Разработка научных методов расчета нестационарного взаимодействия тонкостенных элементов с жесткими односторонними связями и математических моделей волновых передач

-2-
ОГЛАВЛЕНИЕ стр.
Введение 5
Глава 1. Методы расчета упругих систем с односторонними связями
1.1. Сравнение методов статического расчета упругих систем
с нелинейными односторонними связями 37
1.1.1. Шаговый метод последовательных нагружений 39
1.1.2. Метод попыток 40
1.1.3. Метод продолжения решения по параметру 42
1.1.4. Мытоды, основанные на минимизации функционала энергии 44
1.1.4.1. Метод приведенного градиента 45
1.1.4.2. Метод проекционного градиента 46
1.1.4.3. Метод штрафа 47
1.1.4.4. Классические Лагранжевы методы 48
1.1.5. Статический расчет силового взаимодействия звеньев
волновой зубчатой передачи 49
1.2. О положительной определенности матриц упругих систем
с односторонними связями 52
1.3. Метод введения восстанавливающих сил 55
1.4. Поперечный удар шара по балке 65
1.4.1. Сравнение методов численного решения интегрального уравнения, описывающего поперечный
удар шара по балке 65
1.4.2. Динамический расчет взаимодействия шара и
балки при поперечном ударе 73
1.5. Динамический расчет линейных упругих систем с
упругими односторонними связями 79
1.5.1. Расчет систем с пеинерционными односторонними
связями 79
-3-
стр.
1.5.2. Расчет систем с инерционными односторонними
связями 92
1.6. Выводы 94
Глава 2. Изгнбные колебания балок с односторонними связями
2.1. Колебания тонких балок 96
2.1.1. Математическая модель колебаний 96
2.1.2. Определение собственных частот и форм
изгибных колебаний балки 102
2.1.3. Оценка достоверности результатов расчета 105
2.1.4. Численные и экспериментальные исследования 110
2.1.4.1. Свободные колебания 110
2.1.4.2. Вынужденные колебания 115
2.2. Влияние деформации поперечного сдвига и инерции вращения на колебания балок с односторонними связями большой жесткости 130
2.3. Колебания бапок с инерционными односторонними связями,
. выполненными в виде стержней с закругленными концами 140
2.4. Выводы 145 Глава 3. Изгибные колебания прямоугольных пластин с
односторонними связями
3.1. Колебания тонких пластин 146
3.1.1. Математическая модель колебаний 146
3.1.2. Определение собственных частот и форм колебаний тонкой прямоугольной пластины 147
3.1.2.1. Метод последовательных нагружений 148
3.1.2.2. Метод Ритца 150
3.2.2.3. Метод конечных элементов 154
3.2.2.4. Метод конечных разностей 154
3.1.3. Сравнение методов определения собственных форм и
-4-
стр.
частот прямоугольной пластины 163
3.1.4. Численные исследования сходимости получаемого решения 167
3.1.5. Расчет контактной системы 175
3.1.6. Вынужденные колебания пластин с односторонней
связью 179
3.1.7. Экспериментальные исследования колебаний
пластины с односторонней связью 180
3.2. Влияние деформацию сдвига и инерцию вращения на колебания пластины с односторонними связями большой жесткости 190
3.2.1. Математическая модель 190
3.2.2. Определение собственных частот и форм колебаний . 194
3.2.2.1. Метод последовательных нагружений 195
3.2.2.2. Метод Ригца 199
3.2.3. Численные исследования колебаний пластины типа
С.П. Тимошенко с односторонней связью 205
3.3. Заключение 210
3.4. Выводы 212 Глава 4. Практическое применение разработанных методов для
расчетов кинематической погрешности волновых зубчатых передач как упругих систем с односторонними связями
4.1. Кинематическая погрешность волновых зубчатых передач с
кулачковым генератором волн 214
4.1.1. Математическая модель 214
4.1.2. Собственная кинематическая погрешность ВЗП-80 235
4.1.3. Математическое исследование влияния неточности установки кулачка на кинематическую точность ВЗП-80 244
-5-
стр.
4.2. Кинематическая погрешность торцевой волновой зубчатой передачи с электромагнитным генератором волн 262
4.2.1. Уравнения движения элементов передачи 262
4.2.2. Зазоры в передаче 276
4.2.3. Методика решения разрешающей системы уравнений 281
4.2.4. Определение функций влияния для гибкого колеса 292
4.2.5. Определение собственных форм и частот гибкого
колеса 294
4.2.6. Исследование торцевой волновой зубчатой передачи
с электромагнитным генератором 298
4.3. Выводы 305
Выводы 307
Литература 310
Приложение. Программы на Фортране 329
Введение
Актуальность проблемы. Системы с односторонними связями широко применяются для решения разнообразных технических задач. К ним относятся, например, вантовые и другие строительные конструкции с односторонними связями, оболочки, односторонне взаимодействующие с упругой средой или упругим заполнителем, многослойные конструкции. В машиностроении рассматриваемые связи содержат элементы вибротехники — рабочие органы пневмоинструментов, виброгасителей колебаний и т.п. Односторонний характер взаимодействия деталей проявляется в зубчатых механизмах. Важность учета такого контакта зубчатых колес особенно проявляется в волновых зубчатых передачах. Одностороннее взаимодействие проявляется в контактных системах. Это различные электромагнитные и пьезоэлектрические реле, герметизированные магнитоуправляемые контакты, контакторы.
При проектировании миниатюрных контактных систем для обеспечения их надежности, долговечности, быстродействия необходимо изучить колебательные явления в подвижных односторонне взаимодействующих упругих элементах.
Математические модели систем с односторонними связями имеют переменную структуру и описываются соотношениями, которые содержат как равенства, так и неравенства. К системам с переменной структурой можно отнести: системы, между элементами которых наблюдается сухое трение; детали, подверженные упругопластической деформации; детали, в которых в процессе деформации развиваются трещины.
Реальные конструкции, как правило, сложные объекты. Особые трудности при расчете конструкций связаны с учетом взаимодействия ее элементов. Одним из самых распространенных подходов к решению таких задач является способ расчленения системы на составляющие части с последующим определением неизвестных сил их взаимодействия. Если
-7-
связи между элементами односторонние, этот способ решения, по-видимому, наиболее предпочтителен.
Путем расчленения механических систем могут быть получены решения для широкого класса задач нестационарных колебаний. Этот способ весьма эффективен при расчете балок, пластин и оболочек, контактирующих друг с другом и с односторонними связями.
Развитие машиностроения и ряда других областей техники требует решения задач в области изучения динамической прочности механических систем, подверженных интенсивным силовым воздействиям. 13 связи с широким применением в современной технике тонкостенных конструкций, сочетающих в себе высокую прочность и низкую металлоемкость, задачи контактного деформирования балок, пластин и оболочек являются актуальными. Актуальность данной задачи также связана с автоматизацией производства, которая требует использования надежных и эффективных методов расчета узлов и деталей различных машин.
Состояние вопроса. Первые исследования систем с односторонними связями были представлены еще Гауссом, Лагранжем, Фурье и Остро градски м. Эти исследования завершились формулировкой для этих задач принципа возможных перемещений и применением его для некоторых простейших задач.
Одним из первых расчеты конструкций с односторонними связями в общей постановке выполнил М. Геллер [184]. Он исследовал статически неопределимые системы, у которых некоторые лишние связи являлись односторонними. Геллер вполне правильно видел основную трудность расчета систем с односторонними связями в том, чтобы отыскать среди возможных систем действительную, отвечающую заданной нагрузке. Критерии правильности нахождения действительной системы, которые ввел Геллер, следующие: 1) усилия во всех односторонних связях, найденные из уравнений упругости, должны быть не отрицательными; 2) зазоры по направлению односторонних связей должны быть положительными.
-8-
Однако Геллер не решил основную проблему систем с односторонними связями - нахождение действительной системы. Указания Геллера сводятся к тому, что нужно путем подбора найти систему, которая удовлетворяет указанным выше двум условиям. Эта система и будет действительной.
Развитию методов статического расчета упругих систем с односторонними связями посвящены работы И.М. Рабиновича [142-145]. Рабинович указывает на два метода поиска действительных рабочих систем. Согласно первому методу поиск начинается с приближенного задания рабочей системы. Затем производится проверка усилий и зазоров в односторонних связях. Согласно ее результатам рабочая система корректируется, т.е. включаются или выключаются некоторые односторонние связи. Описанный процесс повторяется до тех пор, пока очередная проверка покажет, что зазоры во всех односторонних неработающих связях и усилия во всех работающих связях будут неотрицательными.
Описанный метод можно назвать методом последовательных попыток. Поскольку в указанном методе поиск действительной рабочей системы не носит целенаправленного характера, то рост числа односторонних связей в системе приводит к резкому возрастанию количества вариантов «ложных» рабочих систем необходимых для пересчета, что значительно увеличивает время расчета. В [142] показано, что число таких вариантов для системы, в состав которой входит Ь односторонних связей, будет равно 2Ь. Следует отметить также, что описанный метод может не сходится. При численной реализации этого метода есть возможность зацикливания расчета.
Идея второго метода предложенного И. М. Рабиновичем, состоит в том, чтобы рабочую систему, найденную для какой-либо нагрузки О, использовать для определения рабочей системы, отвечающей нагрузке Р. При этой методике разыскиваются последовательно сменяющие одна другую действительные рабочие системы для суммарной нагрузки Р = (1 - у)0 + уР в процессе постепенного возрастания множителя гот нуля
-9-
до единицы. Увеличение коэффициента v производится по шагам. Каждый шаг заканчивается сменой рабочей системы, т.е. включением в работу или выключением из работы одной или нескольких односторонних связей. Поэтому этот метод можно назвать шаговым методом последовательных нагружений. И.М. Рабинович рассматривает этот метод на примере шарнирно опертой балки с тремя односторонними связями. К недостатку метода относится тот факт, что приходится перебирать все промежуточные рабочие системы, не пропуская ни одной, которые образуются в процессе увеличения коэффициента v от нуля до единицы. Это обстоятельство может приводить к значительному увеличению машинного времени, в случае большого числа односторонних связей.
Новый этап в развитии теории расчета статически неопределимых систем с односторонними связями начался со времени использования методов математического программирования.
В работах [45,133] A.B. Перельмутер и В.Н. Гордеев рассматривают задачу расчета упругой системы с односторонними связями как задачу квадратичного программирования. Вводится функционал потенциальной энергии вида
y(R) = ^RTCR + (pw;T + &„T)R> (1)
|_»T*
где R - вектор-столбец реакций в односторонних связях (R — вектор-строка реакций);С - матрица податливости упругой системы, освобожденной от односторонних связей; уч р - вектор перемещений свободной упругой системы по направлениям односторонних связей от воздействия внешней нагрузки с единичной интенсивностью; р'- интенсивность внешней нагрузки; А0- вектор зазоров между односторонними связями и упругой недеформированной системой.
Действительная система удовлетворяет минимуму функционала (1) при ограничениях вида
- 10-
Rj> 0 , j = 1,...,L , (2)
где L - число односторонних связей.
Таким образом, задача расчета упругой системы сводится к задаче квадратичного программирования вида
min{j(R),R>0}. (3)
Применив условия Куна-Таккера [73] для задачи (3), Перельмутер приходит к следующей системе равенств и неравенств:
А = CR + p*w* + А,;
А,>0, / = 1,
Я'Ъ 0, / = 1,...Д; (4)
ЛД=0, / = 1,...Д.
Перельмутер в [133] предлагает решать систему (4) методом последовательных нагружений. Суть этого метода заключается в следующем. Пусть состояние системы полностью определено при р = 0, тогда состояние системы при р-р* предлагается получать путем последовательного увеличения р от нуля до р\ Таким образом, система (4) заменяется задачей вида
mini/7 = —р,р' - р > о}
А = CR + pwep + А0;
А, >0, / = 1,..., L; (5)
R,> 0, / =
ЛД=0, / = 1,...,L.
Для решения (5) в [133] предлагается использовать алгоритм Бульфа [115], решающий задачу квадратичною программирования.
Метод, предложенный Персльмутером в [133], имеет тот же недостаток, что и метод Рабиновича. Для того чтобы получить рабочую систему
-11 -
при р = р\ необходимо перебрать все рабочие системы в процессе увеличения р от нуля до р\
Алфутовым H.A. и Клениковым С.С. [7] разработан шаговый метод расчета упругих систем с односторонними связями, где вся «история нагружения» системы представляется последовательной совокупностью отдельных этапов ее нагружения. При этом в качестве основных неизвестных задачи на каждом этапе нагружения системы принимаются не сами силы и зазоры между линейно-упругой системы и односторонними связями, а их приращения. Для определения границ смены этапов нагружения авторами разработана процедура линейного нормирования этапных решений.
Разработке алгоритмов статического расчета упругих систем с односторонними связями при действии возрастающей нагрузки посвящены работы [9,140,170,169]. В [9] А.Х. Астрахан для нахождения действительной рабочей системы на каждом шаге нагружения решает задачу квадратичного программирования методом сопряженных градиентов [24]. В работе [140] Л.П. Портаев рассматривает поставленную задачу как задачу линейного программирования.
В работах [112,113] Э.Н. Кузнецов положил в основу исследования свойств систем, содержащих односторонние связи, систему неравенств, которая выражает условия двухсторонних связей и ограничивающие условия, налагаемые на односторонние связи. Совокупность этих равенств и неравенств дает полную информацию о статико-кинематических свойствах системы.
Практическое применение и развитие методов расчета упругих систем с односторонними связями получило в работах [77,83-96,1,117, 118,151,165,168]. В этих работах рассматриваются задачи статического расчета силового взаимодействия элементов волновых передач. Для определения контактных усилий между элементами передачи использо-
- 12-
вались итерационный [77,86,87,165,168] и шаговый методы [1,7,83,84,88-91,94-96,117,118,152].
Отличительной особенностью задач, рассматриваемых в работах [1,90,91], является большое количество односторонних связей. Так, при расчете сдвоенной волновой передачи [1,90] число односторонних связей достигает 500. В связи с этим разработанные алгоритмы предусматривали возможность автоматизации уточнения действительной рабочей системы.
На рис. 1 представлен алгоритм, используемый в работах [1,90], который определяет действительную рабочую систему, вектора сил И и зазоров А между упругой системой нафуженной внешними силами и односторонними связями.
Главным недостатком шаговых методов последовательных нафужений является гот факт, что решение задачи начинается с известного начального положения (положения, при котором известны силы и зазоры между упругой системой и односторонними связями). Таким состоянием, как правило, является положение, в котором реакции в односторонних связях равны нулю. Поэтому в случае расчета подобных систем при фиксированном параметре нагрузки р необходимо построить весь спектр решений от р=0 до р=р*'. В задачах с большим числом односторонних связей это приводит к значительному увеличению числа этапов решения, и следовательно, к большим затратам машинного времени. В значительной степени этот недостаток проявляется в том случае, когда необходимо производить множество расчетов, в которых зоны контакта между упругой системой и односторонними связями меняются незначительно. Такие расчеты производятся, например, при оптимизации конструкции. В этом случае выгодно применять итерационные методы поиска рабочей системы, т.к. они начинаются с приближенного задания предварительной зоны контакта, которая потом уточняется по определенному алгоритму. Однако недостатком итерационных методов является возможность зацикливания при расчете.
- 13-
Рис. 1. Блок-схема расчета упругой системы с односторонними связями
- 14-
В связи со сказанным существует необходимость создания метода расчета упругих систем с односторонними связями, который начинается с задания приближенной зоны контакта и обладает строго доказанной сходимостью, т.е. обеспечивает отсутствие зацикливания при расчетах, если разрешающая матрица податливости (упругости) определена с достаточной точностью (точность расчета матрицы податливости должна обеспечивать ее положительную определенность).
Следует отметить, что применение стандартных методов нелинейного программирования в задачах с односторонними связями может привести к большим затратам машинного времени. Поэтому при разработке методов расчета таких задач желательно использовать частные свойства минимизируемых функционалов и односторонних ограничений.
Особое место в теории расчета систем с односторонними связями занимают задачи, в которых односторонние связи непрерывно распределены по линии или по поверхности. Это задачи о расчете сооружений, опирающихся на односторонние основания, многослойных оболочек и т.д. К такому классу задач относится расчет упругопластических сред и другие задачи, в которых присутствует односторонний контакт сплошных сред.
Широкое распространение при решении задач теории упругости с односторонними краевыми условиями получили вариационные методы [191,185,41]. Эти методы основаны на сведении исходной задачи к эллиптическим вариационным неравенствам или к задаче минимизации некоторого функционала, отвечающим некоторым выпуклым односторонним ограничениям. Этими методами решаются многие задачи пластичности [188,141].
К. Байокки и А. Капело в [20] рассматривают следующие три задачи.
Задача 1
Ыайти м0 > 0, такое, что
А(“с)~Р^° и (АМ~Р>ио) = °-
Задача 2 Найти и0е К, такое, что Г(и0) < /’(у), для Уу є К,
где /г(у) = і(д(и),у)-{Лр)
Задача З Найти и0 є К , такое, что (Л(н0),м0-у)£(р,н0-у), для Уу<=К.
При формулировке задач 1-3 введены следующие обозначения: А:Н—*Н' линейный непрерывный оператор, где Н’ - пространство, сопряженное к гильбертову пространству//; К с И - непустое замкнутое выпуклое множество; (л(и),у) = |м(х)-К*)^ - скалярное произведение двух
й
функций, где О - область в п-мерном евклидовом пространстве К".
Сведение задач с односторонними ограничениями (задача 1) к вариационным неравенствам основано на следующем утверждении, доказанном в [20].
Утверждение
Пусть оператор^ положительный и симметричный,К - множество неотрицательных элементов, тогда задачи 1-3 эквивалентны и имеют единственное решение.
Сущность вариационных методов рассмотрим на примере изгиба балки под действием распределенной нагрузки р(х). Па некотором расстоянии а от балки находится жесткое препятствие. При достаточно большой нагрузке р{х) будет существовать область контакта балки с препятствием. Для случая жестко заделанной по краям балки такая задача записывается в следующем виде:
-16-
г/(х) >а, 0 < х < /,
где О — изгибная жесткость балки; / — длина балки.
/ ч
Поскольку оператор А\р)= и-т- симметричный и положительный,
ах
то задача (7) эквивалентна задачами 5-6.
Задача 5 Найти и > 0, такое, что
Г ,4~/ \ \
с/х = 0, где и — и-а.
пС/*и(х) ( ^ !г(с/4и(х)-
О-у-р{х)>0и \ —уи
с/х
Задача 6 І Іайти и0 є К, такое, что
FM<F{V), для Уу є К, где /-'(у) = і £>|-1 р(х)ч{х)<Ьс,
2 о ^
V У
/С- множество достаточно гладких функций таких, что К = |у/у(л:)>д,0<х</,у(х) = ^ = 0,л- = 0,/| .
С помощью интефирования по частям функционал ^(у), используемый в задачи 6, преобразуется к виду
1 'г
ґс/\^
.р(у) = -£>| — с!х-\р(х)\(х)<1х.
2 о \ “X у
Существует несколько подходов к решению задачи 6. Первый подход основан на непосредственном применении методов бесконечномерной оптимизации [124]. Для примера опишем решение задачи 6 методом штрафа [116,149], приведенным в работах [32,33]. Метод основан на замене исходного функционала функционалом вида
^ о
где коэффициент штрафа взят в виде
- 17-
Решенис поставленной задачи, которое обозначается м,.(х), дает приближенное решение исходной задачи. Уравнение Эйлера, соответствующее задаче минимизации функционала тДу), имеет вид
Уравнение (8) описывает изгиб балки в условиях, когда на расстоянии а от нее находится упругая среда с коэффициентом упру-
препятствию.
Для решения нелинейной краевой задачи (8) использовался итерационный процесс вида
Аналогичный подход используется в работах [97,98,189] для решения задачи о контакте упругой пластины с препятствием. В работе [97] доказывается сходимость предложенных итерационных методов решения вариационного неравенства с использованием оператора штрафа.
Второй подход к решению вариационных задач заключается в замене бесконечномерных функционалов конечномерными функционалами с дальнейшим применением методов конечномерной оптимизации. Так, например, задача 2 заменяется задачей 7.
(8)
_2
гости, пропорциональным 8 . Случай е —> 0 соответствует жесткому
(9)
и
Задача 7 Найти иь е КИ, такое, что
для ^ е К„,
- 18-
гдс ил,уа - сеточные функции; Рл(ил\Кк - сеточные аналоги функционала р(и) и выпуклого множества К с параметром дискретизации (например, шагом сетки) А.
В зависимости от природы изучаемой задачи этот подход может принимать различные формы: методы конечных разностей, методы конечных элементов, методы Ритца-Гаперкина.
Следует сказать, что непосредственное применение для решения задач 1-3 методов нелинейного программирования может привести к неоправданно завышенным затратам машинного времени. Поэтому иногда приходится разрабатывать методы, учитывающие частные свойства функционала
Третий подход к решению задач с односторонними ограничениями заключается в представлении решения в виде интегрального уравнения. 'Гак, например, решение задачи (7) представляется в виде
м(х)= ^я{хуз{х,хрх + ир{х), (Ю)
О
где иДх) — функция перемещений свободной балки от внешней нагрузки
р(х); Я(х) - функция реакций от одностороннего ограничения; о(х,х) -функция Грина.
Интегральное уравнение (10) должно удовлетворять условию
и(х)>а, 0 < х < I. (11)
В некоторых простейших задачах [53] можно найти точное аналитическое решение задачи (10) - (11). В большинстве же задач решение интегрального уравнения (10) с ограничением (11) ведется численными методами. Опишем один из них.
Функция реакции /?(х) представляется в виде ряда
л(*)=2г.5(*»*Д о2)
1=1
- 19-
где 5(д:,л:у ) - функция Дирака, х} =---/ (в точках с координатами х=0 и
' 1 + 1
х=а реакция основания принималась равной нулю). Записав уравнение (10) для точек с координатами задача (10) - (11) сводится к системе неравенств вида
Неравенства (13) аналогичны неравенствам (5) , которые записаны для системы с односторонними связями. Таким образом, задачи деформирования упругих систем, 01раниченных жесткой преградой и односторонними связями, описываются одинаковыми по структуре неравенствами.
Описанный метод был применен в работах [1,90,91] при расчетах упругого взаимодействия элементов волновой передачи. К недостаткам описанного метода можно отнести необходимость вычисления функций Грина 0(Х',х;) для узловых точек сетки, покрывающей возможную
область контакта взаимодействующих тел. Это обстоятельство может привести к значительным затратам машинного времени. Однако следует заметить, что для различных методов вычисления функций Грина (метод конечных разностей, методы Ритца-Галеркина, метод конечных элементов и т.п.) можно найти способы экономии машинного времени. Так, например, большинство методов определения функций Грина сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений вида
Д, >0,/' = 1,..Х, г, й 0,/ = 1, ..2,
А/, = 0,1 =
(13)
АС'=5' , У =
(14)
где 8' - дельта Кронекксра.
-20-
Поскольку в процессе вычислений векторов С' матрица А не меняется, то ее приведение к треугольному виду осуществляется один раз, что значительно сокращает затраты машинного времени.
Начало динамического расчета систем с односторонними связями было положено М.В. Остроградским. Он впервые получил уравнения движения систем с односторонними ограничениями [130], которые сейчас в аналитической механике называются системами с неудерживающими связями. М.В. Остроградский указал алгоритм отбора тех связей, которые должны быть приняты во внимание в данный момент времени при интегрировании уравнений движения. Алгоритм М.В. Остроградского основан на слежении за знаками множителей Лагранжа - как только лагранжев множитель в процессе движения меняет знак, то соответствующая связь должна быть отброшена. Поскольку лагранжев множитель является реакцией связи, то условием схода со связи является смена знака реакции в односторонней связи.
Вопросам движения твердых тел с односторонними связями посвящены работы [63,158,74,57-59].
Строгое определение движения системы с односторонней связью дано Дерябиным М.В. в работе [59]. Пусть дана натуральная механическая
система с конфигурированным пространством Лп =х, на которую наложена голономная идеальная односторонняя связь /(*)£ 0. Под движением
с односторонней связью понимают отображение х: [0, Т) —> /Г, которое удовлетворяет уравнениям
где Т - кинетические энергия системы, Л — неотрицательный множитель.
(15)
й (дТ\ дт „
— —--------------= I7
/(х) > о
(16)
с// V дх 7 дх
-21 -
В работе [74] Л.П. Иванов указывает типы движения систем с односторонними связями. Основные из них следующие: перелеты; ’’скользящий” режим; сход со связи; удар; касание ограничения.
Перелеты характерны тем, что существует зазор между системой и односторонней связью (Л>0), т.е. связь не нагружена (11=0). При перелетах наличие односторонней связи никак не сказывается на движении системы.
Скользящий режим движения соответствует нагруженному состоянию односторонней связи (К > 0;Д = 0). Ыа этом режиме в уравнения движения необходимо добавить реакцию односторонней связи.
Сход со связи характеризуется уменьшением реакции в односторонней связи до нуля (# = 0?Д = 0) с дальнейшим увеличением зазора между системой и связью. Уменьшение реакции до нуля может происходить плавно и скачком.
Классические условия схода со связи даны в работе [59]. Система с односторонней связью движется по связи, если в процессе движения выполняется условие /(*)= 0. Система сходит со связи в момент времени т, если до этого момента времени система двигалась по связи и для любого достаточно малого £>0 найдется такой момент /се(т,т + е], что /(*(*«))>0. Данное определение схода со связи не представляет
конструктивного условия схода со связи.
Фаза удара характеризуется переходом от фазы полета к фазе «скользящего» режима. В начальный момент удара зазор между системой и связью и реакция связи равны нулю. Условия удара в момент времени
/ = следующие:
(17)
-22-
В этом случае, для того чтобы определить движение системы при / >/’ необходимо использовать дополнительные уравнения, описывающие природу удара.
Литература, посвященная соударению твердых тел, весьма обширная. Имеются несколько широко известных монографий непосредственно по теории соударения твердых тел [3,5,6,23,29,51,52,60,80,81,131,146].
Первым определить то, как протекает соударение шаров во времени, т.е. найти силу соударения как функцию времени, удалось Г. Герцу [25,60,187]. Его решение основано на квазистатической теории соударения упругих тел, согласно которой соударение считается продолжающимся сколь угодно долго по отношению к периоду первой основной формы колебаний каждого из соударяющихся тел.
Теория Г. Герца относится не только к соударению шаров, но и к случаю прямого центрального удара двух тел, ограниченных в окрестности точки контакта поверхностями второго порядка.
Учет и местной деформации и возникающих при ударе волн для случая продольного соударения стержней со сферическими концами впервые выполнены Дж. Сирсом [194].
Идея Сирса совместного учета местных деформаций и упругих колебаний в соударяющихся телах получила широкое распространение. Применительно к поперечному удару шара по балке она была использована С.П. Тимошенко [156]. Местные деформации С.П. Тимошенко определяет по квазистатической теории Герца, т.е.
а = КиЯ>, где (18)
К — сила соударения, К„ - некоторая постоянная, СС— местная деформация при ударе.
Обобщая теорию С.П. Тимошенко на случай одномерной или двумерной упругих систем, В.Л. Бидерман записывает разрешающие урав-
-23-
нение движения относительно силы соударения. Разработке численных методов решения этого уравнения посвящены работы [11,12,26,128,147, 154,159,192,193,44]. Актуальным этот вопрос остается и сегодня.
Вопросам аналитического решения задач об ударе шара по балке и пластине посвящены работы С.А. Зегжды [64-70 ].
Ударному взаимодействию объекта с одномерной средой посвящены работы [119,120]. Используя вариационный принцип Гамильтона, в [119] получены условия контакта упругой среды и сосредоточенного объекта, соотношения справедливые в момент начала и конца контакта. На основании полученных соотношений рассмотрены аналитические решения следующих задач: центральный удар материальной точки по ограниченной покоящейся струне; косой удар материальной точки по бесконечной струне на упругом основании.
Движению твердых тел по шероховатой вибрирующей поверхности посвящена работа Блехмана И.И. и Джанилидзе Г.Ю [31]. В этой работе рассматривается движение частиц но гармонически колеблющейся плоскости без учета и с учетом отрыва частицы.
Ударному взаимодействию твердого тела с ограничителем, которое сопровождается повторными затухающими соударениями посвящена работа Нагаева Р.Ф. [126].
Вынужденным колебаниям упругих тел с одной или несколькими ограничителями посвящена работа [10] Бабицкого В.И. и Крупенина В.Л. В работе рассматриваются приближенные и точные аналитические методы, основанные на методе гармонической линеаризации [34] и на припасовывании решений [131]. Трудоемкость отыскания решений точными методами ограничивает возможность их применения для анализа сложных систем большой размерности. Такие системы исследуются приближенными методами.
Точная постановка задачи об ударе упругих тел рассматривается в работах [105-110,181,182]. В этих работах данная задача рассматривается
-24-
как смешанная задача динамической теории упругости, которая решается численными методами. Подходы, описанные в этих работах, учитывают переменность площадки контакта в процессе соударения, возможность пластических деформаций в зоне контакта. При переменной площадке контакта на начальном этапе удара скорость расширения области контакта выше скорости продольной волны в упругом теле. В работах
А.Г. Горшкова и Д.В. Тарлаковского [48-50] эти особенности учитываются при ударе затупленным твердым телом о поверхность упругого полупространства.
Следует отмстить следующее. При ударе шара по балке, пластине, оболочке время начального этапа взаимодействия (этапа на котором скорость расширения области контакта выше скорости продольной волны в упругом теле) на несколько порядков меньше, чем время удара [70]. Однако его учет значительно затрудняет расчеты.
Расчету динамических задач, относящихся к проблеме односторонних связей в деформированных механических системах, посвящены работы [ 13-16,55,56,103,104,171 -179,72,111,122,180].
В работах [13-16,55,56] рассмотрены вопросы вынужденных периодических колебаний стержневых, пластинчатых и оболочечных элементов конструкций с односторонними связями и упругим основанием.
При расчете упругих тонкостенных элементов в этих работах используются уравнения движения, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява. Дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее движение упругого тела методом Бубнова-Галеркина сводилось к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В работах [13-16,55,56] рассматривались колебания упругих тел с простейшими граничными условиями, соответствующими шарнирному опиранию. Такие граничные условия позволяют решение представлять в виде тригонометрического ряда
-25-
А*,у>‘)=±±и<)^—х\^у\ (19)
И*1 Л = 1 \ О _/ \ и )
где а,Ъ- размеры в плане.
Для учета влияния односторонних связей в дифференциальное уравнение вводилось слагаемое
^ б(х, у, X, у)к, (1 - 5/^и(и>(х, У,г)-А0 ))|>у(х, у, /) - Л01, (20)
іде х,у — координаты срединной поверхности упругого тонкостенного тела; и>(л:}у,() — функция прогибов; х,у- координата односторонней связи; кы — коэффициент жесткости односторонней связи; Л() - зазор между связью и недеформированной пластиной; б(х,у,;с,у) - функция Дирака.
Физический смысл слагаемого (20) - сосредоточенная реакция односторонней связи, которая является линейной неинерционной пружиной.
Решение системы нелинейных уравнений относительно коэффициентов Атп(/) базируется на совместном использовании алгоритма продолжения решения по параметру и метода Ныотона-Канторовича. Согласно этому подходу параметр нагружения системы р последовательно увеличивался с шагом Ар. При этом разрешающая система дифференциальных уравнений записывается относительно приращений коэффициентов разложения в тригонометрический ряд ДАтп({). Решение системы дифференциальных уравнений ведется методом конечных разностей. Значения коэффициентов разложения, соответствующих интенсивности нагружения рк*' = рк + Арк, находятся по формуле
л‘:'«=лі(0+м:,(')- (2і)
При каждом вновь найденном значении интенсивности рЫ] анализируется функция прогибов упругой системы и устанавливаются моменты включения в работу и выключения из работы односторонних связей. За начальное состояние принимается положение упругой системы с нулевым
-26-
значением амплитуды р внешнего воздействия, что соответствует и{лг^,/0) = 0.
Отметим следующие недостатки метода, предложенного в [16 ]:
1) Точность полученного решения зависит от двух параметров дискретизации: шага последовательного нагружения Ар и шага по времени Дг, который использовался при решении системы дифференциальных уравнений методом конечных разностей.
2) На каждом шаге нагружения необходимо производить суммирования рядов (19) для анализа зазоров. Общее количество этих суммирований в процессе решения задачи определяется формулой
К = КРК„Ь, (22)
где Ь — число односторонних связей; Кр— количество шагов нагружения; — количество интервалов, на которые разбивается период движения.
3) Методика описана на примере расчета пластин и оболочек с простейшими граничными условиями, позволяющими представлять решение в виде ряда (19).
Необходимость получения более точного решения приводит к уменьшению шагов Ар и A^, что в свою очередь может значительно увеличить число суммирований по формуле (19). Это обстоятельство может затруднить расчет по предложенной в работе [16] методике в связи с большими затратами машинного времени.
При заданной точности решения задачи количество суммирований К
в первую очередь зависит от коэффициента к = шах
где к' -
жесткость односторонней связи с номером I; к‘у - жесткость упругой
системы под связью с номером і. В работах Баженова В.А. и др. [16,55,56] рассматриваются системы, в которых коэффициент к меняется в пределах от 0,1 до 3. Если же жесткость односторонних связей на несколько
-27-
порядков выше жесткости упругой системы (к = 102 -105), то расчет по методике, предложенной Баженовым В.Л., затруднен из-за больших затрат машинного времени и большой размерности разрешающей системы линейных уравнений, которая зависит от шага А/ .
Значительное увеличение времени расчета с ростом коэффициента к также связано с необходимостью учета большого числа членов ряда (19).
В работе Кохманюка С.С. и др. [103] рассматривается решение задач контактного деформирования двух балок конечной длины, подверженных импульсным нагрузкам. Рассмотрена балка, лежащая на однородном упругом основании. Изложено решение задачи о неустаноиившихся колебаниях прямоугольных пластин на упругом одностороннем основании. Исследовано контактное деформирование системы двух цилиндрических оболочек, вложенных одна в другую, при осесимметричном нагружении. В основе метода решения этих задач -определение контактных давлений между элементами системы. Метод решения перечисленных задач состоит в сведении дифференциальных уравнений движения упругих тел к системе интегральных уравнений относительно коэффициентов разложения в тригонометрический ряд функции перемещений упругого тела.
Одним из допущений, принятых в технической теории колебаний упругих тонкостенных элементов, является предпосылка о бесконечно больших скоростях распространения волн деформации в материалах от места приложения источника динамического возмущения. В то же время известно, что эти скорости конечны.
Влияние конечности скорости волновых процессов в материале на напряженно-деформированное состояние упругих элементов позволяет учесть теория С.11. Тимошенко [156]. Дифференциальные уравнения колебаний балочных систем при этом содержат члены, учитывающие инерцию вращения и искажение поперечных сечений. Подобные уравнения для пластин и оболочек можно найти в работах [54,148]. Решению уравнений
-28-
колебаний балок, пластин и оболочек, учитывающих инерцию вращения сечений и искажение поперечных сечений, посвящены работы [18,19,27, 28,8,46,47] и др.
При импульсных нагрузках расчет с использованием приближенной теории Кирхгофа-Лява может давать большую погрешность. В связи с этим в работе [103] используются уточненные уравнения движения упругих элементов, которые называются уравнениями типа С.П. Тимошенко. Искомые функции разлагаются в тригонометрические ряды Фурье, которые удовлетворяют условиям шарнирного опирания. Реакция между взаимодействующими балками представляется в виде ступенчатой функции координаты д:
*М = 2Х(')И*, -4 . (23)
рв\
где хр = рАх.
Входящие в выражение (23) неизвестные функции Яр(() представляются также в виде ступенчатых функций
2ХИ/, -0- н(к,-4. (24)
V"!
где = уДг, Яру - неизвестные постоянные величины.
Представление реакции односторонней связи в виде рядов (23) и (24) позволяет на каждом шаге по времени разрешающую систему интегральных уравнений заменить системами алгебраических линейных уравнений относительно коэффициентов Полученные системы отражают
совпадение нормальных перемещений взаимодействующих балок в ряде точек, расположенных равномерно вдоль длины в различные моменты времени. Из этих систем последовательно, с использованием итерационного уточнения, для значений у = 1,2,...,/и находятся коэффициенты разложения Кру.
-29-
Итерационное уточнение производилось для каждого момента времени следующим образом. Полученные из решения системы линейных уравнений величины Я^ являются первым приближением. На второй итерации отрицательные значения Кгл, приравниваются нулю. На участках, где на предыдущем приближении были нулевые значения/^, проверялись
зазоры между взаимодействующими балками. Если на некоторых участках были отрицательные зазоры, то на них вводились контактные реакции. После этого переформировывалась система алгебраических уравнений и пересчитывались коэффициенты Я^. Третье приближение проводилось
аналогично второму и т.д. Если величины контактных давлений Ярх. на всех участках, отвечающие двум последним приближениям, совпадают, итерационный процесс считается законченным. С помощью описанного итерационного процесса определяются в момент времени /у = уДг реакции и зазоры между балками.
Следует отметить, что итерационный процесс, предложенный в [103], может не сходиться. При численной реализации такого процесса есть возможность зацикливания программы.
В работах Янютина Е.Г. и Ермоленко Л.В. [175,178] рассматривается нестационарное деформирование балки и цилиндрической оболочки на неинерционном упругом одностороннем основании. Распределенная нагрузка г(х,/)со стороны основания описывается функцией
К*>0=тс(хМ*>Д1 + 5'£"М) > (25)
где с(д:) - функция, описывающая изменение жесткости основания вдоль длины балки.
Предлагается два способа решения. Первый способ аналогичен методу, описанному в [103]. Второй способ основан на применении аппарата конечных разностей для решения нелинейной системы дифференциальных уравнений.
-30-
Хотя в работах не дается сравнительной оценки двух методов, следует отметить, что первый способ эффективнее. Это объясняется тем, что во втором способе на каждом временном слое приходится решать конечно-разностную задачу.
В работах [175,178] рассматриваются колебания шарнирно опертой балки на инерционном основании. Расчет этой задачи основан на совместном решение дифференциальных уравнений описывающих колебания балки типа С.П. Тимошенко и уравнений, моделирующих деформирование инерционного основания [150]. Методика решения этих уравнений аналогична методу, описанному в [103].
Методом конечных разностей в [72] решается осесимметричная задача колебаний круговой плиты, лежащей на жестких концентрических опорах, которые расположены по внутреннему и внешнему контуру.
В работе [111] рассматривается задача динамического поведения многослойных оболочек с учетом особенностей контакта слоев. В основу решения положен стандартный метод характеристик [111], который базируется на замене дифференциальных соотношений конечноразностными уравнениями. В уравнениях учитывается местное сближение слоев в точках их контакта, связанное с шероховатостью материала. Эго сближение описывается функцией вида X = а5, где а - коэффициент пропорциональности; 5 - сближение слоев.
В работе Ковтуненко В.А. [99] рассматривается динамическая задача внедрения жесткого штампа в упругопластическую балку, шарнирно закрепленную по краям. Для описания поведения материала балки используется модель пластического течения. Решение поставленной задачи ведется итерационными методами, основанными на методе штрафа [116,42]. Итерационные схемы используют приближенную замену производных конечными разностями. Решение разрешающей системы дифференциальных уравнений каждого временного слоя ведется методом конечных разностей.
-31 -
В приведенных выше работах не анализируется зависимость точности решения от числа удерживаемых в решении гармоник и шагов дискретизации но времени и по пространственной координате.
В современной литературе описано много методов статического расчета упругих систем с односторонними связями. Однако нигде нет сравнительной оценки эффективности методов. Практически любую корректно поставленную задачу математической физики можно решить численными методами, если не учитывать фактор времени. Поэтому наиболее актуальной остается проблема эффективности методов, т.с. разработка численных схем с высоким быстродействием.
Наиболее эффективными методами динамического расчета упругих систем с односторонними связями, как представляется автору, являются методы, изложенные в работах Кохманюка С.С., Янютина Е.Г., Баженова В.А., Гуляева В.И. [103,104,174-178]. Однако разрешающая система интегральных уравнений в этих работах получается относительно коэффициентов разложения в тригонометрический ряд функции перемещений упругой системы. Такой метод приводит к необходимости на каждом временном шаге решения выполнять суммирование гармоник решения для получения функции перемещений упругой системы. Это обстоятельство ввиду значительного увеличения времени расчета, затрудняет решение задач, в которых жесткость односторонних связей на несколько порядков выше жесткости упругой системы, т.к. в этом случае:
1) значительно уменьшается шаг решения по времени Л/, что приводит к резкому увеличению количества суммирований гармоник решения, необходимых для получения функции перемещений упругой системы;
2) необходимо суммировать большое число гармоник для получения решения с достаточной точностью.
Методы, предложенные в работах [103,104,174-178], реализованы на примерах, в которых упругие элементы (балки, пластины, оболочки)
-32-
шарнирно оперты. Математические модели не учитывают внешнее трение и внутреннее трение в упругих элементах. В этих работах не исследуется сходимость решения.
Упругой системой с большим числом односторонних связей является волновая зубчатая передача. Статическому расчету сил взаимодействия звеньев волновой передачи, как упругой системы с односторонними связями посвящены работы Ковалева H.A., Клепикова С.С., Цейтлина Н.И. и др. Однако для расчета кинематической точности волновых передач методики, предложенные в этих работах, не применялись. Это связано с необходимость усложнения расчетной схемы.
Исследованию кинематической точности волновых зубчатых передач посвящены работы Е.Г. Гинзбурга, И.И. Васильевой, П.К. Попова, И.Л. Смирновой, Г.А. Тимофеева, А.Ф. Фирсанова, Ф.И. Фурсяка, Л.С, Черновой, Л.О. Штриплинга и др.
Влияние многопарности и многозонности зацепления на кинематическую погрешность рассматривалась в работах [37,61,75,121, 136,137,138,160,162,163,164]. Несмотря на противоречивость количественных оценок, во всех работах отмечается, что многопарность зацепления ведет к значительному повышению кинематической точности волновых передач. Степень точности волновой передачи на 2, 3 степени выше точности составляющих передачу колес.
Одним из важных достоинств волновых зубчатых передач, так же как и передач с зацеплением Новикова М. Л. [127], является малая чувствительность передачи к монтажным погрешностям.
Анализу влияния точности изготовления зубчатых колес и основных деталей на кинематическую погрешность волновых передач посвящены работы [40,61,62,79,93,121,136,155,160,161, 162,163,164, 166,167]. В этих работах показано, что основное влияние на кинематическую точность оказывают погрешности генератора волн и деталей, поддерживающих зубчатые колеса. Волновая передача становится чувствительной к
-33-
точности изготовления зубчатых колес лишь при высокой точности других деталей передачи. Так в работе [79] отмечается, что:
1) повышение точности изготовления зубчатых колес с 9-й по 6-ю при 7-й степени точности прочих основных деталей не приводит к заметному уменьшению кинематической погрешности волновой зубчатой передачи;
2) повышение точности изготовления зубчатых колес с 9-й по 6-ю при 4-й степени точности прочих основных деталей снизило кинематическую погрешность волновой зубчатой передачи в 2 раза.
Таким образом, основными факторами, влияющими на кинематическую точность волновых зубчатых передач являются: многогтрность и многозонность зацепления; тип генератора волн; точность изготовления основных деталей передачи и зубчатых колес.
Однако, в виду сложности расчетной схемы, при определении кинематической точности волновых передач многопарность и многозонность зацепления в перечисленных выше работах учитывается приближенно, без определения распределения нагрузок между элементами волновой передачи.
Цель работы. В связи с выше изложенным в данной работе поставлены следующие задачи:
1) провести сравнительную оценку эффективности различных методов статического расчета упругих систем с односторонними связями. Количественную сравнительную оценку провести на примере расчета волновой зубчатой передачи как упругой системы с большим числом односторонних связей;
2) разработать эффективный метод статического расчета упругих систем с односторонними связями;
3) разработать эффективный метод динамического расчета упругих систем с односторонними связями, позволяющий решать задачи, в
-34-
которых жесткость односторонних связей на несколько порядков выше жесткости упругой системы;
4) применить разработанный метод для расчета колебаний тонкостенных упругих элементов (балок, пластин), ограниченных односторонними связями;
5) проанализировать сходимость решения;
6) разработать метод динамического расчета балок и пластин, ограниченых односторонними связями, учитывающий влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига сечений;
7) оценить влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига сечений на реакции в односторонних связях и перемещения упругих элементов;
8) с целью подтверждения предложенных методов расчета провести экспериментальные исследования;
9) разработать пакет программ, реализующий предложенные в данной работе методы;
10) на основе предложенных методов разработать методику определения кинематической погрешности волновой зубчатой передачи с кулачковым и электромагнитным генераторами волн. Исследовать кинематическую погрешность этих передач.
Научная новизна состоит в следующем:
1) предложен эффективный метод статического расчета упругих систем с односторонними связями;
2) разработан метод расчета колебаний упругих систем с неинерционными и инерционными односторонними связями повышенной жесткости;
3) выявлен характер нестационарного взаимодействия балок и прямоугольных пластин с односторонними связями, выполненными в виде стержней с закругленными концами;