Гомотопическая теория нормальных рядов в группах

Оглавление
0 Введение 4
1 Аппроксимадионные свойства 21
1 Нильпотентная аппроксимируемость групп 22
1.1 Инварианты Бэра................................................. 24
1.2 Нильпотентная аппроксимируемость к -центральных расширений . . 27
1.3 Группы с одним определяющим соотношением ...................... 34
1.4 Разрешимая аппроксимируемость.................................. 51
2 Асферичность и аппроксимадионные свойства скрещенных модулей 59
2.1 Скрещенные модули.............................................. 61
2.2 Точность действия и аппроксимадионные свойства cat1 -групп .... 70
II Размерные подгруппы 77
3 Гомологии и обобщенные размерные подгруппы 78
3.1 Мультипликатор Шура и его фильтрации........................... 78
3.2 Когомологически согласованные идеалы........................... 83
4 Комбинаторика размерных подгрупп 91
4.1 Группы без размерного свойства.............................. 91
4.2 Четвертая размерная подгруппа.............................. 113
4.3 Пятая размерная подгруппа.................................. 114
2
4.4 Квази многообразия групп ...................................... 126
4.5 Лиевы размерные подгруппы...................................... 136
5 Симилициальные аспекты теории размерных подгрупп 144
5.1 Полиномиальные функторы........................................ 144
5.2 Две спектральные последовательности............................ 149
5.3 Четвертая размерная подгруппа.................................. 158
5.4 Пятая размерная подгруппа...................................... 161
III Гомотопические аспекты теории групп 165
6 Симилициальные методы н теории групп 166
6.1 Гомотопические модули.......................................... 172
6.2 Р[К) -конструкция Милнора и теория групп....................... 177
6.3 7Г3 некоторых двумерных комлексов.............................. 179
6.4 Доказательство гипотезы для ?1 = 2 и п = 3 183
7 Приложения 197
7.1 Симметрические произведения идеалов............................ 197
7.2 Длинные коммутаторы............................................ 203
3
Глава О Введение
Основные объекты исследования данной работы - нижние центральные ряды, размерные ряды, производные ряды в группах, а также степени фундаментальных (ауг-ментационных) идеалов групповых колец. Пространство математических связей и приложений данных понятий оказывается едва обозримым. Это и теория гомото-пий, и алгебраическая К-теория, и геометрическая топология, и арифметика.
Данная работа следует двум направлениям и целям: 1) изучение аномальных объектов, построение различных контрпримеров, и 2) обнаружение гомологических и гомотопических связей, перемешивание теории групп с теорией гомотоиий, получение как теоретико-грушюных результатов методами гомологической и гомотопической алгебры, так и гомотопических результатов методами теории групп. Большую часть данной работы можно отнести к гомотопической теории групп - области алгебры, находящейся в процессе формирования и не имеющей на данный момент четких границ. Говоря неформально, гомотопическая теория групп - это область, объединяющая теорию симилициальных групп, теорию производных функторов от неабелевых функторов, теорию скрещенных комплексов и т д.
Введем основные определения. Пусть (7 группа. Обозначим через {7п(С)}„>1 нижний центральный ряд в (7 , определяемый индуктивно как
7!(С?) = (7, 7„+1(С) = (т„(С),б?) = ([хуу] := х“1у“1ху \ х € 7п(<7),у € <7)с, п > 1. Производный ряд {&»(£)}п>1 определяется индуктивно как 6,{С) = С, £„+,((?) = [6п(С)МО)1 п > 1.
4
В работе мы также используем стандартные обозначения для элементов трансфи-нитных рядов
1ЛС) = ППг(С), Х+1 (<?) =
5„(С) = пМО), 6„+г(С) = [^(С),^(С)].
Рассмотрим целочисленное групповое кольцо £[(?] . Фундаментальным (или ауг-ментационным) идеалом Д((7) называется идеал в 2[С] , являющийся ядром гомоморфизма аугментации Z[G] —* Ъ , отображающего линейную комбинацию элементов группы в сумму коэффициентов этой комбинации. Степени фундаментального идеала {ДП(С?)}П>1 образуют цепочку вложенных идеалов в %.[(?) . Для п > 1, определим п -ю размерную подгруппу в С как
лп(С) = (7п( 1 + дп(а)).
Несложно увидеть, что убывающая цепочка нормальных подгрупп
С = Э 1МО Э ... ЭЕ>п(в)Э ...
представляет собой центральный ряд, Т.е. [С, Аг(С?)] С /5П+1(С) для всех 71 > 1 . Следовательно, имеем естественное включение подгрупп 7п(б?) С Г)„(б?) ДЛИ всех п> 1 .
Размерные подгруппы были впервые рассмотрены Магнусом. Напомним центральную конструкцию работы Магнуса [02]. Пусть Р свободная группа с базисом {х«}«€7 и А — Ч[Х,- I * £ /]] кольцо формальных степенных рядов от некоммутирующих переменных {Х<}*6/ над кольцом У целых чисел. Пусть Ы{Л) группа обратимых элементов в А . Отображение 1 -ь А',, г € / , продолжается до
гомоморфизма групп
0:Р-*Ы(А), (0.0.1)
так как 1 + обратим в А (обратный элемент - это 1 — X* -Г X? ). Гомоморфизм 0 является мономорфизмом (см. [04], теорема 5.6). Для а € А , пусть ап обозначает однородную компоненту степени п , так что
а = ао + а! 4- ■ • • + ап -!-.
Определим
:= {/ € ^ | в{/)г = 0, 1 < г < п}, п > 1.
5
Легко видеть, что T>n(F) является нормальной подгруппой в F и что ряд {£>n(F)}n>1 является центральным в F , т.е. [F, T>n(F)] С T>n+l(F) для всех п > 1 . Естественно, пересечение ряда {2?n(F)}„>i тривиально. Так как {T>n(F)}n>i центральный ряд, то имеется включение 7„(F) С Vn(F) для тг > 1 . Поэтому пересечение Пп>1 7n(F) тривиально, т.е. группа F нилыютентно аппроксимируема. Фундаментальным результатом теории групповых колец является теорема Магнуса, утверждающая, что для свободной группы F имеет место равенство
7n(F) = Dn(F)=Vn{F)
ДЛЯ всех 71 > 1 .
Для любой группы G , имеет место равенство Dn(G) = 7„(6’) для тг = 1,2,3 . При этом существуют группы G , для которых
/Л(С?)^7п(<2), «> 4.
Первый пример группы с D.\{G) Ф 74(G) принадлежит Рипсу |94]. Группа Рипса -конечная группа порядка 238 . Для любой группы G , факторгруппа D^{G)/^{G) оказывается абелевой группой экспоненты 2, но но мере росга размерности, разница между размерным и нижним центральным рядом становится все сложнее.
После появления примера Рипса, возникло естественное желание построить структурную теорию размерных подгрупп и дать строгое описание размерных факторов, как функторов в категории групп. Однако, теория размерных подгрупп оказалась очень сложной, а для описания маломерных размерных подгрупп оказалось плодотворным введение гомологических и гомотопических методов.
Гомологические методы в теории размерных подгрупп восходят к работам Пасси [82]. Идеи, лежащие в основе метода Пасси можно представить следующим образом (приведем их подробно, так как обобщение результатов Пасси представляет собой одну из целей данной работы). Пусть а С g некоторый двусторонний идеал в целочисленном груииовом кольце Z(G] и М тривиальный G -модуль. Определим обобщенную размерную подгруппу, задаваемую идеалом а :
Da(G) = D(G,a) :=Сп(1т а),
где пересечение рассматривается в групповом кольце. Рассмотрим следующие классы отображений на О х G . Нормализованный 2-коцикл f:GxG—*M называется
б
левым (соотв. правым) а -2-коциклом если линейное расширение на !£[(7] отображения 1У : б -* М , у е С , (соотв. гх : С —> М , х € О ), определенного как /у(я) = /(гг,?/), х € С (соотв. г*(у) = /(а:,?/), у € С ) оказывается нулевым при ограничении на а . Обозначим через Ра(С, М)| (соотв. Ра(С, М)г ) иодгрупиу в Я2(О, М) , т.е. в группе вторых когомологий группы С с коэффициентами в М , состоящую из когомологических классов представляемых левыми (соотв. правыми) а -2-коциклами. Далее, обозначим через Я0>0((7, М) подгруппу, состоящую из когомологических классов, представляемых 2-коциклами, являющимися как левыми, так и правыми а -2-коциклами. Пусть М делимая абелева группа, рассматриваемая как тривиальный С -модуль. Пусть
<5: ЕхЬс{д/а, М) -* ЕхЬ1а{д. М)
отображение, индуцируемое естественной проекцией д —► д/а . Тогда (см. теорему
3.1.1)
Ра(С, М)[ = Ря(а, М)г = 1ш(5).
Теперь пусть а идеал в й[(7] содержащийся в д и а его образ относительно естественного отображения д —* А(С/Оа(С)) . Тогда (см. теорему 3.1.2)
(а) Р1>(С/Оа(С),Т) = Н2(С/Оа(С)>Т) влечет
Оад(С).О0а(С) С ра(С), С?];
(б) Р0(а(С/Т>а(С),Т) = Я2((7//)й(С),Т) влечет
А.р+0а(С?) = [Т»с(С*), С].
В случае степеней аугментацношюго идеала а = ДП(С), естественно получаем Ра(0, М) = Ра,а(С>, №)• Таким образом определяется так называемая фильтрация Пасси-Штаммбаха в группе когомологий Н2(С,М) . Вышеприведенные рассуждения показывают, что из когомологических свойств группы б7Аг(<3) можно извлекать информацию о размерной подгруппе Д,+1(С?) : если фильтапия Пасси-Шта.чмбаха группы С/Оп(С) в соответствующем члене представляет собой всю группу когомологий Я2((7/Д1(С),Т) , то £>п+,((7) = [£„(£), С] . Пусть теперь нам дана некоторая группа С , для которой мы знаем, что до некоторхло фиксированного члена, скажем п , нижняя центральная и размерная фильтрации совпадают.
7
Представляем произвольным элемент #2((7/7п(£),'Т) как центральное расширение нильпотентной группы
1 _> Т ДГ в/1п{С) — 1
н пытаемся доказать, что данное центральное расширение задает когомологический класс в соответствующем члене фильтрации Пасси-Штаммбаха. Для этого, в соответствии с теоретико-групповыми свойствами группы (7 , выбирается "хороший "набор представителей С/7„(С) в N , задается соответствующий 2-коцикл и т д. В случае удобных групп, скажем нильпотентных класса 2, 2-норожденных и др., выбор представителей делается естественным образом, откуда и следу ют требуемые свойства размерных подгрупп. Так и работает метод Пасси. Используя именно этот метод, Пасси доказал, что ПЛ{С) = ^{О) для любой р -группы (2 при р 2 . Некоторые гомологические результаты данной работы, к примеру теорему 3.1.1, 3.1.2, можно рассматривать как естественные обобщения классических результатов Пасси.
Обратимся теперь к гомотопическим аспектам теории нижних центральных и размерных рядов в группах. Под гомотопической алгеброй часто понимают неабеле-ео обобщение гомологической алгебры. Современная гомотопическая алгебра начинается с работ но симшшциальным категориям, производным функторам от неаддитивных функторов, модельным категориям и т д. При этом, аксиоматическим началом гомотопической алгебры, возможно, следует считать монографию Квиллена [90]. Одни из первых идей применять гомотопические методы в работе с рядами в группах, принадлежат Столлингсу. Столлингс [101 [ пишет следующее: "Рипс показал, что существует- разница между размерными подгруппами и членами нижнего центрального ряда... Возникает вопрос, как увидеть это с помощью спектральной последовательности Кертиса, проводя рассмотрение хотя бы на уровне примера Рнп-са."Отчастн эта программа была реализована Шьегреном, учеником Столлингса. Именно используя спектральные последовательности типа Кертиса, Шьегрен показал, что для любого натурального п , существует конечнозначная функция с(п) , такая что £>„((2)^ С 7П(<2) дня любой группы С . Уже позже, Хартли и Гун-та избавились от языка спектральных последовательностей и представили чисто теоретико-групповое доказательство результата Шьегрена.
Что такое теория гомотопий? Следуя идеологии [90], мы можем ответить на дан-
8
ный вопрос следующем образом. Для абстрактной модельной категории с выделенными классами морфизмов, называемых слабыми эквивалентностями, расслоениями и корасслоениями, посредством обращения слабых эквивалентностей, определяется локализация, называемая гомотопической категорией. Под (абстрактной) теорией гомотопий можем понимать жизнь внутри гомотопической категории. Как показано в [90), для гомотопических категорий естественным образом определяются такие понятия как надстройки, конусы отображений, последовательности расслоений и корасслоений, спектральные последовательности, в общем то, с чем привыкли работать в обычной теории гомотопий топологических пространств. Отметим, что можно обобщить класс категорий и рассматривать не модельные категории по Квиллену, а кофибрантные категории в смысле Бауэса [4), при этом основные гомотопические понятия также естественно возникнут и позволят создать абстрактную теорию, обобщающую обычную теорию гомотопий топологических пространств.
Пусть С некоторая категория. Симплициальный объект X. и С - это семейство объектов {Х,-}ч>о, е ОЬ(С) вместе с двумя семействами морфизмов
4 € Нотс{Хч, Х^), 5{ е Нотс{Хя, Хч+1), 0 < г < <?,
называемых отображениями граней и вырождений, которые удовлетворяют следующим соотношениям:
Сг < j,
5^* — 5^4-15,, г < j,
г < j, (0.0.2)
djSj = ^+1^ = гй,
(Цэу = г > j + 1.
Симплициальный морфизм / : X. —* К - это семейство морфизмов
/г- € Нотс(Хи у;-), i > 0,
согласованных с отображениями граней и вырождений. Категорию симплицналь-ных объектов в С будем обозначать через 5С . Под симилициальной группой (со-отв. кольцом, абелевой группой, топологическим пространством и т д.) понимаем симплициальный объект в категории групп (соотв. в категории колец и т д.). Для
9
симплициальной группы С?» естественным образом определяются гомотопические группы 7гД(?,)> г > 0 являющиеся абелевыми группами при г > 1 .
Как показано в [90], категория еимшшциальных групп (все необходимые определения см. в следующей главе) естественным образом наделяется структурой замкнутой модельной категории. При этом, слабыми эквивалентностями выбираются морфизмы еимшшциальных групп, индуцирующие изоморфизмы гомотопических групп, расслоениями - морфизмы, индуцирующие сюрьекцнн комплексов Мура, а корасслоениями - ретракты свободных морфизмов. Инъективное отображение / : X —> Z в категории еимшшциальных групп называется свободным, если для каждого г/ существуют подмножества Сп С , такие что (г) г)*Сч С Ср когда V '■ М “* И сюрьективное монотонное отображ(?ние1н, (гг) /п -г </7 : Хп V РСп —> Zq изоморфизм для всех <7 (здесь V свободное произведение групп, FC9 свободная группа, порожденная Ся и дч : РСд —* Zq расширение С,, С Zq ). Формально корасслоения могут быть определены проще, исходя из свойств сопряженности, содержащихся в аксиомах модельных категорий |90]. Структура модельной категории может быть задана на еимшшциальных категориях над многими другими алгебраическими системами, например, над коммутативными алгебрами, ассоциативными алгебрами, алгебрами Ли, Пордаковыми алгебрами и т д. Определение слабых эквивалентностей, расслоений и корасслоений практически дословно переносится на эти категории. В этих случаях проверка аксиом модельных категорий, как правило, представляет собой простое упражнение. Отметим, при этом, что доказательство факта существования структуры замкнутой модельной категории для симнлицналь-11ых множеств - задача далеко не простая, имешю этому доказательству посвящена последняя глава в книге |39|. Таким образом, существование алгебраических операций в наших категориях существенно облегчает построение соответствующих теорий гомотопий.
Пусть С\Л/ - категория С\\г-комнлексов X с тривиальным 0 -скелетом Х° = * . Морфизмы в данной категории - непрерывные пунктированные отображения. Го-мотопия ~ на множестве морфизмов определяет фактор-категорию С\М/ ~, которая представляет собой обычную гомотопическую категорию из алгебраической топологии. Для X, У € С\Л/ , пусть [-АТ, У] обозначает множество гомотопических классов X —* У в С\Л// ~ . Пусть С\Л/Г полная подкатегория в С\Л/, состоящая
10
из С\У-комплексов X с тривиальным (г — 1) -скелетом. Кап (см, к примеру, (3|) построил функтор С : С/Уг+1 —» (5Сг)г, индуцирующий эквивалентность гомотопических категорий
Данный функтор отправляет С\\г-комплскс X в группу петель Капа С(Х), которая является свободной симплициальной группой. Говоря неформально, эта эквивалентность позволяет перевести все явления классической теории гомотопий на язык теории групп. При этом, результат подобного перевода может оказаться слишком сложным. Однако в ряде случаев, теория гомотопий позволяет увидеть определенные свойства свободных групп, не видимые комбинаторно. Примеры таких свойств, следующих из теоремы Нишнды о нильпотентности и описания кручения в гомотопических группах букета сфер, даны в последней главе данной работы.
Какое же отношение теория гомотопий может иметь к теории (обобщенных) размерных подгрупп и нижних центральных рядов в группах? Приведем два примера применения гомотопических методов: сначала в теории размерных подгрупп, определяемых симметрическими произведениями, а затем и для классических размерных подгрупп. Для кольца 5 и двусторонних идеалов Д,..., 1п (п > 2) в 5 , рассмотрим их симметрическое произведение:
где Еп п -я группа перестановок. К примеру, для п = 2 , имеем (/1/2)5 = ДД + /2Д. Отметим, что всегда имеет место включение идеалов (Д ... /п)$ С Д П- • -П/п . Пусть теперь Г свободная группа. Яі ,...,/&, нормальные подгруппы в /".Рассмотрим двусторонние идеалы в целочисленном групповом кольце опреде-
ленные как Гі = (Я,- — 1)2[/’), і = 1,... ,п . Возникает естественный вопрос: описать нормальную подгруппу в Г , определяемую идеалом (гі...гп)$, т.е. обобщенную размерную подгруппу
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим симметрическое произведение нормальных подгрупп /Д,...,Ли, определенное как
Є : С\Л/г+1/ ~ Но(<5>Сг)г, г > 0.
£>(Р;(п...ГяЬ) :=ЛП( 1 + (Г1...г„)5).
11
Заметим, что
[Ль, Лп].9 С Я(Я; (г!... г„)5).
Получаем естественное отображение
г Я\ П • • • П Яп Гі П • • • П гп
: [л,,:..'ль “* (п-.-г^ь ’
If.Hi Я„ : <?•[#),... ,ЛП]$ 9 — 1 + (г1 • • -гп)5г 9 Є Яі П*-* П Я^.
Оказывается, для некоторого выбора Я, Я\,..., Яп , существует пространство X , такое что отображение Д?;л1,...,яп представляет собой п -й гомоморфизм Гуревича:
ЯьП-ПДв Пп гхП-ПГп /п п
1Я:,...,ЯП|5Г (Г1-..Г„)5 iu.u-.jj
7ГП(Х)------------ Нп(Х)
(отметим, что, в ряде случаев, в качестве X можно выбрать пространство петель над гомотопическим копределом классифицирующих пространств фактор-групп Г/Яі1 .. - Яік для разных наборов {ц,...,г*,} из {1,..., п} ). В этом случае, фак-
ТОР ^'рё|П. йГ)'>?‘1 представляет собой в точности ядро гомоморфизма Гуревича и
мы можем использовать топологические методы дія его описания. Детали данной конструкции приведены в 7.1. Там же показано, как дія определенного выбора подгрупп, изучаемый фактор оказывается изоморфен гомотопическим группам двумерной сферы.
Перейдем теперь к классическим размерным под рун нам. Пусть С группа. Выберем свободную симнлициальную резольвенту С : Я, —> С . Фильтрация но нижнему центральному ряду Я* и по аугментациошшм степеням ЩЯЛ] задает спектральные последовательности Л(С7) и Е(С) с начальными членами
Е'м(0) = 1г,ЫД)/7,«(Л)), Ё‘,,(С) = ^(Л^Р.)/А^'(К))
и естественным отображением к : Е(Є) —> Е(Є) , индуцированным каноническим вложением Г. —* ЩЯщ\> /»-*/ — 1 • В данных обозначениях естественным образом получается следующее описание отображения из нижних центральных факторов в
12
аугментационные факторы:
7п(С?)/7п+1(С?)
ДП(<?)/Д"+1(С)
Е%0(О) -------------------------------------- £^0(С)
и размерные подгруппы снова связываются с ядрами гомоморфизмов Гуревича определенных пространств. Анализ дш!><|>еренциалов и начальных членов данных спектральных последовательностей приводит к следующей диаграмме, состоящей из естественных эпиморфизмов и мономорфизмов:
£ег(*з.о) —А(С)/74(С) (0.0.4)
Уг(С) <■ Ь^РНСаь)
здесь 115‘Р2(6,оь) - первый производный функтор в смысле Дольда-Пугше от симметрического квадрата, примененный к абеленизации группы С , У2(С) - не кагоры й функтор, значения которого всегда являются 2-кручением (под дс^ мы понимаем соответствующее <ш)бражение между членами спектральных последовательностей Е^(С) —* Е^^С) ). Ценность данной диаграммы не просто в том, что она абстрактно связывает размерный фактор £>4((7)/74((3) с "производным миром", а в том, что она указывает конкретное место этого сложного теоретико-группового явления внутри теории производных функторов. Для высших размерных подгрупп, то есть для случая 71 > 4 , ситуация оказывается куда более сложной. Определим функтор в,, в категории абелевых групп как
5П(А) = сокег(И*(А) ^ ®п(А)),
где А - абелева группа, £п п -й лиев функтор. В данных обозначениях, изучение дифференциалов спектральных последовательностей, с неоднократными применениями леммы о змее, приводит к следующей диаграмме, являющейся обобщением
13
диаграммы (0.0.4):
кег(1к^0)
^г«о)
*ег(<о)
кег«,о)
Уп-1(0)
7„(С)ГРг,^ I (С)
7п+1<С)
соксг(£п— 1) ~ /цЗп-^аб)
со^ег(х/с^0)
(0.0.5)
Все обозначения отображений и функторов из этой диаграммы приведены в 5.2. Здесь означает первый производный функтор в смысле Дольда-Пупне (29]. Я/фа ксг(кгп0) , возникающие в данной диаграмме имеют естественную теоретико-групповую интерпретацию и играют центральную роль в методах Шьегрена и Гун-ты.
Содержание работы
Глава 1 посвящена изучению свойств нилыютентной и ра31юшимой аппроксимируемости групп и скрещенных модулей. Основные объекты исследования первой главы - класс нильпотентно аппроксимируемых групп, таких что любое их центральное расширение также нильпотентно аппроксимируемо и класс разрешимо аппроксимируемых групп, таких что любое их абелево расширение разрешимо аппроксимируемо. Рассматриваемые методы изучения нилыютентной аппроксимируемости центральных расширений гомологические, в то время как для изучения свойств разрешимой аппроксимируемости абелевых расширений, мы пользуемся теорией точных действий групп.
Мы начинаем 1.1 с изложения основных свойств фильтрации Дваера, и граю-
14
щей важную роль в теории центральных расширений групп. Далее мы показываем, что группа с одним соотношением нильпотентно аппроксимируема тогда и только тогда, когда нильпотентно аппроксимируемо любое ее к -центральное расширение (при к — 1,2 ) (теорема 1.3.3). Используй свойства представления Гупты, мы строим конечно-представлеииую нильпотентно аппроксимируемую группу, имеющую не нильпотентно аппроксимируемое расширенно, но обладающее нильпотентно аппроксимируемым свободным центральным расширением (теорема 1.3.5).
Мы также показываем (теорема 1.2.2), Существует конечно-представленная ниль-нотентно аппроксимируемая группа Н , такая что для любого к > 1 и любого свободного непредставления Н — F/R, группа F/[R,k /•'] не является нильпотентно аппроксимируемой. Для доказательства данного утверждения используется теория производных пределов. Производные пределы от обобщенной фильтации Дваера появляются в рассматриваемой теории естественно (см. следствие 1.2.1) и представляют собой еще один пример гомологических (или гомотопических) методов, позволяющих получать результаты в теории групп.
В 1.4 рассмотрены свойства групп, связанные с разрешимой аппроксимируемостью. Используя методы теории модулей над групповыми кольцами, мы приводим некоторые результаты о связи алпроксимационных свойств в группах с конечными нормальными подгруппами (теорема 1.4.1 и следствие 1.4.1), а также получаем метод построения конечно-порожденных разрешимо аппроксимируемых групп, для которых существуют не разрешимо аппроксимируемые абелевы расширения (теорема
1.4.2). Мы завершаем главу 1 некоторым обоснованием рассмотрения траисфинит-ных производных рядов в группах, приводя топологические приложения.
В главе 2 мы изучаем связь асферичности с аппроксимаиионными свойствами скрещенных модулей и cat1 -груши Используя свойства гомологий и инвариантов Бэра скрещенных модулей, мы получаем следующее (следствие 2.1.1): пусть (М,д,F) скрещенный модуль, дня которого группа F свободная, Hi(Coker(d)) свободная абелева и Н2В(М,д, F) = 0 , тогда кег(д) = 7Д/'1, М) . Таким образом, в ряде случаев, ядра скрещенных модулей совпадают с пересечением нижнего центрального ряда.
Мы показываем, что действие коядра на ядре проективного неасфернчного модуля всегда является точным. Известная теорема Уайтхеда, по сути, явившаяся от-
15
нравной точкой в теории скрещенных модулей утверждает, что любого двумерного CW-комнлскса К , его фундаментальный скрещенный модуль
д:ъ(К,КЫ)-+тч{КМ) (0.0.б)
( - одномерный остов К ) является свободным, а следовательно проективным
скрещенным модулем. Отсюда следует, что для любого неасфсричного двумерного комплекса К стандартное действие тт\(К) на чгъ(К) является точным. В случае, когда комплекс X является доминируемым двумерным комплексом, фундаментальный скрещенный модуль (0.0.6) также ялвяется проективным. Поэтому точность действия 7Ti(К) на тгг(К) имеет место и в случае 2-доминируемости комплекса К . При этом, сам модуль ^{К) , естественно, не обязан быть Z[tti(K)] -точным. Например, в случае проективной плоскости К = Р2 , элемент 1 + g аннулирует весь модуль тг2{К) ~ Z [ g - нетривиальный элемент в 7г| (К) ). Как следствие точности действия, мы находим связь асферичности некоторых комплексов с разрешимой аппроксимируемости их фундаментальных cat1 -групп (теорема 2.2.2): пусть К двумерный комплекс, для которого К+ асферичен, тогда следующие условия эквивалентны:
(i) ТГ2(К, К1) * Vi(Kl) разрешимо аппроксимируема (здесь К1 1-мерный остов
К)\
(и) К асферичен.
Здесь К+ плюс-конструкция Квиллена. При этом, имеет место следующий результат Хаусмана |5б): плюс-конструкция подкомплекса асферичного двумерного комплекса асферична. Таким образом, теорема 2.2.2 дает еще одну теоретико-групповую переформулировку гипотезы асферичности Уайтхеда. Эквивалентность асферичности и разрешимой аппроксимируемости фундаментальной cat1 -группы также имеет место к случае двумерного комплекса, у которого первые гомологии без кручения, а вторые тривиальны (следствие 2.2.2). Помимо упомянутых результатов, в главе 2 разни виты методы работы с нижними центральными рядами скрещенных модулей, которые приводят в том числе и к теоретико-групповым результатам.
Глава 3 посвящена обобщению гомологических методов Пасси на случай произвольных двусторонних идеалов в групповых кольцах. Вводится понятие когомологической согласованности идеалов в групповых кольцах и указывается связь данного понятия с обобщенными размерными подгруппами. Для любого п > 1 , онределяют-
16
ся классы гомоморфизмов <рп , такие что квази-многообразие групп с тривиальной (п *Ь 1) -й размерной подгруппой оказывается классом локальных объектов в категории групп, заданных с помощью класса фп (предложение 3.2.4). Теоремы 3.1.1 и 3.1.2 из главы 3 уже приведены выше при описании гомологического подхода к размерным подгруппам.
Главу 4 мы начинаем со слов Ильи Ринса "Когда я взглянул на пятую размерную подгруппу, я увидел там бездну"в качестве эпиграфа. В качестве иллюстрации к данной цитате, мы представляем диаграмму (5.4.4), описывающую связи пятой размерной подгруппы с производными функторами. Глава 4 посвящена комбинаторике размерных подгрупп. Мы строим группу с четырьмя порождающими и тремя соотношениями, не обладающую размерным свойством (пример 4.1.3): в группе
(*1, Х2, Х3, Х4 | х\[х4, Х3]2[х4, Х2] = 1,
*2*1*4, *3]4[*4, *1]-1 = 1, Х^[х4, Х2]_,[х4, XI]"2 = 1)
имеет место \х\, х?\ [XI, Хз4)[х2) Х328] <Е ДЛ71 • Отметим, что для любой З-порожденной группы С имеет место свойство О-(С) = 74(С) (см. [49]). Мы показываем, что что для любой группы 6* , заданной копрсдставлением с двумя соотношениями, также выполняется свойство 7Д(£) = 74(0) (теорема 4.2.2). Таким образом, в некотором смысле, пример 4.1.3 является минимальным примером группы С С
£>4(С)^74(С).
Далее мы строим новые примеры групп без размерного свойства в произвольной размерности > 4 (пример 4.1.10): Для каждого целого числа п > 1 , существуют числа к,1 (к > I) , такие что для группы <25 заданной копредставленисм1
(х,, Х2, Хз, х4, Х5 I = 1, Х^2 = 1, Х2*£, = 1,
((*5, „х4], Х1)4[[Х5, пх4], х3) х3]2*"1 = 1, = !).
где
^1 = [|Х5, пХ4], Хз] [[х.5, ПХ4], Х2][.Х5, п+1Х.|] ,
& = [[Х5, пХ4], Х3]2'"2[[Х5, пХ4], Хт]-1 [х5, П+1Х4]2,
6 = [[х5, пХ4], х2]"2< ',[[х5, пХ4], Хх]"2,
'Для элементов а,Ь,с группы, мы используем обозначения (а, -Ь) = (а,6], [а, п6) = [(«, п-1Ь],Ь], п > 1 , а также [а,6,с] = ({а,6],с]
17
имеет место Ь)п - [гг,, а^*](хь ][а:2, т2**1] € А1+П(ФП) \ 74+п(^г.) . Далее мы
строим б-порожденную группу Г со свойством £)6(Г) ^ 75(Г) (пример 4.1.11):
(хи х2, Х3, х4, х5, х6 ) х5[аг4, *о, хл]л[х4, х6, х2],
х%1[х4, Тс, т3)“16(т.ь Те, ®1)”"1[Т4, ТС, Т5|16, х%(т4, т7, т2)16[т4> т6, Т]]“4, х\™[х4у Хс, Т2]1С,
(т.1, То, х5]2(И8, [т4, То, т,]1С, [т4, т6, т2]128,
[т4, Тб, Ті, Ті](т4, т6, т2, т2]"8,
[т4, Тс, т2, Т2)_8[Т4, т6, т3, Тз]21-3),
для к > 13. Также мы приводим доказательство теоремы Тахары о том, что А»(<2)° С т5(С) для любой группы Є . Приведенное доказательство в несколько раз короче оригинального.
В 4.4 мы приводим решение проблемы Плоткина из [88] (теорема 4.4.2), а именно показываем, что квазимногообразие групп с тривиальной четвертой размерной подгруппой не является конечно базируемым. Данный результат показывает принципиальное различие между нижним центральным и размерным рядом. Далее мы строим примеры групп, не обладающих лиевым размерным свойством (теорема 4.5.2), более того, показываем, что ддя произвольного натурального числа .9 , существует число п и нилыютентная группа (7 класса п , такая что £>[„+*] (С) ф 1 .
Глава 5 посвящена гомотопическим методам в теории размерных подгрупп. Основ ные идеи предлагаемого подхода уже были приведены. К примеру, одним из основных результатов главы 5 является существование канонической диаграммы (0.0.4). Мы начинаем главу 5 с элементарного введения в теорию симшжциальных групп, гомотопических модулей и т д. В начале главы 5 можно найти простейшие определения и классические утверждения, используемые и работе.
Как приложение гомотопических методов, имеем следующее утверждение (теорема 5.4.1): пусть <7 группа с Я2(С) = 0, Ь\5Р7(Саъ) — £іЯ;і((?сь) — 0 , тогда Я5(б?) = 75(<7) . Как технический результат, представляющий, однако, независимый интерес, мы показываем (теорема 5.2.2): если Р свободная группа и Я нормальная подгруппа и Р , тогда
ЯП(Ц-Д(Я)(ЯП[Я,Я)-1)+(ЯП[Я,Я]-1)Д(Я)4-г(2)+А(/04) = [ЯП[Я,Я], Я]74(Я),
18
где г(3) = Д2(Я)с 4- Д (Я)сД(Я) + гД(Я)2, с = (II- ОДР) .
Глава б посвящена дальнейшему описанию гомотопических аспектов теории групп. Пусть двумерный комплекс К представим, как объединение трех подкомплексов К — К\ и К2 и Кз , которые попарно пересекаются по 1-мерному остову К1 комплекса К . Тогда существует естественный гомоморфизм п\(К) -модулей
/ г^, ____________П Я2 Г, Яд______________
7731 ' “* [Ль Я2 П Яз)[Л2> Я3 П ЯгЦЯз, Ях П Я2)
где Я*- = Агег{тг1(Я'1) —> 7Г1(/^)},г = 1,2,3. В ряде случаев, этот гомоморфизм является изоморфизмом. Таким образом, георетико-групповая структура, у которой достаточно сложно описание, связывается с гомотопическим модулем, что позволяет применять методы теории гомотопий для получения теоретико-групповых результатов. Как одно из приложений данной конструкции, приведен канонический гомоморфизм
И (я/п /? Я Ч — _____________________Д| | ч Я2 Н Яз__________________
з; (Й,, д, п д3][д2, д3 П л,)(д3, я. П я2](д, я, п д2 п я3] ’
Отмстим, что результаты главы б получили дальнейшее развитие в работах |3б], [77), [109). В 7.1 приведены результаты о размерных подгруппах, определяемых симметрическими произведениями идеалов в групповых кольцах. Приводится доказательство существования диаграммы (0.0.3) для некоторого выбора нормальных подгрупп. Таким образом показано, как теория высших гомотопических групп (а в контексте 7.1 - теории гомотопических групп сфер) позволяет получать результаты из теории групповых колец.
Основные результаты
Цель данной работы - развитие новых методов в теории групп и групповых колец. Гомотопические и гомологические методы эффективно применяются с целью получения результатов теории групп. Основными результатами работы можно считать следующие:
• Построение конечно-порожденной нильпотентио аппроксимируемой группы, для которой свободные центральные расширения любой ступени не являются иильиотентно аппроксимируемыми;
19