К-монотонные весовые пары банаховых решеток

2
Оглавление
Введение 3
1 Свойства правостороннего и левостороннего сдвига в пространствах
последовательностей 21
1.1 Взаимосвязь свойств ПЭР и ЬБР.................................23
1.2 Пространство последовательностей, построенное
рекурсивным методом..........................................27
1.3 Пространство Ра имеет свойства \VRSP, \VLSP ..................34
1.4 обладает свойствами ИЯР, ЬБР..............................40
2 О необходимых и достаточных условиях К,-монотонности весовых пар 49
2.1 Предварительные сведения об интерполяции весовых пар .... 53
2.2 Весовая разложимость банаховых решеток........................55
2.3 Взаимосвязь весовой разложимости и относительной /С-монотонности ........................................................66
3 /С-монотонные весовые пары симметричных пространств 77
3.1 Функции, правильно меняющиеся в нуле..........................81
3.2 Неразложимые пространства Лоренца на отрезке [0; 1]......86
3.3 Неразложимые пространства Марцинкевича на отрезке [0.1] . . 91
3.4 Неразложимые симметричные пространства на [0; оо) ...... 93
3.5 Следствия для весовых пар симметричных пространств............96
4 Неравенства для сумм независимых функций 98
4.1 Неравенство Розенталя ........................................99
4.2 Об одной задаче для бистохастических матриц..................103
Литература 111
3
Введение
Настоящее исследование посвящено двум актуальным проблемам функционального анализа. Во-первых, изучаются интерполяционные свойства весовых пар банаховых решеток. Получены утверждения, устанавливающие /С-монотонпость таких пар при определенных условиях. Во-вторых, в диссертации рассматривается вопрос об усилении неравенства Розенталя, относящегося к оценкам сумм независимых функций.
Теория интерполяции операторов как самостоятельная отрасль функционального анализа оформилась в 50-е-60-е годы прошлого столетия, хотя первые результаты были получены значительно раньше (вспомним знаменитые теоремы Рисса-Торина и Марцинкевича [4, теоремы 1.1.1, 1.3.1]). Основной задачей этой теории является доказательство тех или иных свойств нормированных пространств (или же множеств другой природы), исходя из свойств «крайних» пространств, для которых рассматриваемые пространства являются интерполяционными (см., например, краткий обзор в [38, с. 1131-1176]). В этой связи принципиальное значение имеет нахождение метода описания всех или части интерполяционных пространств относительно данной пары. Одним из вариантов такого описания является характеризация пространств в терминах /С-монотонности. /С-монотонные промежуточные пространства являются интерполяционными. В том случае, когда, наоборот, любое интерполяционное пространство является /С-монотоиным, говорят, что соответствующая пара /С-монотонна (точное определение будет дано несколько позднее). Поскольку изучение /С-монотонных пар является центральной темой нашего исследования, далее приводится краткий обзор результатов по этому направлению. Вероятно, первым известным примером /С-монотонной пары стала пара (1/1,1/оо); доказательство этой теоремы принадлежит А.П. Кальдерону (см. [27, теорема 1], [8, гл. II, теорема 4.3]). Отметим, что описание интерполяционных пространств для пары (1/1, Ь^) содержится в более ранней статье
4
Б. С. Митягина [9], хотя формулировка теоремы отличается от предложенной А.П. Кальдероном (по поводу связи теорем Митягина и Кальдерона см. [50, с. 233-234]). Г. Лоренц и Т. Симогаки [43] получили аналогичный результат для пар (ЬР1Ьо©) (1 < р < оо). Впоследствии А.А. Седаев и Е.М. Семенов доказали, что весовые пары (Ь\(щь), £1(1^1)) /С-монотонны для произвольных весов гио, и)\ [12]; этот результат был обобщен А.А. Седаевым на случай (Ьр{и)о), Ьр(ш 1)), 1 < р < оо [13]. Недавно М. Цвикель и И. Козлова получили альтернативное доказательство теоремы Седаева-Семенова |32]. Г. Спарр [50] установил, что пары (ЬРо(шо)1 ДэДги 1)), ^1(^1)) равномерно относи-
тельно /С-монотонны для любых 1 < ро,р\ < оо и произвольных весов Г670, и>и ^о, VI (см. также [34], где приводится другое доказательство). Дальнейшим обобщением стала работа В.И. Дмитриева [б], в которой дается критерий относительной /С-монотонности пар (ЬРо(и)о), Ьр^ии^), (Ь^Уо). ЬЯ1(у\)). Интересно, что «инвариантность» /С-монотонности относительно замены весов — практически эксклюзивное свойство ^»-пространств. Так, в работе [36] доказана следующая теорема (здесь и далее, мы приводим результаты других авторов в той формулировке, которая наиболее удобна в контексте рассматриваемых проблем):
Теорема I (Цвикель, Нильсон, [36, теорема 0.3]). Пусть X — насыщенная порядково непрерывная банахова решетка со свойством Фату. Следующие утверэ/сдения эквивалентны:
1) Пары (АЦюо), Х(хи\)), (Х(уо), Х(у\)) равномерно относительно /С-монотонны с константой, не зависящей от выбора весов щ, ю\, г>о, У\;
2) X — Ьр(/) для некоторого веса / и р Е [1; оо).
Более общие утверждения получены в недавней статье [31]. Среди результатов по /С-монотонности отдельных семейств банаховых пар выделим рабо-ты [35] (пары (Хв0:Р„.,ХвиП) и {АТ>Ф, Ь^)), [30] (пары {ЬиМр), (Мр,
Дх>), ГДе
Мр — пространство Марцинкевича), [24] (пары пространств Липшица), [25] (асимптотика так называемых «констант Кальдерона» для некоторых пар конечномерных пространств). Основополагающие результаты по/С-монотонности пар пространств последовательностей и симметричных функциональных пространств были получены Н. Калтоном в работе [41]. Также упомянем работы, непосредственно связанные с темой настоящего исследования: [51]
(«усиленная» /С-монотонность весовых пар и инвариантность относительно сдвига), [15] (критерий /С-монотонности весовых пар банаховых решеток). Наряду с положительными результатами, в настоящее время известны многочисленные примеры пар, не являющихся /С-монотонными: (2/, И/1,р), где \У1,Р — пространство Соболева ир > 2 [34, с. 218], Ь\-\-Ь00) [11] (см.
также [46]), различные пары пространств Орличаи весовых пространств последовательностей [41]. Чрезвычайно важным результатом, во многом стимулировавшим дальнейшее изучение /С-монотонных пар, стало доказательство Ю.А. Брудным и Н.Я. Кругляком теоремы о Х-дслимости [5]; обсуждение этой теоремы, а также связанных с ней работ М. Цвикеля см. в предисловии ко второй главе.
Несмотря на большое количество публикаций, до сих пор многие проблемы /С-монотонности остаются нерешенными. Вопрос, который будет интересовать нас в первых трех главах диссертации, можно сформулировать следующим образом: можно ли получить аналоги теорем Цвикеля-Нильсоиа из [36] и [31], если вместо всех весов рассматривать конкретные веса, либо некоторые классы весов? Для того, чтобы более предметно обсудить результаты, нам необходимо дать основные определения из теории интерполяции, а также определения, связанные со свойствами так называемых нормированных решеток. Чтобы не перегружать чрезмерно этот раздел, те понятия, которые могут быть в той или иной степени отнесены к одной из глав диссертации, приводятся в предисловии к соответствующей главе. Так, описание симметричных пространств Лоренца и Марцинкевича можно найти в главе 3, а определение пространств последовательностей — в первой главе. Большая часть определений заимствована из монографий [8], [4], а также книги [7|.
Пусть Хо, Хх — два банаховых пространства с нормами || • ||0 и || • соответственно. Будем говорить, что набор (Хо, X*) составляет банахову пару,
если Хо и Х\ алгебраически и топологически вложены в некоторое отделимое топологическое векторное пространство. В этом случае мы можем определить пересечение и сумму пространств
Хо П Х\ := {х : х 6 Хо, х 6 Х^};
Хо + Х\ := {я : Зхо 6 Хо, х\ £ Х\: х = яо + £1}
6
с нормами
INUonx, :=max(||x||0,|Nli);
IklUo+x, := inf (ll^ollo + ll^illi)
X=XQ+X\
причем и сумма, и пересечение оказываются банаховыми пространствами [4, лемма 2.3.1]. Далее, пусть (Xo,Xi), (Vo,Vi) ~~ две банаховы пары, а X, У — промежуточные банаховы пространства относительно (Xo,Xi), (VbjVi), соответственно, то есть имеют место непрерывные вложения
ХоПХгСХ СХо + Хг;
YqDYi СУ СУ0 + Уь
Будем говорить, что X, Y — интерполяционные пространства относительно (Хо, Xi), (Уо, Vi), если для любого линейного оператораТ : Xq+Xi —> Уо+Уь сужения которого на X* ограниченно действуют в У, г = 0,1, сужение Т на X ограниченно действует в У. Оказывается, что ||Т||х->у < С тах(||Т||х,—>у)
t"0,l
для С, не зависящего от Т (см., например, [4, теорема 2.4.2)). Если необходимо подчеркнуть значение этой константы, X и У называют С-интерполяционными. Если можно С взять равным единице, то соответствующие пространства называют точными интерполяционными. В том случае, когда Хо — Уо? Xi = Y\ и X = У, говорят, что X — (точное) интерполяционное пространство относительно (Х0, Xi).
Для данной банаховой пары (Xo,Xi) определим эквивалентную норму на сумме пространств (X-функционал Петре):
JC(s,x,X0lXi) := inf (IMIo + s||*i||i), s> 0.
I=X0+Zl
Будем говорить, что промежуточные пространства^, У К -монотонны относительно (Х0, Xi), (Уо, У\) (с константой С) если для любых элементов a; G X И У £ Уо + Vi, таких, что
fc{s,y,Yo,Yi) < IC(a,x,Xo,Xi), s > 0, (1)
выполнено у £ У и ПуПv < С\\х\\х. Несложно видеть, что Х-монотонные пространства являются интерполяционными (с той же константой) [50, теорема 1.1). В том случае, когда любые интерполяционные пространства относительно (Xo,Xi), (Уо,У1) являются Х-монотонными (с некоторой константой), пары (Хо, Xi), (Уо,У1) называют относительно К-монотонпыми,
7
или относительными парами Кальдерона-Мит ягина Если мы можем добавить дополнительное ограничение на константу /С-монотонности (всякие А-интерполяционные пространства АС-Х-монотонны), (Xo,Xi), (УсьУО на_ зываются равномерно относительно К,-монотонными (с константой С). Отметим, что последнее определение можно переформулировать следующим образом (см., например, [26, теорема 4.4.5], [31, замечание 1.31]): для любого с > 0 и любых х € Х0 + X], у 6 Уо + Уь удовлетворяющих неравенству (1), существует линейный оператор Т : Хо -Ь Х\ —> Уо + Уь такой что шах(||Т||х,-^у;) < С е и Тх = у. Указанные определения Х-монотон-
1 “”0j 1
ности естественным образом модифицируются в случае Хо = Уо, Х\ — У], X = У: пара (Х0, Х\) называется (равномерно) Х-монотонной, если (Хо; Xi), (X0,Xi) (равномерно) относительно Х-монотоины. В диссертации не рассматриваются Х-монотонные пары, не являющиеся равномерно /С-монотонными (примеры таких пар до сих пор не найдены), поэтому термин «/С-монотонность» всегда будет использоваться в значении «равномерная Х-моно-тонность».
В дальнейшем будем говорить об операторе, что он действует из пары. (X0,Xi) в пару (УЬ, Уг), если он определен на сумме Хо 4- Х\, ограничен из Хо + Х\ в У0 + У и его сужения на X* ограниченно действуют в У*, г = 0,1. Также введем обозначение
||Т,||№,л-1)->(к„,У1) := тах(||Г||х,^у;).
Пусть (Т, И, р) — пространство с а-конечной мерой, Т — пространство всех п.в. конечных вещественных измеримых функций на нем. Нормированное пространство X с элементами из Т будем называть нормированной решеткой, если для любых / € X и g € Т, таких, что |#(/)| < \f(t)\ п.в., выполняется g Е X, |Ы|х < II/ILy- Отметим, что это определение тождественно определению нормированного идеального пространства (НИП) [7, гл. IV, § 3|. Полная по норме нормированная решетка называется банаховой решеткой. В диссертации будут рассматриваться исключительно насыщенные банаховы решетки, то есть такие, что для любого множества А £ £ с положительной мерой найдется измеримое подмножество А' С А, рА! > О, для которого ха' £ X (где, как обычно, хл' — характеристическая функция множества Л'). Другими словами, носитель решетки X совпадает с Т. Будем
8
называть банахову решетку X порядково полунепрерывной[ если для любых неотрицательных хп Є X, поточечно возрастающих к х Є X, выполнено ||Яп||х —>■ ||я||х« Если, более того, для любой поточечно убывающей к нулю последовательности неотрицательных функций хп выполнено ||sn|U —> 0, то X порядково непрерывна. Наконец, X обладает свойством Фату, если для любой поточечно возрастающей последовательности неотрицательных функций хп Є X, таких, что lim|brn|hr < оо. функция x(t) := lim:r„(£) также
TI П
принадлежит X, причем \\х\\х = lim ||xn||,Y. Отметим, что банаховы решетки, определенные на одном пространстве с мерой, всегда совместимы [31, замечание 1.41], то есть составляют банахову пару. Для банаховой решетки X определим дуальное пространство X' как множество линейных непрерывных функционалов на X вида
fx>{x) := Jx(t)xf(t)dp, х € X, (2)
Т
где х' — произвольная измеримая функция на Т, для которой интеграл в (2) конечен для любого х Є X. В X' можно определить норму по формуле [7, с. 264]
WfAx’ := sup
: х Є X, \\х\\х < 1
Т
Известно, что X' — банахова решетка со свойством Фату [7, теорема VI. 1.2], причем X” = X (с равенством норм) в том и только том случае, когда X обладает свойством Фату [7, теорема VI.1.7].
Пусть (Т, £, р) — некоторое пространство с ст-коггсчной мерой. Весовой функцией (или весом) назовем и.в. строго положительную п.в. конечную измеримую функцию на (Т, 2,д). Вес ги будем называть нетривиальным, если не существует такого С > 0, что С“1 < іс(г) < С п.в. на Т. Для нормированной решетки X и веса ги X (ш) обозначает весовое пространство, то есть нормированную решетку всех измеримых функций гс на (Т, Е,/і), таких что хіи Є X, с нормой
ІМІВД := ІМІХ-
Очевидно, если X является банаховой решеткой, которая порядково полунепрерывна (порядково непрерывна, имеет свойство Фату), то аналогичные свойства справедливы для Х(ги).
9
Пусть Т = Z, Т = N или Т = К. Будем говорить, что нормированная решетка X функций на (Т*. Е. /х) инвариантна относительно сдвига, если
I Ы\х
sup
x.h
< оо.
где х/і(/.) := ж(£ — Л), £ Є Т, и супремум берется по всем ненулевым векторам х Є X и к Є Т (когда Т = ^ или Т = М), либо к Є X (когда Т = К); в последнем случае мы полагаем тл(£) = 0, если £ — к < 0.
Мы завершаем вводную часть списком обозначений, которые будем регулярно использовать в тексте. Запись «X = У» для нормированных решеток X и У означает, что X и У определены на одном пространстве с мерой, содержат одни и те же измеримые функции, и нормы этих функций в X и У эквивалентны. Про такие пространства будем говорить, что X совпадает с У. Для удобства каждую измеримую функцию х на пространстве с мерой (Т, Е, /х) будем считать «доопределенной» на Е, другими словами, х(Е) есть образ множества Е на Е для любого Ее Е. Приводимая ниже таблица содержит символы и их значения.
Множество целых неотрицательных чисел Множество целых отрицательных чисел Полуинтервал [0; оо)
Наименьшее целое число, большее или равное а Наибольшее целое число, меньшее или равное а Количество элементов в множестве 1 С Z Элемент max-fn.: п Є 1} (по аналогии определяется mini) Носитель измеримой функции х на (Т, Е, /х), то есть множество {teT : x(t) ф 0}
Оператор проектирования на множество Е\ Рех := х\е для любой измеримой функции х на соответствующем пространстве с мерой
Функции fug эквивалентны с константой С > 0, то есть С"1/ < g < Сf почти всюду на области определения. В том случае, когда значение константы неважно, будет использовать-ся обозначение / ~ д. Символ «~» также будет применяться для чисел
L({en}) Линейная оболочка векторов {еп}.
Z+
z_
R+
Гаї
И
card! maxi supp x
Ре