Оглавление
Введение 5
1 Некоторые факты весового гармонического анализа 20
1.1 Обозначения и основные понятия ........................ 20
1.1.1 Классы функций ................................. 20
1Л.2 Сингулярное уравнение Бесселя, ффункции Бесселя 24
1.1.3 Оператор Пуассона, обобщенные сдвиги и свертки 26
1.1.4 Конечные разности порожденные обобщенным сдвигом. Связь с конечной разностью радиальной функции. Модуль гладкости весовых лебеговских классов функций....................................... 28
1.1.5 Интегральное преобразование Фурье-Бесселя . . 31
1.2 Теоремы типа Пэли-Винера, Ахиезера и Киприянова-Куликова о носителе экспоненциальной функции.............. 31
1.3 Рв -мультипликаторы ................................... 34
2 Теорема об аппроксимации целыми весовыми функциями экспоненциального типа 39
2.1 Ограниченность смешанной о.к.разности в весовых функциональных классах......................................... 40
2.2 О модуле непрерывности, порожденном смешанным обобщенным сдвигом............................................. 44
2
2.3 Приближение весовыми экспоненциальными функциями 48
3 В-ядра Бесселя-Макдональда и операции В-
лиувиллевского типа 52
3.1 В-Ядро Бесселя-Макдональда и его свойства............. 53
3.2 Оценки смешанных В-производных В-ядра Бесселя-
Макдональда .......................................... 55
3.3 Принадлежность В-ядра Бесселя-Макдональда весовому
пространству С.М. Никольского Н['7.................... 62
3.4 Операция /7)Г лиувиллевского типа, порожденная смешанным преобразованием Фурье-Бесселя...................... 70
3.4.1 Последовательности в 5ег; и 5^ 70
3.4.2 Операции В-лиувиллевского типа /7>г............. 72
3.4.3 Представление операции /7>г в виде обобщенной
свертки с В-ядром Бессел51-Макдональда.......... 74
3.5 Расширение понятий обобщенной свертки и Ев -
мультипликатора....................................... 76
3.5.1 О расширении понятия обобщенной свертки ... 77
3.5.2 Ев -мультипликаторы в 5^........................ 80
3.5.3 Обобщенная свертка Ев -мультипликатора с регулярной в смысле £7 -функцией.......................... 81
3.6 БВ-мультипликатор, равный единице на области в . 85
3.7 Изоморфизм классов Соболева-Кинриянова И^’7 .... 93
3.8 Оценка наилучшего приближения операции лиувиллевского типа Дг/............................................ 97
3.8.1 Экспоненциальные функции сферического типа V 97
3.8.2 Приближение В-лиувиллевских операций экспоненциальными функциями сферического типа V 100
4 Приближение функций их обобщенными свертками с 13-
ядрами Валле-Пуссена-Никольского 102
4.1 В-ядра Валле-Пуссена................................. 105
4.1.1 В-ядро Дирихле Ю>7,а(*) = 11*-107„л, (*) ...... 109
3
4.1.2 В-ядра Валле-Пуссена-Никольского на основе В-
ядра Дирихле D7>a.................. 111
4.2 Приближение функций посредством обобщенной свертки
с В-ядром VPN ........................................ 117
4.2.1 Обобщенные свертки с В-ядром Валле-Пуссена-Никольского .......................................... 120
4.2.2 Приближение функций с помощью В-ядер VPN . 122
Литература 125
4
Введение
Актуальность темы диссертации. Операция лиувиллевского типа /г , определяемая на основе ядра Бесселя-Макдональда, носит универсальный характер. Она осуществляет изоморфизмы функциональных классов и может служить средством для интегральных представлений функций из таких классов и является средством приближения интегрируемых функций гладкими. Такая операция изучалась многими выдающимися математиками современности, среди которых Л. Шварц (1957), Л. Кальдерон (1959), С.М. Никольский, П.И. Лизоркин и др.. Операции лиувиллевского типа изучались С.М. Никольским в связи с исследованием функциональных пространств, описываемых в рамках конечных разностей. П.И. Лизоркин в своей докторской диссертации (1968) операции лиувиллевского типа применял для построения пространств дробной гладкости и исследования теорем вложения соответствующих классов функций.
Идея применения смешанного преобразования Фурье-Бесселя к определению пространств функций дробной В-гладкости принадлежит И.А. Киприянову. Термин “В-производная“ и связанное с ним понятие В-гладкости появились в связи с представлением действия сингулярного дифференциального оператора Бесселя в рамках конечных разностей первого порядка, где вместо обычного сдвига применен обобщенный сдвиг, введенный А. Вапштейном и Ж. Дельсартом в середине двадцатого века в связи с исследованиями в осесимметричной теории
5
потенциала и разложениями функций, к которым применен обобщенный сдвиг, в степенные ряды.
Исследованию проблем В-потенциалов на основе обобщенного сдвига с весовым ядром Бесселя-Макдональда, построенных по обычной схеме на основе интегрального преобразования Фурье-Бесселя, посвящен ряд работ А.Д. Гаджиева, Л.Н. Ляхова. Проблемы приближения функций из весовых классов на полупрямой изучались С.С. Платоновым.
В диссертации исследуются свойства весовых операций ли-увиллевского типа, порожденных В-ядрами Бесселя-Макдональда, необходимые для изучения весовых функциональных классов И.А.Киприянова и некоторых проблем теории приближения, возникающих при исследовании задач с центральной, осевой и многоосевой симметриями, которые и порождают весовые функциональные пространства типа пространств Соболева-Кинриянова. Кроме того, операции В-лиувиллевского типа позволяют получить новые интегральные представления фупкций, которые необходимы для изучения весовых функциональных пространств.
Тема исследований диссертации актуальна в связи со значимостью в естествознании задач с симметриями, возникающих во многих разделах фундаментальной физики, компьютерной томографии, теории оболочек и многих технических разработках. В этой связи особый интерес представляет теория приближения функций из весовых функциональных пространств, установление изморфизма весовых функциональных классов, осуществляемый операциями В-лиувиллевского типа, нахождение интегральных представлений функций в виде обобщенных сверток (сверток, порожденных обобщепным сдвигом) с соответствующими В-ядрами.
Цель работы. Исследовать весовые операции лиувиллевского типа /Т(Г , порожденные В-ядрами Бесселя-Макдональда, необходимыми для изучения некоторых проблем теории приближения. Изучить ряд свойств весового ядра Бесселя-Макдональда, таких как, оценки
б
смешанных В-производных В-ядер. принадлежность В-ядра к весовому пространству С.М. Никольского //[’7 . Ввести аналоги ядер Валле-Пуссена-Никольского (В-ядро VPN), порожденных смешанным преобразованием Фурье-Бесселя, и установить их важнейшие свойства. Доказать теорему о приближении функций обобщенными свертками с В-ядром VPN.
Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах научной школы И.А. Киириянова при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.
Научная новизна и значимость полученных результатов.
Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.
1. Получены оценки смешанных В-производных В-ядра Бесселя-Макдональда. Доказана принадлежность В-ядра Бесселя-Макдональда весовому пространству Никольского H[rf.
2. Введены В-лиувиллевские операции /7.г , порожденные В-ядрами Бесселя-Макдональда. Доказана теорема об изоморфизме, осуществляемом В-лиувиллевской операцией /7,г класса функций L7 на класс функций Соболева-Киприянова W7,r . В качестве следствия получено важное в теории весовых функциональных пространств интегральное представление произвольной функции из W7,r в виде В-лиувиллевской операции некоторой функции из L7 .
3. Получеиа теорема о наилу чшем приближении В-лиувиллевской операции /7>г экспоненциальными фупкциями сферического типа.
4. Введены В-ядра Дирихле. На основе таких ядер построены В-ядра Валле-Пуссена-Никольского и изучены некоторые из свойств этих ядер, их обобщенные свертки с функциями из весовых лебсговских классов.
5. Доказана теорема о приближении функций из весовых лебегов-ских классов L7 экспоненциальными функциями посредством соответ-
7
ствующей обобщенной свертки с В-ядром Валле-Пуссена-Никольского.
Практическая значимость и теоретическая значимость.
Работа носит теоретический характер и дает конструкции приближения функций из соответствующих функциональных классов. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении задач математической физики с центральной и осевыми симметриями, в задачах теории функций и функционального анализа.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в школе молодых ученых Липецкой области «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» в 2010 — 2012 гг., в Воронежской зимней математической школе в 2011 г., в Воронежской весенней математическое школе в 2011 г., в Международном семинаре «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» в г. Ростов-на-Дону в 2011 2012 гг., на Международной конференции, посвященной 110-ой годовщине И.Г. Петровского в г. Москва в 2011 г., на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» в г. Белгород в 2011 г., на научной конференции «Герценовские чтения» в г. С.-Петербурге в 2012 г., на Междуиародной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздале в 2012 г.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы, включающего 54 наименования. Общий объем диссертации 130 стр.
Краткое содержание диссертации.
Во введении обосновывается актуальность темы, приводится методика исследования и дан краткий обзор содержания диссертации по главам.
Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.
В главе 1 приводятся известные факты весового гармонического анализа, используемые далее в диссертации. В начале этой главы вво-
8
дятся основные понятия и обозначения, необходимые в данной работе. Мы будем рассматривать функции, определенные в области
Я^у=-{х=:(х , X ), X , • . . , Хп), X . . . , Хдо)) Хх >0, . . . , Хп>0}.
При этом число п предполагается фиксированным, 1 < п < N (случай п = 0 отвечает классической теории). Через (С ) будем обозначать область, прилегающую к каждой из гиперплоскостей XI = 0,..., Хц = 0. Граница области состоит из двух частей: Г+ , расположенной в Ялу , и Г0 , принадлежащей гиперплоскостям
Х\ — 0,..., Хл — 0 .
Пусть а = (а/, а") - мультииндекс с неотрицательными целыми компонентами, а' — (од, «2,..., ап), = (ап+ъ ... ,а:дг). Положим
В$и = Щ1В%...В%чъ
где ВХх = ВХхх1х - оператор Бесселя, отвечающий положительному индексу 7<, и
Ягап+1 ’
ихп+1 • • ‘^дг
где |ог | = ап_к + ... + а^.
Функцию вида Б*,, /(х',ж") мы будем называть смешанной В-производной от функции /(х',х") порядка i = 2|а'| + |ог7/| . Смешанный обобщенный сдвиг имеет вид
п
/ -* (Т»/)(*) = П 7»;/(*',*" - у"),
1=1
где каждый ИЗ одномерных обобщенных СДВИГОВ 7%1 определен по формуле
п:: / -» (Т«;/)(х) = ■ Д'/ Пл* х I / (®1, • • • , 2!;-!, + у\ - 2ХгУ1 СОва, Ж<+1, . . . , ЖдГ^ ЗШ2р О (2а,
г = 1,... ,п,
9
/ п
а многомерный обобщенный сдвиг Т^, = П понимается как су-
к=1
перпозиция одномерных обобщенных сдвигов.
Нецентрированная обобщенной конечная разность, построена на основе смешанного обобщенного сдвига следующим образом
□ */(*) = £("!)* С? {Тк'Ч) (*), (1.1.12)
*=о
где С1к — обычные биномиальные коэффициенты.
Прямое и обратное сметанные преобразования Фурье-Бесселя определяются соответственно формулами
*вМ(0 = [ уК®) П Лх,
к=1
п *
I— 11
?В ШХ) =
(2тг)*“п22И Д r2(j/fc + 1)
1
где Vk=lh21, к=1, j„k (gfc)=2 kT-$+V) Jvk (®fc) — нормированная
хк
функция Бесселя первого рода порядка i/*, (х", £")= 5^=n+1 %j€j •
Глава 2 посвящена аппроксимации целыми весовыми функциями экспоненциального типа. Здесь обобщены известные результаты приближения функций из весовых функциональных классов на полупрямой.
Определение 2.1.1 Будем говорить, что функция f принадлежит пространству Соболева-Киприяиова , если / G L7 и
(BDYf е LJ , \]\ = 1,...,г.
Лемма 2.1.1 Пусть □ £ — смешанная о.к.разность (1.1.12) порядка s с векторным шагом h € R^ и пусть f(x) £ Wpn(R^f), 1 < р < со и I = (I',1"), |/| = 2|/'| + \1"\=г и s > 7* — 2 . Тогда
\ш\\шк>) < сн Е \\(в°УПьж„у (2ЛЛ)
|Г|=г
10
Если /(ж) Е S'ev(R%) и supp/(ж) С □ 1/={жЕЙ]у, \х{\<Щ,, г=1, тогда для любой бесконечно дифференцируе-
мой функции у? (ж) с компактным носителем из множества □ i/ = {xeRtf, \xi\ > i = 1,..., iV} верно равенство (/, ф)1 = 0 .
Лемма 2.1.2 Пусть /(ж) Е L'l(R'k), д{х) Е L^(R^), 1 < р < оо и supp FB[f] с □„ , тогда (/ * р)7 6 .
Модуль непрерывности, порожденный смешанным обобщенным сдвигом (1.1.12) далее, сокращая запись, будем называть 7 -модулем непрерывности.
Определение 2.2.1 Пусть к — натуральное число, 1 < р < ос. По определению, 7 -модулем непрерывности функции / Е £7(#^) будем называть
= sup ||(□£,/)(*)||i?, (2.2.1)
1‘1<*
г<?е (П^/)(ж) — смешанная о.к.разность (1.1.12) порядка к с шагом th, h € R^ , |/г|=1 и t — действительное число.
Следует отметить очень важное свойства 7-модуля.
Лемма 2.2.1 Если /(ж) Е ИТ’7(i?J), тогда при любом к > г — 2 и г = 2|а'| + |а"| имеем оценку
<7(/,<5)Ч < «Г £ ||(BD)“/lli?, & = (2а',а")
1«1 = Г
где с = с(/с, г, 7) - постоянная.
Наилучшим приближением функции / 6 I7 целыми экспоненциальными функциями типа v будем называеть величину
K{f)= inf ||/ —
Получена прямая теорема об аппроксимации функций из весовых функциональных классов Соболева.
Теорема 2.3.1 Пусть /(ж) Е И^,7(Д]у), 1 < р < оо, тогда
11
- Київ+380960830922