Содержание
1 Введение 3
2 Предварительные сведения и обозначения 22
2.1 Принятые обозначения и определения..................... 22
2.2 Теорема Жордана-Кронеккера и некоторые ее следствия . 24
2.3 Полные коммутативные наборы и критерий Болсинова . . 28
2.4 Представления минимальной размерности и системы корней некоторых простых алгебр Ли............................ 29
3 Бигамильтоновы цепочки и обобщенный метод сдвига аргумента 34
3.1 Бигамильтоновы векторные поля.......................... 34
3.2 Бигамильтоновы цепочки. Их свойства и теорема существования ..................................................... 36
3.3 Обобщенный метод сдвига аргумента. Псевдомногочлены . 41
3.4 Обобщенный метод сдвига аргумента и плоские пучки на
коалгебрах Ли ......................................... 47
4 Секционные операторы 49
4.1 Определение, теорема существования и явная формула для
секционных операторов. Примеры......................... 49
4.2 Алгоритм определения секционности оператора............ 56
4.3 Секционные операторы и метод сдвига аргумента. Теорема
Мещерякова в общем случае.............................. 58
4.4 Секционные операторы на коалгебрах фробениусовых алгебр Ли.................................................... 62
4.5 Параметры секционного оператора. Однозначность их восстановления в простом случае .............................. 65
5 Бифуркационная диаграмма и отображение момента для
некоторых простых комплексных алгебр Ли 71
5.1 Функции, полученные методом сдвига аргумента, как функции на д © д............................................... 71
5.2 Некоторые свойства сингулярных элементов простых комплексных алгебр Ли......................................... 73
0^
5.3 Бифуркационная диаграмма и дискриминант спектральной кривой на простой алгебре д ............................ 80
5.4 Метод сдвига аргумента для субрегулярных полуиростых элементов простой алгебры Ли. Центры централизаторов элементов такой алгебры...................................... 87
5.5 Бифуркационная диаграмма Е и дискриминант спектральной кривой й для представления минимальной размерности алгебр 5/(гг + 1), яо{2п + 1), яр(2п) и дч............... 95
5.6 Спектральная кривая яо(2п) в представлении минимальной размерности............................................ 100
2
1 Введение
Интегрируемые системы на пространствах, двойственных к алгебрам Ли, являются областью, где интенсивные исследования ведутся математиками самых разных специальностей - алгебраистами, геометрами, специалистами по дифференциальным уравнением (более подробный обзор темы можно найти, например, в книге (1]). Главной причиной столь пристального внимания к подобным системам, является тот факт, что сложнейшие динамические эффекты в них оказываются тесно взаимосвязаны как с геометрией потоков, так и с их алгебраическими свойствами.
Одним из основных структур, которые играют определяющую роль в подобных системах являются скобки Пуассона. Рассмотрим действительное многообразие М и кольцо гладких (вообще говоря комплекснозначных) функций на этом многообразии, которое обозначим через С°°(М). Говорят, что на многообразии задана скобка Пуассона, если помимо коммутативной структуры кольца, на С°°(М) имеется билинейная кососим-меїрическая операция { , }, удовлетворяющая тождеству Якоби
{/, {9. А}} + {М/.*}} += О, V/, і?, Л. Є С°°(М) (1)
и правилу Лейбница
{/9, Л} = /{9, 'г} + {/, Л}<7, V/, д, Л Є С°°(М). (2)
Пару многообразие М и заданная на нем скобка будем называть пуассо-новым многообразием.
Используя тождество Лейбница, достаточно легко можно показать, что для любой пары функций /,д Є С°°(М) их скобка Пуассона в локальных координатах имеет вид
{/>?}=< л, <3/, йд >, (3)
где (1(1/ и (\д — дифференциалы функций / и д, Л — гладкое бивектор-ное поле па многообразии, определение которого не зависит от функций /, ду а треугольные скобки обозначают операцию подстановки в бивектор, как полилинейное отображение, пары ковекторов. Описанный бивектор Л называется тензором Пуассона.
Фактически скобка Пуассона задает на линейном пространстве гладких функций на многообразии структуру бесконечномерной алгебры .Ли.
3
Если скобка двух функций равна нулю, то в силу данного замечания корректно употреблять термин колшутирующие функции. Функции, лежащие в центре этой бесконечномерной алгебры Ли, называются функциями Казимира. Кроме этого отображение sgrad / : С°°(М) —> С°°(М), действующее по правилу sgrad f(g) = {д, /}, для любого / является дифференцированием кольца С°°(М). Отсюда немедленно вытекает, что sgrad / — векторное поле. Всякое векторное поле, представимое в таком виде для некоторой функции /, мы будем называть гамильтоновым,, а саму функцию / - гамильтонианом. Иногда нам будет удобно записывать гамильтоново векторное поле v в виде
v = Adf, (4)
где А — тензор Пуассона соответствующей скобки, а сама запись означает подстановку ковектора df в качестве первого аргумента в А как в билинейное отображение. Иногда для дифференциального уравнения, записанного в таком виде, применяется термин уравнение Эйлера.
Опишем несколько видов пуассоновых многообразий, которые будут встречаться далее в работе. В первом случае М — вещественное аффинное пространство, а тензор Пуассона соответствующей скобки является постоянным в естественной системе координат, согласованной с векторным пространством, ассоциированным с аффинным. Такой тензор мы будем обозначать через АС} где индекс с от английского constant.
Во втором случае М — вещественное аффинное пространство, а тензор Пуассона линеен, то есть скобка двух линейных функций является линейной функцией (под линейными функциями понимаются элементы пространства, двойственного к ассоциированному векторному пространству, рассматриваемые как функции на М). Это равносильно тому, что компоненты тензора А (для этого тензора мы не резервируем отдельного обозначения) в естественной системе координат являются однородными линейными полиномами от координатных функций. Хорошо известно, что, если на аффинном пространстве М задана линейная скобка Пуассона, то ассоциированное с ним векторное пространство может быть естественным образом отождествлено с коалгеброй (под коалгеброй мы понимаем пространство линейных функционалов на алгебре без какой-либо дополнительной структуры) некоторой подходящей алгебры Ли д, причем тензор А в координатах оказывается естественным образом связан
4
со структурными константами д:
Ац(х) = с^хк:х е д*.
с- — структурные константы (отметим, что индексы у тензора Пуассона в данном случае внизу, так как исходным объектом является пространство ковекторов). В инвариантной форме эта формула записывается в виде
{/,<?} =< И/,йд] >,х € д\/,д е С~(д‘),
причем с1/, с!д Е д**, которое естественным образом отождествляется с д. Подобные скобки получили название скобок Пуассон а-Л и. В дальнейшем мы будем опускать термины "векторное пространство ассоциированное с аффинным "и, допуская некоторую вольность, говорить о пуассоновом многообразии д*. Кроме этого, в работе будут встречаться пуассоиовы многообразия д*, где д — простая комплексная алгебра Ли. В этом случае будет подразумеваться, что вместо самой алгебры и двойственного к ней пространства мы рассматриваем их овеществления.
Вернемся к определению структур, необходимых для формулировки основных результатов работы. Две скобки Пуассона называются согласованными, если любая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами является скобкой Пуассона. Очевидно, что линейная комбинация двух скобок по-прежнему я вляется билинейной кососимметрической операцией на кольце гладких функций, а значит условие согласованности эквивалентно тождеству Якоби для этой линейной комбинации. Обозначим тензоры Пуассона скобок через и ^2- В этом случае в локальных координатах условие согласованности имеет вид:
Тройку многообразие М и две согласованные скобки Пуассона Л\ и Лч мы будем называть бипуассоиовым многообразием.
Одним из наиболее часто встречающихся в литературе примеров би-нуассонова многообразия является следующий. Рассмотрим на д* в дополнение к линейному тензору Пуассона постоянный тензор, который получается из данного замораживанием аргумента. То есть соответствующая ему скобка имеет вид
{/і 9} =< ^ [сі/, сі^] >,а Є д*,/,£ Є С°°(М),
5
причем а — некоторый фиксированный элемент коалгебры. Чтобы отличать данный случай от общего, соответствующий тензор Пуассона мы будем обозначать через Л(1, где а е 0*. Легко проверяется, что А и Аа согласованы.
В дальнейшем, однако, мы будем рассматривать не этот классический пример, а более общий случай: на д" помимо линейной будет задана некоторая согласованная с ней постоянная скобка (фактически некоторый коцикл, во вторых когомологиях алгебры д). Такая скобка в общем случае (достаточно рассмотреть коммутативную алгебру Ли) не задается фиксированным элементом коалгебры.
Прежде чем перейти к методу сдвига аргумента, который фигурирует в заглавии работы, необходимо ввести понятие секционного оператора. Этот термин впервые был введен А.Т.Фомеико для общих алгебр Ли и симметрических пространств (В.В.Трофимова и А.Т.Фомеико (24]).
Частными случаями таких операторов являются оператор, обнаруженный С.В.Манаковым для уравнений движения многомерного твердого тела |17]. а также миогонараметричеекие серии операторов фа,ь,о> описанные А.С.Мищенко и А.Т.Фомеико для вещественных и комплексных полупростых алгебр Ли (19]. Чуть позже общие секционные операторы Фоменко были введены им для произвольного линейного конечномерного представления произвольной конечномерной алгебры Ли (например, книга (25)). Оказалось, что семейства общих секционных операторов часто порождают интересные динамические системы на орбитах представлений. Далее А.Т.Фомеико показал, (см. [24]), что в случае симметрического пространства максимального ранга, секционные операторы тесно связаны с тензором кривизны симметрического пространства. При этом само название "секционные операторы "было обусловлено их алгебраическими свойствами. Затем довольно неожиданно оказалось, — это было обнаружено А.В.Болсиновым [10], — что секционные операторы напрямую связаны также с секционной кривизной римановых метрик в проблеме изучения геодезических эквивалентных метрик, то есть метрик с общими геодезическими (так что изначально термин "секционные"операторы оказался выбранным очень удачно).
Итак, классическое определение секционного оператора следующее. Рассмотрим полупростую комплексную алгебру Ли д и отождествим ее с д* при помощи формы Киллинга. Самосопряженный относительно формы Киллинга оператор 0 : д —» д называется секционным с параметрами
б
a, b. если он удовлетворяет тождеству
[фх, а] = [х, 6], Vx € g. (6)
Рассмотрим квадратичную функцию / = ^(ÿx,x), где круглые скобки означают скалярное умножение в метрике Киллинга. Благодаря тожеству (6) векторное поле у = Adf оказывается гамильтоновым относительно
Аа.
Для полупростых элементов a G g, подобные системы получили название систем типа твердого тела. Именно для их интегрирования впервые появился метод сдвига аргумента (в русскоязычной литературе встречается также термин "метод сдвига инвариантов", а в англоязычной употребляется сразу два перевода — argument shift method и argument translation method). В работе C.B. Манакова [17] этот метод был сформулирован в частном случае, когда тождество (б) выполняется для кососимметрических матриц х для симметрических а и 6, с дополнительным условием, что все собственные значения а попарно различны. Явная формула для этого оператора ф : $о(п) —► sо(п) в случае, когда матрица а и b одновременно приведены к диагональному виду с ûi,...,an и на
диагоналях (почему такое приведение возможно, будет понятно из результатов четвертой главы диссертации), имела вид (фХ)^ — — где X £ so(n). Позже А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко в работах [19) - [20), вскрыли алгебраический механизм интегрирования, который стоял за обнаруженным Манаковым эффектом. Это позволило им проинтегрировать системы, задаваемые сразу несколькими сериями секционных операторов на комплексных и вещественных алгебрах Ли. При этом пример Манакова вошел в так называемую нормальную серию секционных операторов в качестве частного случая.
Перейдем теперь непосредственно к обсуждению метода сдвига аргумента. Опишем сначала его классический вариант. Как и раньше считаем, что задана полупростая (вообще метод верен работает для рсдук-тивных алгебр Ли, однако всюду далее нам удобно будет формулировать его для полупростых алгебр Ли) комплексная алгебра Ли 0, которая отождествлена со своей коалгеброй при помощи формы Киллинга. Рассмотрим на 0 уравнение Эйлера, задаваемое квадратичным гамильтонианом / = |(<£х,х), где ф — секционный оператор с параметрами а, Ь. Отождествление с коалгеброй позволяет снабдить кольцо полиномиальных функций на 0 пуассоновой структурой. Центром этой бесконечно-
7
мерной алгебры Ли является кольцо инвариантов присоединенного представления, которое в случае простой алгебры Ли д представляет собой свободно порожденное кольцо, степень трансцендентности которого совпадает с рангом и, следовательно, индексом д (27]. Обозначим это число через п.
Пусть /1,1п — полиномиальные порождающие этого кольца, степени которых равны d\,..., dn соответственно. Рассмотрим следующее разложение
di
Ii(x + X а)-£/аУ.
j=О
По сути fij представляет собой j—ю производную 1Ь вдоль а. Одним из основных результатов работы [19] является доказательство коммутативности функций fij. Более того, оказывается, что, когда а — регулярный элемент алгебры g (централизатор элемента, обозначаемый через да, имеет минимальную возможную размерность, то есть в данном случае п), то дифференциалы функций fij дают полный набор интегралов. Это означает. что в точке общего положения дифференциалы этих функций порождают максимальное изотропное пространство относительно бивектора Л в данной точке. В дальнейшем, однако, вопросы полноты затрагиваться за редким исключением не будут.
Оказалось, что полученные подобным образом функции представляют значительный интерес не только в качестве примера интегрируемых систем, но и как алгебраические объекты. Дело в том, что можно рассмотреть алгебру полиномов с порождающими fij, которую мы обозначим через Tf (в данном случае верхний индекс означает classical, то есть речь идет о классическом методе сдвига аргумента). Заметим сразу, что подобное обозначение корректно, то есть определение алгебры зависит только от элемента а € 0 и не зависит от выбора порождающих в кольце инвариантов: рассмотрим другой набор порождающих в кольце инвариантов 1[,..., Гп. Известно, что они выражаются полиномиальным образом через поэтому функции, полученные разложением их в ряд по А, будут выражаться через fij. Рассуждая аналогичным образом относительно 1{ получаем, что определение действительно не зависит от выбора порождающих. В работе [13] этим подалгебрам было дано название подалгебр Мищенко-Фоменко. Легко видеть, что классический метод сдвига аргумента обобщается на любую алгебру Ли д, для которой кольцо по-линомиальиых инвариантов коприсосдииеиного представления свободно
8
- Київ+380960830922