Разветвленные циклические накрытия линзовых пространств

Оглавление
Введение 4
1 Построение многообразий из правильных многогранников 17
1.1 Предварительные сведения......................... 17
1.2 Список Эверита трехмерных многообразий из Платоновых тел............................................ 26
1.3 Гиперболическое икосаздральное многообразие М24 • • 35
1.4 Гиперболическое икосаэдральное многообразие М25 . . 45
2 Разветвленные циклические накрытия линзового пространства Ь(3,1) 51
2.1 Семейство многообразий Л4П(3,1) 52
2.2 Многообразие Зейферта М2(3,1)..................... 56
2.3 Семейство многообразий Мп(3,1) 58
2.4 Линзовое пространство М2(3,1) ....................... 65
3 Разветвленные циклические накрытия линзовых пространств Ь(р,ц) 70
3.1 Семейство многообразий Мп(р, 1) 71
3.2 Класс многообразий Мп(р, q)................................ 76
3.3 Многообразия М3(5,д), = 1,2,3,4............................ 81
\
3
;
Введение
В данной диссертационной работе исследуется класс замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий, которые являются разветвленными циклическими накрытиями линзовых пространств. Как известно, по теореме Александера [10], каждое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие разветвленно накрывает трехмерную сферу 53. Более того, Хилден [28) и Монтезинос [38], показали, что для каждого многообразия такое накрытие может быть выбрано трехлистным, но при этом, оно не обязательно будет регулярным.
Среди регулярных накрытий особое место занимают циклические накрытия, соответствующие действию циклической группы. Многообразия, представимые как циклические накрытия 5'3, разветвленные над узлами или зацеплениями являются объектами интенсивных исследований. В частности, актуальной является проблема определения для многообразия является ли оно разветвленным циклическим накрытием 53 и описания соответствующего множества ветвления.
Наиболее изученным является случай, когда множеством ветвления является двухмостовый узел или двухмостовое зацепление. Примеры такого рода хорошо известны: додекаэдралыюс гиперболическое пространство Вебера — Зейферта [51], которое является 5-
листным строго циклическим накрытием 53, разветвленным над 2-компонентным зацеплением Уайтхеда; многообразия Фибоначчи [24], являющиеся циклическими накрытиями 53, разветвленными над узлом «восьмерка»; дробные многообразия Фибоначчи [1], являющиеся циклическими накрытиями 53, разветвленными над двухмостовыми (2к + - узлами. Различные описания (в терминах фундаменталь-
ных многогранников, хирургий Дэна, разбиений Хегора, кристаллизаций, двулистных разветвленных накрытий сферы) трехмерных многообразий, являющихся циклическими накрытиями 53, разветвленными над двухмостовыми узлами и зацеплениями, приведены в [40].
Интерес к получению различных описаний трехмерных многообразий с циклической симметрией был связан, в частности, с вопросом Данвуди из работы [19], где он построил семейство многообразий, диаграммы Хегора которых имеют циклическую симметрию. Это семейство замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий принято называть многообразиями Данвуди. Данвуди нашел представления их фундаментальных групп как групп с циклическим представлением в смысле [30]. Оказалось, что полиномы, ассоциированные с циклическими представлениями, совпадают с полиномами Александера некоторых узлов в 53. Вопрос Данвуди состоял в следующем: являются ли рассматриваемые многообразия циклическими накрытиями 53, разветвленными над узлами с указанными полиномами Александера? Положительные ответы на вопрос Данвуди, для многих частных случаев, были получены в работах [1, 3, 15, 31, 32]. В общем случае результат оказался следующим [23]: многообразия Данвуди являются
в точности циклическими разветвленными накрытиями (1,1)-узлов, т.е. узлов, допускающих 1-мостовое представление рода 1.
Другими словами, многообразия Данвуди - это циклические наг крытия многообразий, допускающих разбиение Хегора рода один, разветвленные над 1-мостовьтми узлами, лежащими в этих многообразиях. Напомним, что многообразия, допускающие разбиение Хегора рода один - это линзовые пространства Ь(р, д), включая £2 х .91 = £(0,1) и 53 = Ь(1,0) (определение разбиения Хегора приведено в параграфе 1.1). Класс (1,1)-узлов содержит двухмостовые узлы и торические узлы в трехмерной сфере £3.
Существование и единственность циклических разветвленных накрытий (1,1)-узлов исследованы в [18]; там же приведен алгоритм вычисления фундаментальной группы накрытия. Основанный на этом алгоритме подход к построению полинома Александера для (1,1)-узлов реализован в [33]. Оценки сложности многообразий Данвуди получены в [13].
Нас будут интересовать трехмерные многообразия которые лежат в классе циклических накрытий (1,6)-зацеплений, Ъ ^ 2.
Напомним определение (д, 6)-узлов и зацеплений. Узел или зацепление Ь в трехмерном многообразии М3 называют (д, Ь)-узлом или (д, Ь)-зацеплеииел1, если существует разбиение Хегора рода д вида:
(М3, Ь) ё (Нд,Аь) и (Н’д,А'ь),
<Р
где Ну и Н'д - полные крендели рода </, М3 = Ну Я', Бд = Нд Г) Нд - поверхность рода д, Аь = {ах,..., а^,} С Н9 и А'ь =
{«1,..., а'ь} С Н'д - множества собственно вложенных тривиальных дуг, а (р : (дН'д,дА'ь) —> (дНд,дАъ) - гомеоморфизм (см. рис. 0.1).
Напомним, что множество собственно вложенных дуг Аь = {аь , а*,} тривиально вложено в Ну: если существует множество попарно пепересекаюгцихся дисков {Бь ..., Бь) в Н9 таких, что 0,0 Д- = а{ П 5Д = а,- и дВ{ — о» С дН9, где г = 1,..., Ъ.
<Р
Рис. 0.1. (д,6)-узлы и зацепления.
Отметим, что (0,1)-узлы являются тривиальными узлами в трехмерной сфере, а (0,2)-узлы и (0,2)-зацспления являются двухмостовыми узлами и зацеплениями в трехмерной сфере (см. рис. 0.2).
Рис. 0.2. (0,1) и (0,2)-узлы и зацепления.
Как видно из приведенных выше результатов, разветвленные циклические накрытия двухмостовых узлов и зацеплений, а также, (1,1)-узлов (см. рис. 0.3) изучены достаточно подробно. Намного сложнее обстоит дело с разветвленными циклическими накрытиями (1,2)~ зацеплений (см. рис. 0.4). Циклические накрытия линзовых про-
7