Содержание
Введение........................................................... 3
Глава 1. Системы экспонент, порождённые нулями преобразования Фурье................................................ 11
1. Вспомогательные утверждения................................ 11
2. Теорема о базисе из экспонент.............................. 17
Глава 2. Специальные системы экспонент, синусов и косинусов 39
1. Системы (е^Л+д п>4), ть е Ъ .............................. 39
2. Системы (зт(п + Л)£) и 1 и (соз(п 4- Л)£), п Е N.......... 42
Глава3. Системы экспонент, порождённые нулями преобразования Фурье - Стилтьеса.................................... 47
1. Формулировки результатов................................... 47
2. Лемма о расходимости обратного преобразования Фурье .... 49
3. Доказательство теоремы 3.1................................ 51
4. Доказательство тсо^мы 3.2................................ 53
5. Доказательство теоремы 3.3................................ 57
Глава 4. Обобщения некоторых известных результатов о системах экспонент на случай пространств ...................... 60
1. Системы экспонент с порождающей функцией, удовлетворяю-
щей Ар- условию............................................ 60
2. Полнота систем экспонент................................... 63
Список литературы.................................................. 67
2
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация является исследованием в области негармонического анализа— направления, изучающего аппроксимационные свойства (базисность, полноту, минимальность и т. п.) систем экспонент общего вида
е(Л) = (е'А"‘, teiX"\ Л = (К,т„Г=0, f .
тп Е N, АГ1 Е С, |Лп+11 > |Лл|,
в функциональных пространствах на копечном интервале веществегтой оси (в отличие от анализа гармонического, изучающего исключительно свойства тригонометрической системы (еги1).п Е Z). Результаты диссертации посвящены, в основном, базисам из экспонент в лебеговых пространствах с весом в виде конечного произведения степенных функций.
Негармонический анализ начался с книги Р. Пэли и Н. Винера [26] (1934). В дальнейшем вклад в его развитие внесли II. Левинсон, Л. Шварц, Ж.-П. Кахан, А. Бьерлинг и П. Мальявен, П. Кусис, Б. Я. Левин, А. Ф. Леонтьев, Р. Редхёффср, Р. Янг, B.C. Павлов, А.М. Седлецкий, Н.К. Никольский, С. В. Хрущёв, А. М. Минкин, В. А. Ильин, Е.И. Моисеев и многие другие математики.
Пэли и Винер рассматривали базисы Рисса в L2(—тг, тг) вида
(etA"*), An ЕС, п Е Z, (0.2)
как возмущение тригонометрической системы, т. е. при определённой близости точек А„ к целым п, а именно, при условии sup jAn. — п\ < 1 /тг2, Хп Е М. В этом направлении окончательный результат получил М. И. Кадец [3|: если
sup |An — n| < i, Arl Е R,
то система (0.2) образует базис Рисса в L2(—тг, 7г), причём постоянная 1/4 точная.
Тем временем естественным образом возник вопрос о критерии базиса Рисса вида (0.2) в L2(—тг,7г), требовавший более общего подхода к изучению систем экспонент. Важной вехой здесь явились работы Б. Я. Левина |4] и |5], предложившего задавать условия па последовательность (Ам) через т. н. порождающую функцию. Приведём определение этого понятия сразу для системы (0.1).
Целая функция экспоненциального типа называется порождающей функцией системы (0.1) на интервале (—а, а), если
1) множество её нулей совпадает с {Ап},
2) каждый нуль А„ имеет кратность тпп и
3) индикатор функции равен а\ sin в|.
3
Напомним, что по определению целая функция L(z) имеет экспоненциальный тип, если
ЭМ > 0: \L(z)\ < exp(M|z|), \z\ > const, а индикатором такой функции называется величина
//л ln \L(re'e)\
пь(у) = lim sup------------,
г —*+оо Г?
где f) — порядок функции L(z).
В работах [4] и [1| в качестве порождающей выступала функция, получившая название функции типа cniiyca. Это целая функция, удовлетворяющая условию
^gallmzl ^ ^ c2eo|rmz|, СЪС2 >0, \lmz\> const.
Последовательность Л называется отделимой, если
inf |АП — Аш| > 0.
пфт
В статье |4] доказано, что если порождающая функция системы е(Л) является функцией типа синуса и последовательность Л отделима, то система образует базис L2(—а, а). В. Д. Головин [1] дополнил этот результат, доказав наличие базиса Рисса в этом случае.
Отметим (см. [18], §6.1, т.1 и § 1.3), что отделимость последовательности Л, а также (для последовательности, лежащей в горизонтальной полосе | lmz| ^ h) условие sup тпп < +оо необходимы для базиса системы е(А).
Критерий базиса из экспонент для случая последовательности Л, лежащей в горизонтальной полосе, был найден B.C. Павловым [9] в 1979г. Говорят, что неотрицательная функция д(х) удовлетворяет Ар-условию, 1 < р < оо, если
(аД)СЇ*
Будем в этом случае писать д(х) 6 Ар.
Теорема А (Павлов). Пусть последовательность (А„) отделима и для некоторого її Є М+ и всех п верно | ІтАп|</і. Тогда система (0.2) образует базис Рисса в 1/2(—а, а) тогда и только тогда, когда
ЭН > /г : |А(х + гЯ)|2Є А2,
где Ь(г) — пороэ/сдающал функция системы (0.2).
4
Если отказаться от требования принадлежности точек Ап горизонтальной полосе, то L2—нормы экспонент системы (0.2) станут неограниченными в совокупности, и понятие базиса Рисса в постановке задачи следует заменить на понятие безусловного базиса (система (е„) называется безусловным базисом гильбертова пространства, если система (еТ1/||еп||) образует’ в нём базис Рисса). Для случая, когда точки А„ лежат в полуплоскости Im z ^ h > —оо, необходимое и достаточное условие безусловного базиса вида (0.2) вскоре нашли Н. К. Никольский,
С. В. Хрущёв и B.C. Павлов |23]. Общий случай рассмотрел А.М. Минкин [6] в 1991 г.: к условиям А2 и отделимости (АГ|) в теореме А добавляется т. н. условие Карлссона, накладываемое на последовательности А± = (А„ Е A: ImAn £0).
Случай пространств Lp(—а, а), р ф 2, требовал новых подходов, и вплоть до 1970-х гг. соответствующих результатов не было. Продвижение в этом направлении достигнуто благодаря работам А. М. Седлецкого. Мы приведём те его результаты, которые наиболее теспо связаны с представленными в данной диссертации теоремами. Прежде, однако, заметим, что при переходе от L2 к другим функциональным пространствам теряется понятие базиса Рисса. Некоторой его заменой для систем экспонент служит т. н. свойство Рисса, а именно ограниченность в норме рассматриваемого пространства оператора
(тп-1 \ /т„-1
X tj)eiAnl м X (X °»stj
J—0 / \ j—0
Это определение инициировано теоремой М. Рисса о сопряжённом ряде Фурье, согласно которой тригонометрический базис обладает этим свойством в LP(—7Г,7г), 1 < р < ОО.
Следующая теорема является расширением достаточной части теоремы Павлова.
Теорема В (| 19]). Пусть 1 < р ^ 2, последовательность А отделима и сосредоточена в горизопталг>ной полосе |Im.z| < h, а такэ/сс supmn < -foo. Тогда если порождающая функция системы (0.1) при некотором Н > h удовлетворяет условию |Ь(х -Н//)|р Е Ар, то эта система образует базис 2/(—а, а) со свойством Рисса.
Зачастую рассматривают порождающие функции, являющиеся преобразованием Фурье-Стилтьеса финитной меры:
а
L(z) = JexzLda(£), varcr < оо.
—а
В этом случае система (0.2) выступает как система собственных функций оператора дифференцирования D(y) — —гг/' с "размазанным" краевым условием
а
Jy(t) da(t) = 0, var а < оо
5
(а система (0.1) может рассматриваться как система собственных и присоединённых функций). С этой тонки зрения системы экспонент изучали С. Вер-блюнский, А. П. Хромов, В. А. Молоденков и др.
Теорема С ([19]). Пусть 1 < р < оо и последовательность А нулей функции
а
Ц*) = Jуагсг < оо, а(±а) ^ а(±а 0), (0.3)
—а
отделима. Тогда система (0.1) образует базис а) со свойством Рисса.
Теорема О ([20]). Пусть 1 < р < оо, а А — последовательность пулей функции вида
а
Ь(г) = Jуагк(і) < оо, к(±а =р 0) ^ 0, 0 < Пер < 1. (0.4)
—а
Тогда при 1 — И.е/? < 1/р система е(А) образует базис со свойством Рисса в пространстве П}(—а,а), а при 1 — Кс/З > 1 /р для всякого х А уже система е(А)и{е1**} образует базис со свойством Риссл в //(—а,а).
Случай порождающей функции вида (0.4) интересен в частности тем, что под него при некоторых Л подпадает система
(^(п+Дйвпп)*)^^ ДеС (05)
С системами (0.5) связаны системы синусов и косинусов
(зт(п + Д)*)^, 1 и (соэ(п + А)1)™=1, (0.6)
первая из которых при А = —1/4 является системой собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со специальными краевыми условиями (см. [10, 11]).
Для систем (0.5) и (0.6) с вещественными А Е. И. Моисеевым в ]7] даны критерии базиса соответственно в пространствах 7г,тг) и 1^(0, тг), обобщённые Г. Г. Девдариани [2] на комплексные А. Результат [2] состоит в том, что критерием базиса экспонент, синусов или косинусов является условие
1 1 Т. А 1 1 , т. л 1 1 1 VI л 1 1
----- < Б.е А < —-, ------1 < БеД < — или ------------- < Не А < —- 4- -
2 р 2 2р 2р 2р 2р 2 2р 2
соответственно.
Укажем имеющиеся результаты о базисах из экспонент в весовых пространствах. Это пространства ЬР(1 ,и(Ь) (16) (где вес ю{6) — измеримая, почти всюду
- Київ+380960830922