РАЗДЕЛ 2
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ПО ИТЕРАЦИОННОЙ ТЕОРИИ
При выводе уравнений термоупругости использовались гипотезы итерационной теории
ортотропных пластин. Данная теория учитывает явления, связанные с поперечными
деформациями, это отличает ее от классической теории.
Полная система уравнений, необходимых для решения задачи термоупругости
ортотропных пластин, включает уравнения теплопроводности и уравнения
термоупругости.
В данном разделе рассмотрены основные гипотезы классической и итерационной
теории ортотропных пластин, уравнения теплопроводности, а также уравнения
термоупругости для ортотропнных пластин по итерационной теории.
2.1. Основные гипотезы классической и уточненной теории ортотропных пластин
Рассмотрим тонкую ортотропную пластину толщиной . Отнесем пластину к
ортогональной системе координат , которые совпадают с главными направлениями
ортотропии.
При решении задач теплопроводности тонкостенных элементов конструкций для
определения температуры вводят интегральные характеристики температуры: –
среднюю температуру и – температурный момент. Они определяются по следующим
формулам [120]:
; . (2.1)
Вид дифференциальных уравнений теплопроводности относительно и определяется
законом распределения температуры по толщине тонкостенного элемента
конструкции. Если предполагается линейный закон распределения температуры по
толщине пластины, то температура находится по формуле [118, 120]
. (2.2)
Классические гипотезы Кирхгофа-Лява включают в себя следующие предположения
[14]:
– прямолинейный нормальный к срединной поверхности элемент пластины до
деформации сохраняет свою длину, оставаясь прямолинейным и нормальным к
срединной поверхности пластины и после деформации;
– нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной поверхности,
можно пренебречь по сравнению с другими компонентами тензора напряжений.
Итерационная теория является одной из уточненных теорий. В основу общей
уточненной теории ортотропных пластин ставятся следующие предположения [15]:
– нормальное к серединной плоскости пластины перемещение не зависит от
координаты ;
– касательные напряжения и или соответствующие деформации и по толщине пластины
меняются по заданному закону:
,
где и – произвольные искомые функции от координат ;
, – функции, характеризующие законы изменения касательных напряжений по толщине
пластины, причем .
Укажем, что первое предположение, по сути дела, совпадает с соответствующим
предположением классической теории, а второе является новым предположением и
открывает возможности учета явлений, связанных с поперечными сдвигами.
Здесь следует отметить, что функциями , регламентируются те величины , которые
весьма малы, и ими в классической теории в некотором смысле даже пренебрегают.
Функции везде фигурируют с весовыми функциями и , определяемыми из уравнений
равновесия [117].
Принципиально иную картину наблюдаем в классической теории. Согласно основной
гипотезе этой теории, приближенно полагая , , по существу, принимаем, что . Это
означает, что классическая теория безразлична к эффектам от поперечных
сдвиговых деформаций.
Частично уточненная, или итерационная, теория является одной из теорий,
уточняющих классическую теорию изгиба ортотропных пластин.
В основу данной теории ставятся следующие предположения [15]:
– нормальное к серединной плоскости пластинки перемещение не зависит от
координаты :
; (2.3)
– при определении деформаций принимается, что касательные и нормальное
напряжения не отличаются от соответствующих напряжений, найденных при наличии
гипотезы недеформируемых нормалей, т. е., по сути, приближенно полагаем
, , (2.4)
где
. (2.5)
Здесь ;
– интенсивность нагрузки вдоль оси на верхней и нижней лицевых поверхностях
пластины;
– коэффициенты, зависящие от механических характеристик материала по формулам
; ;
; ;
– модули Юнга вдоль координатных осей и ;
– модуль сдвига в плоскости ;
, – коэффициенты Пуассона в плоскости ;
– прогиб, найденный из решения классической задачи, т. е. из решения уравнения
где – величины, зависящие от механических характеристик материала.
Отметим, что первое предположение итерационной теории совпадает с аналогичным
предположением классической теории. В соответствии со вторым предположением
итерационной теории, касательные напряжения и не отличаются от соответствующих
напряжений, найденных при наличии гипотезы недеформируемых нормалей, но ими, в
отличие от классической теории, не пренебрегают.
В данной работе использована итерационная, или частично уточненная, теория
ортотропных пластин. Уравнения итерационной теории, по сути дела, эквивалентны
уравнениям первых трех приближений построенного
А.Л. Гольденвейзером в работе [30] основного итерационного процесса, с помощью
которого находится медленно затухающее напряженное состояние пластины, которое,
вообще говоря, распространяется на всю пластину и дает уточненные значения
напряжений и перемещений вдали от линий искажения. Отметим, что именно поэтому
рассматриваемая уточненная теория была названа итерационной.
2.2. Уравнения термоупругости для ортотропных пластин с учетом гипотез
итерационной теории
Рассмотрим тонкую ортотропную пластину толщиной , находящуюся в условиях
теплового контакта с внешней средой. Отнесем пластину к ортогональной системе
криволинейных координат , которые совпадают с главными направлениями
ортотропии. Уравнения те
- Киев+380960830922