж.Л.Лагранжа [155].
Активное внедрение гибких конструктивных элементов, типа стержней, пластин, оболочек, потребовало создания эффективных средств для оценки надежности их работы, что в свою очередь дало мощный толчок к развитию геометрически нелинейной теории упругости. Первыми работами в этом направлении были труды Б. де Сен-Венана и Г. Кирхгоффа, относящиеся к середине прошлого века.
К числу «лучших из ранних монографий», в которых был осуществлен систематизированный подход к теории упругости, как дисциплине, учитывающей нелинейные составляющие поведения упругого тела, по м/гению В.В.Новожилова [117] являются работы А.Лява и А.Клебша (А.ОеЬьсЬ), появившиеся в конце прошлого века.
Не смотря на то, что импульсом для развития геометрически нелинейной теории упругости послужила необходимость решения прикладных задач, изначально она все же, в основном, развивалась, как теоретическая дисциплина. Большой вклад в самом начале ее становления внесли представители итальянской школы Альманси (АЬпалш), Ариано (Апапо), Бургатти (Вш^аШ), Синьори-ни (Бйдоопш) и др. В своей монографии «Теория конечных деформаций» Д.И.Кутилин [89] одним из первых обобщил и систематизировал разрозненную информацию тю данному направлению, накопившуюся к середине 40-х годов. В основном, он оперировал работами итальянских исследователей. Термин «конечные деформации» автор связывает с «немалыми» деформациями материала, о которых при исследованиях гибких тел, как правило, речь не велась. Следствием значительной сложности нелинейных задач являются громоздкие и длинные формулы. В этом контексте использование методов тензорного анализа является наиболее рациональным. Ввиду чего этот математический аппарат стал доминирующим в работах многих исследователей данного направления. Некоторые авторы [89,96,142 и др.] в этой связи цитируют слова Бургатти, подтверждающие
15
универсальность тензорного анализа, выражающуюся в его способности компактного и быезрого «перенесения идеи в формулу, формулы в идею».
К концу первой половины нашего столетия геометрически нелинейная теория упругости уже выделилась в отдельную научную теорию, которую к тому времени уже трактовали как часть общей теории упругости. Одной из самых заметных рабо т в этом направлении, которую смело можно отнести к числу основополагающих, является книга В.В.Новожилова [115]. Положительный отзыв книга вызвала со стороны специалистов прикладного направления. Логическим продолжением этой работы стала опубликованная десятью годами позже работа [117]. Здесь была дана классификадия всех задач теории упругости. Критерием оценки в этом случае служила разновидность нелинейности (физическая или геометрическая). По мимо этою, был отмечен и обоснован тот факт, что термины «теория конечных деформаций» и «нелинейная теория деформаций» не эквивалентны, поскольку нелинейность между перемещениями и деформациями сохраняется случае малых деформаций, но значительных углах поворота. Были подробно представлены упрощения основных соотношений теории деформаций. Немалая часть книги посвящена рассмотрению прикладных задач в рамках геометрической нелинейности.
За рубежом первой работой, в которой были систематизированы и изложены с единых позиций все результаты исследований в области нелинейной теории упругости, была книга А.Грина (А.Е.Огееп) и В.Зерна (\V.Zerna) [207]. Линейная теория в ней рассматривалась, как частный случай. Своеобразным продолжением работы в этом направлении стала книга А.Грина и Дж.Адкинса (ГЕАсЦшк) [54]. С позиции прикладных исследований книга интересна тем, что в рамках нелинейной теории упругости было представлено и проанализировано поведение материалов типа резины. Авторы во многом руководствовались результатами исследований и советами Р.С.Ривлина (К.Б.ЯМш) [136]. Исследованиями в области теории конечных деформаций так же занимались Ф.Мурнаган (Р.МигпаиЬап) [244], П.Бриджмен (РЛУ.Вйс^тпсп) и др.
К числу отечественных публикаций, уделяющих особое внимание описанию механических свойств резиноподобных материалов (эластомеров) относит-
16
ся монография К. Ф. Черных [171]. В книге содержатся аналитические решения задач нелинейной теории упругости. Практическое применение разрешающих соотношений показано на примерах решений ряда задач, возникающих при рас-смотрении реальных изделий и конструкций.
Развитие нелинейной теории упругости как теоретической, так и прикладной дисциплины, во многом связано именами отечественных исследователей
Н.П.Абовский, Э.Л.Аксельрод [3, 4], Л.Е.Андрсева [11], А.С.Вольмир [36], И И.Ворович, К.З.Галимов [40, 41], И.И.Гольденблат [47], Э.И.Григолюк [49, 50], Я.М.Григоренко [51-53], A.A.Ильюшин [73], П.А.Лукаш [95], А.И.Лурье [96], В.А.Постнов [130], Л.И.Седов [142,143], В.И.Феодосьев [157], А.П.Филин [158] и многие другие.
Помимо фундаментальных работ в этой области существует много публикаций, в которых рассматривается та или иная частная задача. Как на пример, в статьях (42, 43] авторами предлагается вариант геометрически нелинейных зависимостей плоской нелинейной теории упругости, который отличается от часто применяемого варианта с использованием меры деформаций Грина тем, что уравнения равновесия статики и уравнения, описывающие связь между перемещениями и деформациями, получены относительно «истинных напряжений» (данное название, применяемое авторами статьи, описывает напряжения, которые соответствуют компонентам тензора напряжений Коши). В [16] предлагается для геомегрически нелинейных сплошных сред новая форма представления зависимости между инвариантами тензоров деформаций и напряжений. Проводится параллель с линейно постановкой. В работе [205] для однородного анизо-гролного гиперупругого тела системы уравнений движения и уравнений равновесия сведены к системе квазилинейных упругих уравнений 1 - го порядка. Приведена методика их решения. Детализация общих соотношений лрехмерной геометрически нелинейной теории для ряда плоских задач описывается в работе [172]. В [50] представлены общие соотношения напряженно деформированного состояния с учетом нелинейных эффектов при кручении. В рабоге |78] предлагается алгоритм решения задачи о кручении однородного анизотропного тела со слабо изогнутой осью в геомегрически нелинейной постановке. Немного позже в
17
[77] автор так же с позиций геометрической нелинейности рассматривает задачу о растяжении данного тела. Детализация общих соотношений геометрически нелинейной теории упругости для решения узкой проблемы приводится в работе
[35], в которой представлен анализ напряженно - деформированного состояния шасси рессорного типа. Примером ещё одной частной задачи является работ [1], где рассматривается определение внутренних усилий, а также координаты деформированного элемента упругого тонкого кольца под действием сосредоточенных сил в области больших перемещений.
Большое количество работ у нас и за рубежом посвящено решению задач, теории расчета гибких конструкций, либо гибких конструктивных элементов. Ранее уже отмечалось, большой интерес, связанный с проектированием и расчетом конструкций такого типа, стал мощным импульсом для развития всей гео-метрически нелинейной теории в целом. Актуальность этой проблемы не потеряла своей значимости и но сей день и, как следствие, к настоящему моменту выделилось два самостоятельных направления по расчету конструкций такого класса в рамках геометрически нелинейной теории: расчет стержневых конструкций и конструкций, элементами которых являются пластины и оболочки.
В основе расчета стержневых конструкций лежит теория тонких упругих стержней [72,128,129.], которая позволяет сформировать аналитические (если это возможно) или численные решения конкретных задач. В настоящее время существует не малое число работ, освещающих данную проблему.
К их числу относятся работы [37,46,66,193,222,264]. В [218] приводится общий способ формулировки условий равновесия стержня в геометрически нелинейной постановке. Учет нелинейности поведения стержневых систем подробно рассмотрен в работе [13] представителя Томской школы, в которой автор отмечает, что «основным параметром, определяющим нелинейность стержневых систем, являются угловые искажения». Соотношения, полученные в работе, формируют математическую базу решения задач и позволяют оценить погрешность линеаризованного подхода к анализу деформирования систем. Введена количественная мера нелинейности систем, выраженная отношением полной потенциальной энергии к упругой энергии деформации. В статье 1150] получены
18
общие соотношения упругости для гибкого стержня при больших перемещениях в пространстве. Вывод произведен вариационным методом с использованием векторной теории конечного поворота и системы аналитических преобразований тензорных выражении на ЭВМ. В [152] авгор исследовал влияние учета геометрической нелинейности на несущую способность и жесткость стержневых систем, изготовленных из различных материалов. Приводятся результаты расчетов.
Расчет гибкого стержня на устойчивость, его поведение в закритической области - это ещё один класс задач, правильное решение которых практически невозможно построить без учета геометрической нелинейности. Как следствие, существует значительное число работ, посвященных этому вопросу. Обзору фундаментальных работ по устойчивости гибкого стержня, обсуждению постановки задачи и методам исследования посвящена публикация [231]. В рамках МКЭ получен алгоритм для исследования нелинейной статической и динамической потери устойчивости. Проводится его анализ с доказательством теорем. Дается сравнение с линейным решением.
Вопросу о решении геометрически нелинейной задачи для криволинейных стержней посвящены работы [90,282]. С использованием аппарата дифференциальной геометрии выведены уравнения криволинейных стержней. В рамках статического критерия устойчивости Эйлера получены уравнения устойчивости [282]. Также показано, что для ряда расчетных схем пренебрежения нелинейными членами в уравнениях состояния может привести к значительным погрешностям в полученных результатах.
Значительный вклад в решение проблемы расчета на устойчивость стержней внесли представители Томского инженерно-строительного университета Л.С.Ляхович., А.Л.Иванов, А.П.Малиновский и др. [71,100,101].
Так или иначе, эта проблема представлена в работах [240,241,245].
Второе направление (расчеты пластин и оболочек) представлено теоретическими изысканиями, которые во многом явились следствием исследований прикладных проблем (машиностроение, кораблестроение, самолетостроение, космическая техника, приборостроение и т.д.).
19
Еще на рубеже нашего столетия русским ученым и инженером И.Г.Бубновым были проведены исследования в области поведения гибких пластин, обусловлен 1гыс проблемами кораблестроения. Предметом исследования была обшивка корабля. Была дана классификация пластинок по характеру напряженно-деформированного состояния (бесконечно жесткие, жесткие, гибкие, бесконечно гибкие). Многие идеи Бубнова получили дальнейшее развитие в работах П.Ф.Папковича.
Зарождение нелинейной теории пластин и оболочек тесно связано с такими именами зарубежных ученых, как Г.Арон, Г. Кирхгоф, Т.Карман, А.Ляв,
А.Фсппель, и др.
К числу первых публикаций отечественных авторов, рассматривающих теорию оболочек в геометрически нелинейной постановке, следует отнести книгу В.И. Феодосьева [157], где даны общие уравнения гибких оболочек вращения и рассмотрено их применение к расчёту гофрированных и хлопающих мембран, плоских круглых мембран. В 1948 г. Новожилов В.В рассмотрел гибкие пластины и оболочки, исходя из общих соотношений нелинейной теории упругости [115].
Обобщение собственных, а также работ других авторов в области геометрически нелинейной теории оболочек содержится в монографии A.C. Вольмира
[36]. Такой же характер имеет работа Х.М. Муштари и КЗ. Галимова [ПО], ставшая результатом исследований авторов в этой области. Следует также отметить книги К З. Галимова [40,41], Л.М. Зубова |70], А.П. Филина [158].
В [40,41] рассмотрены основные соотношения теории тонких оболочек при конечных перемещениях и деформациях. В [70] в деталях представлена кинематика конечных деформаций движущейся поверхности с помощью координат отсчётной и текущей конфигураций, уравнения даны в лагранжевой системе координат. В [158] уделено внимание нелинейной в геометрическом смысле теории пологих оболочек и осесимметрично деформированных оболочек вращения. При этом из общей нелинейной теории пологих оболочек получены, как частные случаи, различные варианты теории пластин.
20
К настоящему моменту издано большое число статей но этой тематике, как отечественных, так и зарубежных авторов.
Например, работа [138] представляет собой развитие аналитических методов сложных оболочечных конструкций. В статье [12] для тонких оболочек выводятся простейшие варианты геометрически нелинейных соотношений, связывающих деформации с перемещениями, функциями сдвигов и обжатия. Возможности учета геометрической нелинейности в задачах изгиба пластин сложного очертания посвящены статьи [107,108,135]. Нелинейная теория оболочек, описывающая большие перемещения, отражена в публикациях [86,181,187,196].
Кроме перечисленных работ следует отметить и другие, в которых так или иначе отражается проблема геометрической нелинейности пластин и оболочек [50,53,63,109,189,194,258].
1.1.2. Решение геометрически нелинейных задач методом конечных элементов
К настоящему моменту широкое распространение в рамках теории инженерных расчетов, как у нас в стране, так и за рубежом, получил метод конечных элементов (МКЭ). Большая востребованность, по сравнению с другими численными методами, объясняется его относительной простотой, универсальностью и эффективностью. Эти достоинства являются следствием того, что в основе МКЭ лежит физическая дискретизация исследуемой области сплошной среды, то есть исследуемая область разбивается на подобласти конечных размеров, называемые «конечными элементами», соединяемые в некоторых точках, принадлежащих одновременно всем смежным элементам, которые называют «узлами конечных элементов». Такой подход позволяет рассматривать каждый конечный элемент индивидуально с тем только условием, чтобы функции, описывающие его состояние, удовлетворяли заданным общим критериям сходимости. Это в свою очередь, ведет к возможности относительно легко учесть неоднородность напряженно-деформированного состояния рассматриваемой области, что вызывает определенные сложности, в некоторых случаях непреодолимые, для других методов [20,69,159]. Для реальной конструкции это значит, что при построении
21
расчетной схемы адекватно отражается неоднородность материала, наличие различных концентраторов напряжений, практически, любые условия закрепления и условия нагружения.
Таким образом, МКЭ позволяет осуществить построение расчетной схемы реальной конструкции, практически, неограниченной степени сложности последней, с учетом п^аничных условий любого типа, при этом конструкция, либо конструктивный элемент представляются в виде ансамбля конечных элементов.
С момента зарождения МКЭ (50-ые годы), его строгого математическою обоснования (60-ые годы) и дальнейшего развития, вышло большое количество работ но данной тематике. Это - монографии, в последствии ставшие бесцелле-рами для соответствующих специалистов [20,68,69,119,144,186,202 и др.]; огромное количества статей, содержащих в себе как решение узких проблем, так и более общих задач, в частности, в области геометрической нелинейности [203,213,226,233,236,270].
Еще одним достоинством МКЭ является простота его программирования, вследствие чего, к настоящему моменту' разработано большое число программ анализа инженерных констру кций на базе данного метода. За рубежом к числу таких программ причисляют ADINA, ANSYS, ACSAS, ASK.A, BERSAFE, MARS, NASTRAN, SAPV-1V, COSMOS/M и др. Среди отечественных разработок наиболее известны пакеты программ «Лира», SCAD, Stark, совместная российско-германская разработка MicroFE. Наряду с этим, специализированные конечно - элементные пакеты имеются практически в каждом ВУЗе, в каждом научно - исследовательском институте. Однако они не доведены до уровня коммерческих программ, обладающих свойством универсальности и удобством использования. Появление таких программ, подчас, связано с ограниченной способностью мощных программных комплексов типа ADINA, NASTRAN и т.д. решения задач, содержащих специфические черты, требующих анализа, выходящего за рамки стандартного подхода; отчасти, с тем, что при решении задач научно-исследовательского характера потенциал программ такого типа реализуется не полностью, так как решению подлежит узкая проблема.
22
Описание конечно-элементной модели. В приложении 2 были представлены основные соотношения теории упругости в рамках непрерывного подхода. Запишем данные соотношения с помощью МКЭ. Компоненты тензора деформаций Г рина (112.19) в этом случае будут описаны с помощью следующего выражения
ец =0.5(и?%,1+иГ^+и”и*Х,; Ч«М,Д где У,к =1,2,3; Ы,М =1,2,...,ЫС, Ыс- число узлов в элементе (все выражения будут записаны для одного конечного элемента), так как поле скоростей произвольного элемента имеет вид
где 4^- функция формы (в некоторых источниках её называют интерполяционной функцией [119]).
Уравнения равновесия для произвольного элемента легко получить на основе принципа возможных перемещений В этом случае, чтобы сделать узловые силы статически эквивалентными действующим напряжениям следует задать виртуальное (возможное) перемещение узлам элемента и приравнять внешнюю и внутреннюю работы, совершаемые различными силами и напряжениями на этом перемещении.
Пусть б икм - виртуальное перемещение в узле, тогда приращение деформации элемента можно записать в следующем виде
5е^=(¥ы,8* + ¥м,)Ч'м,1и!?)5ик> (11)
б{к - символ Кронекера, а б за скобкой обозначает вариацию (в данном случае к
- ой компоненты перемещения узла Ы, ик ). Работа внутренних сил, затраченная на дополнительную деформацию элемента, вызванную виртуальными пере-
5М
ик , равна
[а*иб£,,(1у0,
компоненты второго тензора напряжений Пиола - Кирхгоффа.
23
Суммарная работа, совершаемая узловыми силами, равна сумме произведений компонент каждой силы на соответствующее перемещение, то есть
Следовательно, принцип возможных перемещений может быть представлен следующим образом
или если подставить в полученное выражение соотношение (1.1), получаем
'Гак как это соотношение справедливо для любою виртуального перемещения, коэффициенты в правой и левой частях должны быть равны, что дает нам уравнения равновесия типичного конечного элемента
Уравнения (1.3) выписаны для исходных недеформированных координат точек тела, так как обычно заданным является первоначальное положение. Такая форма записи носит общий характер и справедлива для всех элементов, используемых при решении задач теории упругости, независимо от числа узлов в элементе.
В дальнейшем для удобства получения основных соотношений анализа чувствительности в терминах МКЭ будут использоваться мафичные обозначения.
Тогда выражение (1.3) принимает вид
{гт""ЙЕис1у0=Рь!к5и
N
к
Iо4*5,к +\|/м>.ум. < )с!у0 5ик=Р№ 5ик .
(1.2)
(Ч,м.,^1к+'Рм,|Ч'м,1 ик*)с*''о-Рык
(1.3)
{[В]^‘}с)у0={1Ц
(1.4)
'’о
где [В] - матрица, обуславливающая связь между приращениями перемещений и приращениями деформаций:
в тензорном виде данное выражение представлено в (1.1), {^и}- вектор, компоненты которого - приращения составляющих узловых перемещений.
24
В общем виде матрица [В] для объёмного элемента, рассматриваемого в
локальной системе координат (ниже все выражения будут получены ;щя конечного элемента, рассматриваемою относительно локальной системы координат), согласно методике, описанной в [68], выглядит следующим образом
[В]=[Ви]+[Вм.], (1.6)
где [Вг ]- матрица, определяющая бесконечно малые деформации и перемещения, компонентами которой являются производные функции формы по координатам точек тела до деформации
КЦКЬ [В, ]2 [В,1], (1.7)
где 1 - число узлов в конечном элементе ;
"эы, 0 0 ЭЫ1 0 Э^'
Эх Эх Эх
[Вь]Т,= 0 эт^ 0 ЭЫ1 эы, 0 ,
Эу Эх дх
0 0 эы, 0 эы, ЭЬ1,
дъ Эу Эх
(1.8)
остальные подматрицы получаются перестановкой индексов. Матрица [В№ ]-матрица, обусловленная большими угловыми и линейными перемещениями
[М=[А][0],
где [а] - матрица размерности 6x9
(1.9)
[А]=
кг 0 пг 0
0 КГ 0
0 0 КГ
0 {®лт КГ
{®лт 0 {®лт
.кг 0
(1.10)
{©лт =
Эи
Эх
Эу
Эх
д\\’
~Эх
И т. д.
(1.11)