Оглавление
Введение 3
1 Минимальные лагранжевы подмногообразия с диагональной метрикой в СР" 16
1.1 Уравнения лагранжевых подмногообразий в СРП........... 17
1.2 Лагранжев угол лагранжева подмногообразия............. 19
1.3 Критерий минимальности погружений в СР'1.............. 22
1.4 Функция Бсйкера-Ахисзсра...............................25
1.5 Лагранжевы подмногообразия в СРП.......................28
1.6 Минимальные лагранжевы погружения......................31
1.7 Формулы для минимальных лагранжевых погружений в
случае гиперэллиптической спектральной кривой...........34
1.8 Примеры минимальных лагранжевых погружений,
соответствующих сингулярным спектральным кривым ... 38
2 Криволинейные ортогональные системы координат в 5" и
Ип 46
2.1 Конструкция Кричевера построения криволинейных
ортогональных координат вК" ............................46
2.2 Модификация конструкции Кричевера.......................48
2.3 Ортогональные координаты на пространствах постоянной
кривизны, отвечающие сингулярным кривыми. Примеры. . 52
2
Введение
11одмногообразие в СРП вещественной размерности п называется лаг-ранжевым, если на нем зануляется симлектическая форма Фубини-Шту-ди. Подмногообазие минимально. если его вектор средней кривизны тождественно равен нулю.
Минимальные лагранжевы подмногообразия интересны как с точки зрения интегрируемых систем, так и с точки зрения их приложений в аналитической механике (см. [1]). Так же такие подмногообразия играют важную роль в теории струн, точнее в их приложениях к зеркальной симметрии. В математическом описании зеркальной симметрии, предложенном в |2], зеркальная симметрия между многообразиями Калаби-Яо Ь\ и Ьч объясняется в терминах двойственных трехмерных минимальных лагранжевых торов и некоторых трехмерных сингулярных лагранжевых подмногообразий.
Для СР2 теория минимальных лагранжевых торов хорошо изучена. Первые явные примеры таких торов получены Кастро и Урбано в |3|. Горы, построенные в [3], обладают свойством, инвариантности относительно действия некоторой одиопарам метрической группы изомстрий СР2. Это условие для минимального лагранжева
3
подмногообразия позволяет в окрестности каждой точки ввести конформный параметр г — х + 1у так, что индуцированная метрика д имеет вид д = еи^х)(1г(1г. Известно, что функция и должна удовлетворять уравнению Цицсйки, по поскольку и зависит от одной переменной, это уравнение переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение
1Ьх + е2и - е~Ли = 0. (1)
Решении уравнения (1) известны, они выражаются в эллиптических функциях. В [3) из этих решений нмбираюся двоикопериодические, и по этим решениям строятся торы.
В [4] Хаскинс строит примеры минимальных лаграпжевых конусов в С3, инвариантных относительно действия 1/( 1). Задача построения таких конусов и минимальных лагранжевых подмногообразий эквивалентны (см. параграф 1.1). Конусы в [4] определяются следующим образом. Для любого компактного связного ориентированного подмногообразия Е в 52п"1 определим конус С(Е) С €п:
С{Е) = {$® : * € 1Ю 0,3 € £}.
Причем С(Е) является минимальным лагранжевым конусом тогда и только тогда, когда Е — минимальной лагранжево подмногообразия в 52п“1. Основным результатом этой статьи является построение дву параметрического семейства минимальных лежандровых
отображений и : К2 —> 55, и нахождение условий двоякопериодичности таких отображений. То есть построено семейство таких минимальных лагранжевых торов, что их пересечение с 55 являются торами. Ключом к такому построению служит тот факт, что конформное гармоническое
отображение является минимальным, а также связь между 51 — инвариантными гармоническими отображениями и : К2 —у 55 и полность интегрируемой системой Неймана, описывающей движение на сфере под действием квадратичного потенциала. Действительно, гармоническое отображение и : К2 —> Бг’ должно удовлетворять следующему уравнению
Ли = — (н, Ли)и. (2)
Из инвариантности и относительно действия 51 следует, что и имеет вид:
фД) = е^), (3)
где А е ао(6), г : К £5. Для (3) условие (2) переписывается в
следующем виде:
2« 4- Л~7 = — (|г4| 4- |Лг|2)г. (4)
Уравнение (4) описывает движение посфере под действием потенциала
|Лг|2, то есть являются системой Неймана, решения которой известны. Для построения искомых минимальных лежандровых торов остается выбрать такие решения этой системы, чтобы были выполнены условие конформности и лежаидровости отображения и:
К| - \щ\ = 0, (ь.3)щ) = О, с*;(и, и,) = и»(г, Аг) = 0, и(и, щ) — г{) — 0.
5
Такие решения найдены б [4], в том числе и двоякопериодические.
Отметим, что большинство методов построения минимальных лагранжевых подмногообразий н СР2 это наложение дополнительных ограничений на эти подмногообразия, чтобы нелинейные дифференциальные уравнения, их описывающие, сводились к ОДУ.
Как уже отмечалось, конформная метрика = 2ехис1гс1г)
минимального лагранжева тора в СР'2 удовлетворяет уравнению Цицейки:
а,«- = е"2” - с”.
В [5| Шариповым найдены квазипериодические решения этого уравнения и фактически формулы, полученные в этой работе, пригодны для построения всех минимальных лагранжевых торов (см. |б),|7]).
Отметим также работу |8]. В этой работе решения уравнений, описывающих минимальные лагранжевы подмногообразия в СР2, решаются без сведения к ОДУ, методом конечнозонпого интегрирования. В этой работе построен конкретный пример минимальной лагранжевой сферы в СР2.
В больших размерностях теория минимальных лагранжевых подмногообразий менее развита. Такие подмногообразия описываются сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и большинство методов построения частных решений — это редукция к ОДУ. В (9| Миронов находит семейство конформно плоских минимальных лагранжевых торов в СР3. Искомые многообразия М ищются как композиция
<р = Чг : К3 -> 57 -> СР3,
6
- Київ+380960830922