Оглавление
Введение 3
1 Пучки умеренного роста 14
1.1 Функциональное исчисление, порожденное пучком........ 14
1.2 Пространство обобщенных вектор-функций Шварца 8' . . 18
1.3 Задача об ограниченных решениях в 8'................. 27
2 Бисекториальные пучки 31
2.1 Определение бисекториального пучка................... 32
2.2 Функция Грина........................................ 37
2.3 Двусторонняя последовательность пространств Сп....... 45
2.4 Задача об ограниченных решениях...................... 47
3 У^бисекториальные и Х“1-бисекториальные пучки 54
3.1 (—1)-бисекториальный пучок........................... 55
3.2 ^-бисекториальный пучок.............................. 50
3.3 Х_1-бисекториальный пучок............................ 62
3.4 Примеры ............................................. 64
4 Биограниченные пучки 71
4.1 Построение разложения единицы........................ 71
4.2 Полная функция Грина................................. 74
4.3 Задача об ограниченных решениях...................... 77
5 Функция Грина, имеющая конечномерный образ 83
5.1 Полугруппа с конечномерным образом и нулевым спектром 83
5.2 Полугруппа с конечномерным образом................... 90
5.3 Функция Грина, имеющая конечномерный образ........... 94
Литература 97
2
Введение
Задача об ограниченных решениях состоит в нахождении ограниченного на действительной прямой К решения линейного дифференциального уравнения при условии ограниченности свободного члена. С одной стороны, ее можно рассматривать как разновидность краевых задач, а с другой — как обобщение задачи об асимптотической (экспоненциальной) устойчивости, включающее в себя помимо задачи об устойчивости специальный случай неустойчивости — экспоненциальную дихотомию.
История активного изучения этой задачи берет начало от статьи Перрона [84]. Впрочем, Ю.Л. Далецкий и М.Г. Крейн [22] отмечают, что многие основополагающие результаты в этом направлении были получены на 20-30 лет раньше П. Болем, но они остались незамеченными. В настоящее время результат Перрона является классикой теории обыкновенных дифференциальных уравнений и описан во многих монографиях [22, 23, 26, 33, 42, 67]. Его простейший вариант утверждает, что существование и единственность ограниченного на Е решения неоднородного уравнения и' — Ап = / при любой ограниченной правой части / равносильно тому, что спектр коэффициента А не пересекает мнимую ось. В классическом варианте коэффициент А является матрицей, либо линейным ограниченным оператором, действующим в банаховом пространстве.
Настоящая диссертация посвящена уравнению вида
Ри' -ви = /, (1)
не разрешенному относительно производной. Здесь Р и (7 — линейные ограниченные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство У. За счет того, что область определения X и множество значений У операторов Р и 6? не обязаны совпадать, рассматриваемое уравнение охватывает случай дифференциальных операторов Р и С, которые обычно интерпретируют как неограниченные операторы, действующие из пространства в себя.
Не разрешенное относительно производной дифференциальное уравнение (1) является не только формально более общим, чем уравнение и1 — Аи = /. Оно охватывает более широкий класс приложений. Такие дифференциальные уравнения возникают в механике [32, 71, 72, 85], в теории линейных электрических цепей [11, 21, 24, 40, 54, 57] и в теории возмущений [2, 4]. Если оператор F не имеет обратного, уравнение (1),
3
как мы увидим, обладает несколько иными свойствами, чем уравнение и' — Аи = /.
Дифференциальным уравнениям (1), не разрешенными относительно старшей производной, посвящена обширная литература, см., например, [б, 9, 27,28, 29, 55, 56,74, 77, 79, 82]. В основном изучалась начальная задача.
Ограниченность решения и и свободного члена / в разных главах диссертации интерпретируется по-разному. В самом общем виде (глава 1) под ограниченностью понимается принадлежность пространству обобщенных функций Шварца 8'. Более узкая трактовка понятия ограниченности — принадлежность пространству С непрерывных и ограниченных на Е функций или пространству Сп непрерывных и ограниченных на М вместе с производными до п-го порядка функций. Также рассматриваются (§ 2.3) пространства Сп с отрицательным п\ говоря не совсем точно, они состоят из обобщенных функций, которые после п интегрирований становятся непрерывными. Обсуждается вопрос о связи гладкости решения и и свободного члена /.
Результаты диссертации опубликованы в [43, 44, 48, 49, 50, 51, 52], и докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008 [45], 2010 [46], 2012 [52], на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010 [47], на конференции БРБЕ 2011 [83], на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ. Работы [49, 50, 51] опубликованы в изданиях, включенных в список ВАК.
Перейдем к описанию содержания диссертации. Изложение ведется путем перехода от более общих случаев к более конкретным.
Пусть X и У — комплексные банаховы пространства. Обозначим символом В(Х, У) множество всех линейных ограниченных операторов, действующих из X в У.
Диссертация посвящена задаче об ограниченных решениях для дифференциального уравнения
где р;<?Е В(АГ,У).
{Линейным) пучком, соответствующим уравнению (2), называют [19, 20, 30, 41] функцию
(*У)(0-(<?«)(*) = /(«), гек.
(2)
А ь-> А^ - С, А 6 С.
(3)
4
9
Резольвентным множеством пучка (3) называют [9, с. 30] множество p(F, G), состоящее из всех А G С, при которых оператор XF—G обратим, а 'резольвентой — функцию (семейство)
RX = (\F-G)-1.
Дополнение a(F,G) к резольвентному множеству называют спектром пучка.
Глава 1 посвящена задаче об ограниченных решениях в случае пучка умеренного роста. Пучок Л i—► ЛF—G назовем пучком умеренного роста, если мнимая ось содержится в резольвентном множестве p{F, G), причем существуют такие ги € Ъ и М > 0, что
||(iwF - G)-1: Y -* Х\\ < М( 1 + Io»!)“, ш € R.
Основным результатом главы 1 является следующая теорема.
Теорема 1.3.2. Пусть пучок имеет умеренный рост: Тогда для любой f 6 S'(R, Y) уравнение (2) имеет единственное решение и €
При этом преобразование Фурье ü решения и задается формулой
ü(co) = (iujF — G)~lf(cj).
Здесь символ S' означает пространство Шварца обобщенных функций умеренного роста.
Основной технической проблемой при доказательстве теоремы 1.3.2 является корректное определение произведения бесконечно дифференцируемой оператор-функции на обобщенную вектор-функцию. Она решается в теореме 1.2.10.
Отметим, что ранее в пространствах обобщенных функций для уравнения (2) изучалась только разрешимость начальной задачи [36, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64].
В главе 2 на пучок накладывается дополнительное условие бисектори-альности. Пучок Л •—► ЛF — G называют ю-бисекториальным, где w е Z, или просто бисекториальным, если существуют такие <5о € (0, тг/2] и ho > 0, что множество (см. рис. 1 на с. 33 слева)
^5о,Ло = {а € С: ^ - Jo < arg Л < ^ -f J0}ü
и {Л G С; у - J° С argЛ С у + J°}u и {Л G С: I ReЛ| < ho}
5
содержится в резольвентном множестве пучка, причем для каждых 6 £ (0,6о) и к £ (0, ко) существует такое М > 0, что
||(А** - С)“1 : К - Х|| < М( 1 + |Л|)», А € А,,л.
Условие бисекториальности позволяет получить более точные соотношения между гладкостью свободного члена / и решения и уравнения Ри! — Си = /, чем в теореме 1.3.2.
Понятие бисекториального пучка (в терминологии оригинала [75] — биполугруппы) Л •—► Л1 — А (1 — тождественный оператор), порожденного одним неограниченным оператором А, введено в [75] и исследовалось в [81]. В настоящей диссертации рассматривается более общий линейный бисекториальный пучок Л »-> А/*1 — (7, чем пучок X ^ XI — А, изучавшийся в [75, 81].
Условие бисекториальности является обобщением условия сектори-альности [9, 10, 8, 12, 65, 68, 76], широко используемого при изучении начальной задачи и являющегося одним из абстрактных вариантов понятия параболичности. Секториальность означает, что спектр пучка лежит в некотором секторе, содержащемся в левой полуплоскости, а резольвента удовлетворяет полиномиальной оценке роста на бесконечности. Подчеркнем, что бисекториалыюсть означает, что спектр пучка содержится в двух секторах, лежащих соответственно в левой и правой полуплоскостях, а резольвента удовлетворяет полиномиальной оценке роста на бесконечности.
Изложение в главе 2 ведется в терминах функции Грина (болсс подробно называемой регулярной частью полной функции Грина)
с1г) = {х*®' если4>0’
Х“(£), если £ < О,
где
Х±(*) = ^7 /* еА‘(А 1
а — контуры, изображенные на рис. 1 на с. 33 справа. Как обычно, функция Грина удовлетворяет дифференциальному уравнению -Р£?;(£) — С9{Ь) = 0 при ^ ^ 0 (предложение 2.2.4) и экспоненциально убывает на бесконечности вместе с производной (предложение 2.2.5), но ее поведение в нуле оказывается более сложным (предложение 2.2.11), чем у краевых задач для уравнения и' — Аи = /, разрешенного относительно производной.
Пусть Е — банахово пространство. Обозначим через С0 = С = (7(Е, Е) пространство всех непрерывных ограниченных функций и: М —> Е с нормой
N1 = 1М1с = йир||и(е)||,
а через Сп = (7П(Е, Е), п = 1,2,..., — пространство всех п раз непрерывно дифференцируемых функций и: Е —► X, ограниченных по норме
N1 = Мс + |Ис + • • • + ||и(п)||с7-
Очевидно, Сп = СП(Е,Е) является банаховым. Принадлежность пространству Сп интерпретируется в диссертации как вариант ограниченности.
Как показывают основные результаты диссертации, если свободный член принадлежит С71, то при переходе к решению и происходит потеря (приобретение) гладкости на конечное число единиц, не зависящее от п. Чтобы сделать подобные утверждения более универсальными, рассматривается продолжение последовательности пространств Сп в сторону отрицательных значений п. Пространство С~п = С_Г1(Е,Е), тг = 1,2,..., определяется как пространство всех обобщенных функций и Е 8', представимых в виде
и = щ + и[ 4 Н и^\
где ... ,нп € С, а производные берутся в смысле обобщенных
функций. Представление и = щ + и[ Н Н не единственно. Норма
на С~п определяется по формуле
п п >
\с:и = '52и{к \ еС У
к=0 к=0 >
Пространства С_п, п = 1,2,..., оказываются полными (предложение 2.3.3). Оператор Ци = и' Л- и устанавливает изоморфизм между пространством Сп+1 и пространством Сп при всех п € Ъ (предложения 2.3.2 и 2.3.4).
В § 2.4 приводятся основные результаты главы 2. В них описывается связь между гладкостью свободного члена и решения, а также приводятся некоторые формулы для решения. Примером такого утверждения является теорема 2.4.4.
Теорема 2.4.4. Пусть пучок является ги-бисекториальным. Тогда при любой / 6 СЛ(М,У), п Е Ъ, решение и уравнения (2) принадлежит
N1 = 1М1ст-» = т£ |
7
т—ю—1,
X). При этом при п>ги + 2 •+00 ™
/+оо ^
д{1 - ^(Г1)"*1/^-4*1^) аз -
00 А:=0
Примеры бисекториальных пучков приводятся в § 3.4 следующей главы.
В главе 3 обсуждается модифицированный вариант бисекториально-сти, в котором норма пространства В (У, X), в котором принимается значения функция Грина £?, заменяется другой, меньшей исходной. В этой главе мы ограничиваемся случаем, когда резольвента пучка убывает на бесконечности как Последнее ограничение приводит к тому, что все решения выражаются через (регулярную) функцию Грина.
Необходимость внесения изменений в определение бисекториальности в случае, когда резольвента пучка убывает на бесконечности как показывает теорема 3.1.2. В этой теореме говорится, что такой пучок является (—1)-биограниченным в смысле главы 4, т. е. его спектр оказывается ограниченным множеством. В качестве соответствующего изменения в диссертации предлагается замена нормы на X или на У.
Идея замены нормы в множестве значений функции Грина подсказана аналогией с теорией полугрупп, порожденных секториальными операторами. В случае неограниченного секториального оператора А и соответствующего ему уравнения и' — Ли = / коэффициент А действует из своей области определения И (А) С X в X, но порожденная им полугруппа операторов Т(£), £ > 0, действует из X в X (а не в П(А)\). Поэтому решение и(Ь) = /0+ооТ(5)/(£ — в) с18 принимает значения в X (а не в 0{А)).
В случае бисекториального пучка Л > \Р—С и уравнения Ии'—Си = / пространство X, на кагором заданы Ги(?, является аналогом И (А) и поэтому для функции /, принимающей значения в У, следует ожидать, что решение принимает значения в более широком пространстве, чем X. Для уравнения Ии' — Сгх = / нахождение более широкого подходящего пространства, содержащего X, является дополнительной задачей. Она обсуждается в § 3.3. А в § 3.2 описывается более простой (но с технической точки зрения эквивалентный) подход, когда вместо расширения пространства X используется сужение пространства У. Иными словами, рассматриваются функции /, принимающие значения в некотором подпространстве У1 пространства У.
8
- Київ+380960830922