Методы кусочно-полиномиальной аппроксимации в теории пространств Никольского-Бесова

Оглавление
Введение 5
1 Основные свойства кусочно-полиномиальных приближений 35
1.1 Почти диадические разбиения и почти диадическое дерево . . 36
1.2 Специальные диадические разбиения 44
1.3 Локальные полиномиальные приближения н их свойства . . . 48
1.4 Сравнение локальных приближений в разных нормах 53
1.5 Сравнение кусочно-полиномиальных приближений с разными
степенями 57
1.6 Сравнение кусочно-полиномиальных приближений, подчинен-
ных разным специальным диадическим разбиениям 60
1.7 Связь между кусочно-полиномиальными приближениями . . . 63
2 Диадические пространства Никольского-Бесова и их свой-
ства 79
2.1 Определение диадических пространств 81
2.2 Описание функций из В™(Р) 83
2.3 Диадические производные 89
2.4 Эквивалентные квазинормы 93
2.5 Теоремы вложения 98
2.6 К - функционалы и интерполяция диадических пространств . 103
2.7 Интерполяция пространств В^(Р) и В^(Р) 109
2.8 Связь диадических пространств, построенных но разным раз-
биениям 113
3 Аппроксимациопные характеристики диадических пространств 115
Оглавление
3
3.1 Приближение кусочно-полиномиальными функциями с нефиксированными узлами ^случай Л > с1 ^ ^
3.2 Приближение кусочно-полиномиальными функциями с нефиксированными узлами ^случай А = ^ (р — ^))..................
3.3 Приближение в почти диадическом пространстве В МО (Г) . .
3.4 Неравенство типа неравенства Бернштейна.....................
3.5 Описание пространств #р(А) в терминах приближения в Ьц или ВМО(Е)......................................................
3.6 Диадические пространства Лизоркииа-Трибсля .................
4 Приложение в классическом анализе
4.1 Модуль непрерывности и его свойства.........................
4.2 Связь полного и частного модулей непрерывности..............
4.3 Построение гладкого сплайна.................................
4.4 Классические пространства Бесова и их связь с диадическими
4.5 Эквивалентные квазинормы....................................
4.6 Теоремы вложения............................................
4.7 О связи классической и диадической производной..............
4.8 А'-функционал нары В-пространств............................
4.9 А'-функционал пары (Ьр} \Ур)................................
4.10 Неравенство типа неравенства Бернштейна....................
4.11 Неравенство тина неравенства Джексона......................
4.12 Еще об эквивалентных квазинормах...........................
116
128
139
150
160
165
168
171
178
180
187
189
201
203
208
216
225
234
248
Введение
Актуальность темы. Теория пространств функций обобщенной гла*цк0сти является интенсивно развивающейся областью исследований, активно взаимодействующей со многими разделами современного анализа (теория ф>упк_ ций многих вещественных переменных, теория дифференциальных Уравнений в частных производных, теория приближения, гармонический anajJJl3 J{ др.) При этом изучение каждого из классов пространств, являющихся основными объектами теории, основывается на использовании базовых методов современного анализа. В частности, в теории пространств Никольского -Бесова основными средствами исследований являются приближение целыми функциями экспоненциального типа, интегральные представления, сингулярные интегралы, локальные приближения многочленами, гармонический анализ, теория нелинейного потенциала и др. По этому поводу см., и частности, монографии С. М. Никольского [1|, О. В. Бесова, В. 17. Ильина, С М Никольского |2|, И. М. Стейна |3], X. Трибеля [4), D. Adams, L. Hedberg [5] а также статью Ю. А. Брудного [6].
В свою очередь решение актуальных проблем теории стимулирует появление новых концепций, методов и результатов, имеющих общематематиче-скос значение.
Цель работы. В настоящей работе предложен новый подход к изучению пространств Никольского-Бесова, который состоит из двух этапов На первом этапе, мы вводим и детально изучаем свойства диадических аиа логов пространств Никольского - Бесова, которые определяются с помощью кусочно-полиномиальной аппроксимации на подмножестве почти диадиче-ских кубов. Благодаря более простой структуре при изучении этих пространств наряду с классическими методами мы применяем разработанные автором комбинаторные алгоритмы. Эти алгоритмы могут быть использованы в прикладных задачах (распознавание образов, сжатие информации)
Введение
б
На втором этапе мы изучаем связь между диадпчес.кпмп и классическими пространствами Никольского - Бесова и на этой основе доказываем ряд известных и новых результатов для классических пространств.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Для их изложения нам потребуются некоторые определения. Одним из центральных понятий работы является диадическое пространство Никольского-Бесова, с определения которого мы и начнем.
Обозначим через Дг семейство замкнутых диадических кубов из ф0 = [о, 1]** с длиной ребра 2~п. Определим наилучшее приближение функции / € £Д(?о)> 0 < р < ос с помощью кусочно-полиномиальных функций вида 9оХс), где дд является полиномом степени не более к — 1 по каж-
дой из (І переменных, а хд обозначает характеристическую функцию куба С?. Обозначим эту величину через е*(/, Т)п)р. Таким образом,
где нижняя грань взята по всем наборам полиномов дд. Здесь и всюду ниже
Тогда диадическое пространство Никольского - Бесова, построенное по семейству Д определяется с помощью нормы (квазинормы при 0 < р < 1)
здесь £) = {!)„, п = 0,1,...} - семейство диадических кубов.
Чтобы мотивировать это определение, напомним результат Ю. А. Брудного (7], который показал, что если в этой формуле 1)п заменить на произвольное семейство замкнутых попарно непересекающихся кубов с длиной ребра 2~п и взять верхнюю грань по всем таким семействам, то получится величина эквивалентная (квази)нормс классического пространства Вр°, определяемого с помощью /с-модул я непрерывности.
По ряду причин нам удобно расширить эту шкалу, заменяя семейство {ДП|п = 0,1,...} па семейство {Д, п = 0,1,...} почти диадических квазикубов. Для их определения будем пользоваться особыми разбиениями куба
е*(/,Л,)р = тЛІ/- УаХ(}\\ір,
ОЄА,
Ь, = іДЄо).
(1)
Я О-
Введение
В этой работе для краткости будем называть -разбиением куба Qq множество замкнутых параллелепипедов, внутренности которых попарно не пересекаются, а объединение дает Qq.
Положим F() = {Qo}j разбиения FUfn > 1, состоят из замкнутых параллелепипедов, получающихся при делении Qq гиперплоскостями, параллельными координатным гиперплоскостям и удовлетворяющих условиям:
1) длины ребер параллелепипедов из Fn эквивалентны 2"п с фиксированными константами эквивалентности, не зависящими от п. В дальнейшем такие параллелепипеды будем называть квазикубами;
2) для любого квазикуба Q € существует единственный квазикуб Q' е Fn такой, что Q С Q'.
Разбиение Fn будем называть почти диадическим разбиением порядка п. Семейство F — {!'],. п — 0,1,...} будем называть почти, диадическим семейством. Отметим, что диадичеекое семейство является частным случаем этого понятия.
Заменяя в (1) Dn на F,,, мы получим определение диадического пространства Ыикольского-Бссова Bp°(F)) построенного по семейству F. Далее диагональное пространство B*P(F) будем обозначать Bp(F).
Еще одним объектом, изучаемым в диссертации, является пространство функций с ограниченной средней осцилляцией, построенных по семейству F. В дальнейшем это пространство будем обозначать BMO(F). Отметим, что когда F совпадает с семейством диадических кубов D, это пространство впервые было введено в работе Дж. Гарнета [8] и изучено многими авторами. Укажем в частности, что один из наиболее глубоких результатов в этой области получен в статье J.Garnet, P.Jones |9j.
Далее изложим новые результаты, которые получены в работе. Прежде всего отметим серию результатов, в которых изучаются основные свойства кусочно-полиномиальных приближений, построенных по почти диадическим разбиениям. Доказаны теоремы, в которых сравнивается скорость приближения кусочно-полиномиальными функциями в разных нормах, построенными по разным разбиениям, с разными степенями многочленов, составляющих кусочно-полиномиальные функции.
Основываясь на этих результатах и развитой при их доказательстве технике, мы подробно изучаем свойства диадических пространств Никольского-Бесова (теоремы вложения, интерполяционные теоремы, порядок диадиче-
Введение
8
ской гладкости).
Существенную роль при доказательстве играют комбинаторно-геометрические свойства дерева, порожденного почти диадическими разбиениями. Основная теорема, использующая эти свойства, дает разбиение дерева с конечным множеством выделенных п вершин в виде объединения 0{п) попарно непересекающихся путей.
С помощью этой теоремы, мы конструируем алгоритмы, которые дают два центральных результата работы: теорему о нелинейной аппроксимации и неравенство типа неравенства Бернштейна.
Первый из этих результатов оценивает скорость приближения функции
из Вр(Р) в метрике пространства ЬГ1) 0 < р < (7 < оо или 0 < р < 1,
п
(] = оо с помощью кусочно-полиномиальных функций вида УZPQiXQit гАе
► г—1
рд. - полиномы, а. С}1 - квазнкубы из В. Здесь и всюду ниже Л - это предельный показатель, который определяется равенством Л = (1(^ — ^). В случае, когда р > 1л/ = оо аналогичный результат верен в метрике пространства ВМО(В).
Особенностью этой теоремы является тот факт, что скорость приближения остается такой же, как если бы мы приближали эту функцию в более слабой Ьр - метрике (эффект нелинейной аппроксимации).
Вторая теорема, неравенство типа неравенства Бернштейна, дает оценку
Вр(Р) - (квази)нормы, вообще говоря, разрывной кусочно-полиномиальной п
функции Яп = Оу € -Р через ее (квазн)норму в пространстве Ь(Г
г—1
Этот результат основан на алгоритме в каком-то смысле обратном к ап-проксимационному алгоритму предыдущей теоремы. Отметим, что его можно рассматривать, как обращение теоремы вложения Вр(Р) в Ья.
Используя эти результаты, мы получаем описание диагонального пространства в терминах нелинейного приближения кусочно-полшюмиальными функциями.
Диадические В-лространства тесно связаны с классическими В-пространствами. Как доказано в диссертации, каждое диадическое пространство содержит соответствующее классическое, а для малых гладкостей эти пространства совпадают. Для остальных гладкостей В*° является пересечением конечного числа днадических В-пространств с подходящим образом подобранными семействами разбиений I7. Благодаря этому мне-
Введение
9
гис трудные результаты для классических пространств удалось получить из аналогичных существенно более просто доказываемых результатов для диадических пространств либо с помощью алгоритмов, развитых в теории диад11ческпх пространств.
Отметим некоторые из основных результатов, установленных подобным образом.
1) Теорема о нелинейной аппроксимации сплайнами функций из пространства В£ в метрике пространства Ья, где Л = с1- ^ , 0 < р < с\ < оо или 0 < р < 1. <7 = оо.
Отметим, что вопрос о приближении функций из пространства р > 1 остается открытым.
Трудность доказательства этой теоремы классическими методами состоит в том, что граф пересечений носителей В-сплайнов, которые участвуют в разложении функции / с В*, носит сложный характер. Поэтому предварительно представляем этот граф в виде объединения попарно непересе-кающихся с{(1) деревьев, порожденных почти диадическими семействами. Это позволяет разбить / на сумму с(с1) функций, а затем к каждой из этих функций применить слегка модифицированный алгоритм, разработанный для диадических пространств.
2) Неравенство тина неравенства Бернштейна для функций $п, которые являются линейными комбинациями п гладких ^-сплайнов.
Для доказательства этого неравенства используется аналогичное неравенство для диадических пространств и интерполяционная техника.
3) Конструктивная характеристика пространства В* в терминах нелинейной аппроксимации сплайнами в метрике пространства Ьч или В МО.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседании следующих научных семинаров:
- Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, семинар под руководством профессора В. М. Тихомирова (сентябрь 2008);
- математического института им. В.А. Стеклова, семинар под руководством академика С.М. Никольского (октябрь 1998, ноябрь 2008).
- Российского университета дружбы народов, факультет физико-математических и естественных наук, семинар под руководством чл.-корр.
Введение
10
РАН В.Д. Степанова и профессора А.Л. Скубачевского.
ГГо материалам диссертации были сделаны доклады на следующих конференциях:
- международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященной 75-летию члена корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, Москва, март 199S;
- международной конференции ’Теория приближений и гармонический анализ”, Тула, май 1998;
- international Conference ”Optimization of finite element approximation, splines and wavelets”, St.Petersburg, June 2001:
- international Conference ’Wavelets and splines”, St.Petersburg, July 2003;
- международной конференции ’’Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ”, посвященной столетию С.М. Никольского, Москва, май 2005;
- международной конференции ’’Современные проблемы математики, механики, информатики ”, посвященной 85-летию профессора С.Б. Стечкина, Тула, ноябрь 2005;
- международной конференции ’’Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования”, посвященной 85-летию члена-корреспондснта РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева, Москва, март 2008;
-international Conference ’’Wavelets and splines”, St.Petersburg, June 2009.
- международной конференции ’Теория приближений”, Санкт-Петербург, май 2010.
Основные публикации по теме диссертации
1. Иродова И.П. О свойствах шкалы пространств В*в при 0 < р < \// Докл. АН СССР. 1980. т. 250. № 2. с. 273-275.
2.Иродова И.П. Свойства функций, заданных скоростью убывания кусочно-иолииомиалыюй аппроксимации// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1980. с. 92-117.
3. Иродова И.П. О свойствах шкалы пространств В™ при 0 < р < 1// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1982. с. 57-79.
4. Иродова И.П. Совместное приближение функции и се производных в
Введение
11
Ьр([0,1]п) с помощью нелинейных сплайнов// Ярославль. 1982. с. 23. Рукопись представлена Яросл. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 15 марта 1982, К* 1135-82.
5. Иродова И.П. Обобщение неравенства Марию// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1984. с. 64-70.
6. Брудпый Ю.А., Иродова И.П. Нелинейная сплайн-аппроксимация и В-иространства// Тр. Между нар. конф. по теории приближений. Киев. 1983. М: Наука. 1987. с. 71-75.
7. Брудный К).А., Иродова И.П. Нелинейная сплайн-аппроксимация и В-пространства// Алгебра и анализ. 1992. т. б. с. 45-79.
8. Иродова П. П. О неравенствах Джексона и Бернштейна для диадиче-ских пространств Бесова// Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула. 1998. т. 4. вып. 1. с. 83-86.
9. Иродова И.II. Некоторые свойства диадических пространств Бесова// Фупкц. ир-ва. Дифф. операторы. Проблемы мат. образования. Труды между«. конф. Упив. дружбы народов, т. 1. Москва. 1998. с. 78-81.
10. Иродова И. П. Диад пески с пространства Босова// Алгебра и анализ. 2000. т. 12. вып. 3. с. 40-80.
И. Иродова И.II. Об описании модуля непрерывности в терминах кусочно-полиномиальной аппроксимации// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 2005. т. 11. вып. 1. с. 148-155.
12. Иродова И.Г1. О вычислении /^-функционала пары В-пространств// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 2006. т. 12. вып. 1. с. 109-123.
13. Иродова И.П. О диадических пространствах Никольского-Бесова и их связи с классическими пространствами// Мат. заметки, т. 83. вып. 5. 2008. с. 683-696.
14. Иродова И. П. О неравенстве типа неравенства Бернштейна// Моделирование и анализ информационных систем. 2008. т. 15. Я2 4. с. 31-41.
15. Иродова И. П. Диадические производные и их свойства// Известия Тульского Государственного университета. Серия естественных наук. Тула.
2008. вып. 1. с. 29-36.
16. Иродова П.П. О вычислении К-фуикционалов// Алгебра и анализ.
2009. т. 21. № 4. с. 95-125.
17. Иродова И. П. О неравенстве типа неравенства Джексона в диади-
Введение
12
ческом пространстве ВМО//Моделнрование и анализ информационных систем. 2009. т. 16. № 3. с. 29-16.
Основное содержание работы.
Перейдем к более подробному изложению результатов.
Напомним, что локальное приближение многочленами функции / 6 Ьр, 0 < р < оо является функцией множества У »—> Ек(/, У)р, У С ф0 опреде-ляемой формулой
Еки,У)р-.= Ы\\}-д\\Ыуу
Здесь Рь - пространство полиномов степени не более /с — 1 по каждой из с1 переменных.
Начнем с результата, где оценивается локальное приближение полиномами в одной норме через локальные приближения в другой норме. Очевидно, если 0 < р < < оо, то это легко сделать, используя неравенство Гельдера:
Ек(/,У)Р < \У\1~Ь ■ Ек{/,У)Ч,
здесь У € Р.
Однако оценить #*(/, У)я через локальные приближения в Ьр значительно сложнее. Для этого потребуется использовать все квазикубы <2 из Р, вложенные в У. Чтобы сформулировать соответствующий результат, для произвольного квазикуба У из почти диадического семейства Р символом Рп(У) обозначим разбиение У на квазикубы <3 € длина ребра которых « 2~п|У|з. В частности, Рп(<3о) = Рп- Далее обозначим через Р&(П) пространство кусочно-полиномиальных функций, подчиненных разбиению ГГ,
то есть функций вида ГД° <7<2 £ Р*- Наконец, символом е*(/, П)р
деп
обозначим наилучшее приближение / функциями из множества РДП) в пространстве Ьр.
Теорема 1. Пусть / € Ьд(У), А = — ^), 0 < р < д < оо. Тогда.
<7^ я
В доказательстве теоремы 1 используем подход, предложенный
10. А. Брудиым в [10]. Он заключается в замене функции / ее перестановкой
/\
£*(/, У\ < с
2п)Ае*(/,ЩУ)),
Введение
13
Как следствие из теоремы 1 можно получить более слабый результат, который, однако, нагляднее демонстрирует связь локальных приближений в разных нормах.
Следствие 1. Пусть / Е ЬЧ(У), У Е И, 0 < р < у < оо. Тогда
Еки,У),<с-1 £ (|<Э1*“*ВД,<Э)Р)Р
\Qcyg6F
Отмстим, что теорема 1 неверна при <7 = оо. Однако можно получить такой результат.
Теорема 2. Пусть / € Ьоо(У ). У Е F. Тогда
ВД ОД
п=0 \QeFniY) т
Здесь 0 < р < оо
Результат, приведенный в следующей теореме, можно рассматривать как диадический аналог неравенства, типа неравенства Маршо. Он дает возможность сравнить скорости приближения кусочно-полиномиальными функциями с разными степенями. Пусть здесь и всюду ниже р* = гпіп(1,р).
Теорема 3. Для к < т имеет место неравенство
е*(/ - Р&И), Рп)„ < с • 2~пк ^ 2'^ет(/, ОД’
Здесь Р$0(/) - многочлен наилучшего приближения функции / на кубе Я о из пространства Рт.
Чтобы сформулировать очередной результат, нужно ввести понятие специальных диадичееких разбиений.
Пусть х - вершина куба Оо- От С?() перейдем к кубу Ях, который получается гомотетией <2о относительно вершины х с коэффициентом 3. Куб Ях разделим на 2п(і равных кубов, а затем возьмем пересечение этих кубов с кубом Я(). Получившееся разбиение Яо на параллелепипеды обозначим
і
р*
Введение
14
Рп(х) . В дальнейшем разбиения Рп{х) будем называть специальными диа-дическими разбиениями, а Г(х) будем называть специальным диадическим семейством.
Специальные диадические разбиения в некотором смысле универсальны. С их помощью, например, можно описать к-й модуль непрерывности и, как следствие, сравнить диадические и классические пространства. Поэтому важно изучить, как связаны скорости приближений кусочно-полиномиальными функциями, подчиненными разным специальным диади-ческим разбиениям.
Теорема 4. Пусть / € Ьр, 0 < р < со и х, у - вершины куба С^о, тогда
Покажем теперь, как можно оценить скорость приближения кусочнополиномиальными функциями, подчиненными специальным диадическим разбиениям через равномерные кусочно-полиномиальные приближения ІІп. Хотя по постановке задача похожа на предыдущую (переход от одного разбиения к семейству разбиений другого рода), способы доказательства этих результатов совершенно различны. Это объясняется тем, что равномерные разбиения Цп (в отличие от Оп = V2») не являются диадпческими, что значительно усложняет доказательство. Теорема, которая сформулирована ниже, позволяет получить повое интересное свойство модуля непрерывности (см. теорему 21, свойство 3).
Теорема 5. Пусть Пп{х) специальное диадическое разбиение. Тогда
здесь 0 < р < оо, а через IIг обозначено разбиение куба С^о, состоящее из
Вторая глава начинается с определения диадического пространства
ек(/, ад)р <с \ ек(/, и2.)„ + 2- ■ X] е,;(/, иг)1
г=2п+1
равных кубов с длиной реб]ш
Введение
15
Определение 1. Диадическим пространством Никольского-Бесова Вр°(Б), построенным по почти диадическому семейству Б, называется множество функций из Ьр, для которых конечна величина
здесь к > Л > 0 и 0 < р,в < оо. Квазинорма в В*°(Р) определяется равенством
жеиный при р > 1 О. В. Бесовым (см., например, [11)). Отличие состоит в том, что в [11] свойства функций описываются в терминах приближений целыми функциями экспоненциального типа, а сейчас приближать будем кусочно-полиномиальными функциями.
Отметим, что в силу теоремы 3 квазинормы в В™ (Б) при различных к > А эквивалентны. Этим объясняется отсутствие параметра к в определении пространства.
Дадим описание функций из Вр(Б). Перед тем, как сформулировать результат, обозначим через С}' единственный квазикуб из Бп-\, который содержит или совпадает с С) £ Бп. Пусть (% будет пустым множеством. Кроме того, через /%(/) обозначим многочлен наилучшего приближения функции / из пространства в норме пространства Ьр((5).
Теорема 6. Функция / из Ьр принадлежит пространству Вр°(Б), к > А > 0, 0 < р. 0 < оо тогда и только тогда, когда
а)
(сходимость в Ьр)\
Ь) конечна величина
1<т-. р) := £ 2"А" ( £ \\PqU) - РаШ1ЛЯ)
^71=1 \QCFn
/
Кроме того,
Введение
16
Далее приводятся еще две эквивалентные перенормировки В-ироотранств, которые полезны в приложении.
Теорема 7. Пусть к > Л > 0, 0 < 0,р < оо. Тогда следующие квазипор-мы эквивалетпны квазинорме К1У(/. Д1) := ||/||
ос
і
1) KNzif, F) := Е (2иЛ||р„ - Sh-ilk,)
\n-0 /
где gn = 9n(f) - кусочно-полиномиальная функция из пространства Pk(Fn), которая является наилучшим приближением J в пространстве Вр, Я— 1 —: О/
2) KN3(f, F) := inf (Е (2пЛ||<р„ - ^„-,11^)°^ ,
^п=0
здесь нижняя грань взята по всем представлениям / в виде ряда
оо
п=О
где уп € Рк^п), Iр-1 = 0.
Все приведенные выше квазииормы были описаны в терминах приближения в пространстве Ьр. Оказывается, можно написать эквивалентную квазинорму, в которой функции будут приближаться в более широком пространстве ЬГл 0 < г < р < оо.
Теорема 8. Функция / из Ьр принадлежит В£°(Р) тогда и только тогда, когда конечна величина
KlMJ, F) :=
/ /
оо
Е
71—0
i/л Л
1/е
\
2пЛ I £ |Q|i“J£5b(/,Q)?
Q€Fn
+
причем А'Д’Д/. Р) эквивалентна квазинорме /ОУ(/, В). Здесь к > Л > 0, 0 < г < р < оо, 0 < 0 < оо.
Впервые аналогичный результат для классического пространства Бесова в случае р > 1 другим методом получен Ю. Л. Брудным в [в].
Позднее (теорема 18) будет приведена еще одна эквивалентная квазинорма, где приближение будет осуществляться із более узком пространстве
ьг
Введение
18
Следующий раздел работы связан с /С-функционалами и интерполяционными теоремами. Приведем здесь результат, относящийся к случаю различных показателей интегрируемости.
Теорема 12. При интерполяции вещественным методом имеет место изоморфизм
№(пв%(п)в1„ = в$: (п
здесь А в = (1 - д)Л0 + 0Аь д- = 101 + 0} о < о < 1; Л0.А] > О, 0< ро,Р\ < оо.
Для формулировки очередного результата введем понятие диадической производной. Пусть / Є Ьр, О < р < оо. Через ір,і обозначим кусочнополиномиальную функцию из Рк{Ри). Тогда
Ч>П = Р0Х<3-
Будем считать, что
°Р(Рп := X)
Пусть / Є Ьр, 0 < р < оо. Через дп = дп(/) обозначим кусочнополиномиальную функцию из Рк(Рп) такую, что
II/ - 9п\кг = <йв*і,(/,-Р*(Єп)).
Отметим, что дп может быть не единственной функцией при 0 < р < 1.
Определение 2. Будем говорить, что / обладает Р-диадической производной порядка р, если существует такое к > \Р\, что последовательность Р;'дп(/) сходится относительно нормы пространства Ьр и этот предел не зависит от выбора £„(/). Предел последовательности Р’дп(1) обозначим Прк/.
Заметим, что Г-диадическая производная функции / из Вр°(Р) не зависит от /с, если к > А.
Теорема 13. Если / € Вр°(Р), то для любого к > А существуют Р-диадические производные порядка р, \р\ < А и
І^Аг/Ів*-!«'«^) - с '
Введение
19
В последнем результате главы 2 устанавливается связь между диаднче-скими пространствами, построенными но разным специальным диадичееким семействам.
Теорема 14. Если 0 < Л < то для любых специальных диадических семейств Р(х) и Р(?/)
(*)) = дАЙ(Пз/))-
Третья глава посвящена изучению аппроксимациоиных свойств диадических ^-пространств. Для формулировки первого результата главы дадим определение класса приближающих функций.
Определение 3. Будем говорить, что Ф Є РР£(Е), если существует разбиение ПЛ куба (Зо> состоящее из не более п квазикубов из Р, такое, что Ф на каждом <3 из Пп является многочленом из Р*.
Таким образом, кусочно-полиномиальная функция Ф из РР£(Р) имеет вид
т
ф =
/=1
где квазикубы Є Б, Я і П Яз = (}=£ з) и СІ Я і = Я о, ш < п.
і=і
Теорема 15. Пусть / Є В™(Б), А = д ^ — 0 4- г, г > 0 и О < р < <7 < оо. Тогда для любого натурального п существует кусочно-полиномиальная функция фп = фп{/) из РР£(Р), к > А такая, что
|Р^(/ - «II, < с •
здесь |7| < г и к > X.
Впервые результат о нелинейной аппроксимации был получен в ставшей уже классической статье М. Ш. Бирмана и М. 3. Соломяка [12]. В ней функции из пространства Соболева-Слободецкого (Яо), V > 1 приближались функциями из множества РР"(Р). Теорема 15 является аналогом результата М. Ш. Бирмана и М. 3. Соломяка. Отметим, в отличие от результата статьи [12] сейчас одновременно можно приближать функцию и ее производные.
Введение
20
Для построения функции фп используем адаптивный алгоритм приближения, который называют ’’жадным” алгоритмом. Для этого с каждым квазикубом (3 из Р связываем некоторое число ус). Затем выбираем « п квазикубов, которым соответствуют самые большие коэффициенты /2д. Однако выбранные квазикубы не всегда образуют разбиение С}Требуется дополнительная реконструкция, с помощью которой удается построить нужное разбиение .
Отметим, что ’’жадный” алгоритм не работает на’’предельном” показателе. Существуют примеры показывающие, что построенные выше функции фп{}) не сходятся к / при Л = — Чтобы получить аппроксима-
ционную теорему на ’’предельном” показателе, нужно расширить аппарат приближения.
Определение 4. Будем говорить. что функция в -принадлежит Р£ (Р); если существует такой набор квазикубов {<Эь...,<Зт} из Р, т < п, что
7 П
І=1
здесь р(^і Є Ра-
В отличие от множества РР"(Р) на расположение квазикубов {Фь.-чФп} нет ограничений. Например, они могут быть вложены друг в друга. Очевидно, что РР£(Р) С Р/.*(Р).
Теорема 16. Если / є В^(Р), тогда существует кусочно-полиномиальная функция вп Є Р/.'(Р), к > \ такая, что
||/-*піи, <С'п Ц/\Вх{р)‘
здесь А = й^ — ^,0<р<<7<оои0<р< 1, если у = оо. Если о/се (] = оо и р > 1, то пространство Ьч слева нужно заметіть па ВМО\(Р).
Отметим, что доказательство теоремы 16 носит конструктивный характер. На нервом этапе, используя информацию о функции /, находим 0(п) особых квазикубов из разбиения Р. Затем с их номощыо разбиваем дерево, порожденное семейством Р, на попарно непересекающиеся пути. Каждый путь определяет некоторый многочлен. Искомая функция строится из таких многочленов.
Введение
21
Сформулируем теперь результат в некотором смысле обратный результату теоремы 16. Речь идет о неравенстве тина неравенства Бернштейна.
Теорема 17. Пусть А = с1 ^ ^ . Пели 5П 6 Р£(Р), то
кп1в*(л < с-и^ИвпИв,; здесь 0 < р < я < оо, к > X.
В случае Л = д = оо теорему 17 можно усилить, заменив 0) на более широкое пространство ВМО^(Е).
Объединяя предыдущие результаты, можно представить В* (И) как ап-проксимационное пространство, используя нелинейное приближение в Вд или ВМО(Е).
Напомним, (см., например, РеЪгее, Эрагг [13]) что аппрокенмационное пространство Е\#{А,ЬЧ), Л = {Л7, с Ья,п = 1,2,...} определяется как множество функций / € ЬдЛ для которых конечна величина
Е(»*е»(/)*)Ч) +11/И V
п—\ /
где еп(/)д = сИзЬ^(/, Ап).
Теорема 18. Пусть А = (I ^ ^. О < р < ц < ос; 0 < р < 1, если
у — оо. Тогда
В$(Р) = Еь(А(П 1Ч).
Если 0 < р < оо, у = оо, то
В^(Р) = Е>ф(А(Р),ВМО\(Р)У, здесь Л(Р) = {Р£(Р),п = 1,2...}.
Такое описание играет существенную роль при доказательстве теорем вещественной интерполяции. Приведем результат, где интерполируются пространства с различными показателями интегрируемости.
Теорема 19. Пусть А = д ^ 0 < р < у < оо. Тогда
{^^(Р))09 = в^Р).
\\/\\ен,{ам =
Введение
22
Если 0 < р < со, q = оо, то
(BMO\(F),Bp(F))eit = B£(F)-,
здесь в е (0,1), fx - \0, А = + (-1у1.
Если Q < р < I, q = оо, то
здесь О е (р, 1), р = \9, \ = в~>
Отметим, что подобная теорема есть и в классическом анализе. Например, в статье J. Peetre, Е. Svensson [14] решен вопрос об интерполяции пространства В МО и пространства Никольского-Бесова В* при р > 1. Кроме того, из результатов статьи Ю. В. Нетрусова [15] как следствие получается теорема об интерполяции пространства непрерывных функций и при О < р < 1. Способ доказательства, соответствующей интерполяционной теоремы очень сложный.
В финальной части третьей главы отмечается, что можно ввести диади-ческие пространства и других гладких функций. В качестве примера приводятся диадические пространства Лизоркина-Трибеля Lp°(F).
Перейдем к результатам главы 4, где показано, как техника кусочно-полиномиальных приближений работает в классическом анализе.
Начнем со свойств модуля непрерывности. Напомним, что модуль непрерывности к-ого порядка функции / в пространстве Ьр определяется формулой
Op •= sup [|Д£/Нысы>
|Л|<*
где Qkh = {х е Qo ‘ x + jh G QoJ =
Если здесь верхнюю грань брать лишь по векторам коллинеарным оси Ое*, то получим определение частного модуля непрерывности t)p. Обо-
значим
d
Wk{f, t)p -.= wk\f> {)p- (2)
Следующая теорема дает описание модуля непрерывности в терминах кусочно-полиномиальных приближений, построенных по специальным днаг дическнм разбиениям.
Введение
23
Теорема 20. Пусть f Е Ьр, 0 < р < оо, тогда
«?*(/, 2е* (/• •рп(ж))/,;
х
здесь суммирование идет, по всем вершинам х куба Qo-
Для доказательства этого результата используется теорема об "атомном” разложении модуля непрерывности, доказанная Ю. А. Б рудным в [7).
Применяя теорему 20, можно перенести свойства кусочно-полиномиальных приближений, доказанные в первой главе, на свойства модуля непрерывности.
Теорема 21. Пусть / Е Ьр, тогда
1) Э*(/, 2-), < с • (g (2“«-i)5fc(/, 2-0,)")
здесь 0 < р < г/ < оо;
*; ®*(/ - 2-")р < с • 2-"fc • (£ (2'*й'и,(/> 2-<)J,)P') ” ,
здесь k < т, р* = min(l,p) w р > 0;
# 2'п)р « е*(/, + ( 2"п • Е (/, t/r)M
У г=2»+1 *)
здесь, как и выше, Ur - равномерное разбиение Qq на кубы с длиной ребра
равной г-1 и 0 < р < оо.
Теорема о соотношении модуля непрерывности в различных метриках доказана, например, в статьях П.Л. Ульянова [16], J. Peetre [17], К. К. Головкина [18] и C. Herz [19]. Второй пункт теоремы 21 является обобщением одномерного неравенства Маршо (см. А.Ф. Тимаи [20]).
Следующий результат интересен тем, что он позволяет перейти от приближения кусочно-полиномиальными функциями к приближению сплайнами.
Напомним определение множества сплайнов степени не выше к — 1 по каждой переменной, дефекта 1, подчиненных разбиению 11 куба Q0. Обозначим его Sk{П), тогда
5*(П) := А-(II) П С*-»(<Зо);
здесь Ch~2(Qo) - пространство функций, имеющих на Qo производные до порядка к'- 2 включительно по каждой переменной.
Введение
2-1
Теорема 22. Для функции f из Ьр, 0 < р < оо и любого п найдется сплайн из пространства £ч.(£/2п(/;-1)); & > 2 такой, что
II/ — 5п||р 5: с' ^ ] efc(/? Fn(%))p\
X
здесь суммирование идет по всем вершинам х куба Последствие 2. Для функции / из Lpy р > 0 и любого п найдется сплайн из пространства Sk(JJw{k-1))> ^ ^ 2 такой, что
II/ — 5n||p S с • соД/, 2 п)р.
Этот результат впервые в одномерном случае получен Ю. А. Врудным в (21] п обобщен автором на многомерную ситуацию в [22] (см. также [23]). Нужно еще отметить результат R. Devore . V. Popov [24], где на другом пути получен аналогичный результат.
Перейдем теперь к определению пространства Никольского-Бесова Вр°,
0 < р < оо. Пространства Никольского-Бесова Bpe(Rd), р > 1, 0 < Л < оо,
1 < 9 < со были введены и изучены О. В. Бесовым (см., например, [11], [25], [26]) как обобщение пространств Никольского Нр > 1 (Нр = В*»). Пространства Bp°(Rd) оказались очень полезными в приложениях. Основной областью их применения являются теория линейных и нелинейных уравнений в частных производных. Кроме того, пространства Никольского-Бесова играют важную роль в теории функциональных пространств. Так, например,
О. В. Бесов в [25] дал полное решение задачи о точном описании пространства следов функций из пространства Соболева в терминах пространств В*.
Классическое пространство Вре, р > 1 определяется с помощью производных и разделенных разностей или, что равносильно, с помощью модуля непрерывности. Так как мы работаем с пространством Никольского-Бесова не только при р > 1, но и при 0 < р < 1, то есть две возможности определения этих пространств, которые при р > 1 совпадают.
Первое определение, как и классическое, использует понятие модуля непрерывности. Второе определение, введенное J. Peetre в [27], основано на преобразовании Фурье обобщенных функций. Первое пространство обозначим Врв, второе - Вр$. Пространство Вр°, 0 < р < 1 состоит только из интегрируемых функций, что позволяет использовать методы, основанные на интегральных представлениях. В случае шкапы пространств В*0 это уже
Введение
25
невозможно, по крайней мере при Л < д ^ — 1 ^, так как 13™ может содержать и иеинтегрируемые функции. Как доказано Л. РееИе, В™ вложено в В™, а если Л > (I ^ — 1), то пространства совпадают.
В работе автора [28) (см. также [29) и монографию Х.Трибеля [30)) изучены свойства шкалы пространств В™ при 0 < р < 1. Оказалось, что можно обобщить результаты О. В. Бесова об описании функций из В™, р > 1 с помощью целых функций и на случай 0 < р < 1. В дальнейшем мы будем использовать определение пространства В™, 0 < р < оо, основанное на понятии модуля непрерывности.
Определение 5. Функция / из Ьр, 0 < р < оо прииадлслсит простухт-стеу В™ = В™(С)о), если конечна величина
|/Ь«= ('£(2пКЩ(/,2-”)р)°
\п=О
здесь 0<\<к,0<9<оо.
Квазинорму, как обычно, определим формулой
11/1Ь^ = 1/Ь** + Н/1ЬР.
В определении квазинормы сумму частных модулей непрерывности можно заменить на модуль непрерывности гу^(/, £)р. При р > 1 это доказано, например, в книге С. М. Никольского [1|, а при 0 < р < 1 - в статье автора [31).
Приведем два результата о связи классических и диадических В-ирос/гранств.
Теорема 23. Пусть А > 0, 0 < р, в < оо. Тогда
В« = П<№));
X
где х пробегает множество всех вершин куба С?0-Теорема 24. Еаги 0 < А < ^ то
в? = в»т
здесь И - это или специальное диадическое семейство В(х) или В = О.