Инвариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях

Содержание
1 Введение 2
2 Торические многообразия 5
2.1 Весры..................................................... 5
2.2 Классическая конструкция торических многообразий .... 7
2.2.1 Аффинные торические многообразия................... 8
2.2.2 Проективные торические многообразия............... 11
2.3 Торические многообразия как факториространства:
конструкция Ватырева-Кокса............................... 12
2.4 Гамильтоновы действия тора и симплектическая редукция 17
2.4.1 Метод симплектической редукции.................... 17
2.4.2 Момент-угол многообразия.......................... 19
2.4.3 Торические многообразия и симплектическая
редукция............................................23
2.5 Пространство орбит действия компактного тора .............25
3 Квазиторические многообразия 29
3.1 Определение и конструкция квазиторичсских многообразий Дэвиса-Янушкиевича................................30
3.2 Полиориентации и комбинаторные квазиторические данные 33
3.3 Канонические гладкости и стабильно комплексные
структуры ................................................37
3.4 Веса и знаки неподвижных точек действия тора .............40
4 Инвариантные почти комплексные структуры на
квазиторических многообразиях 43
4.1 Формулировки и определения................................43
4.2 Примеры и замечания.......................................46
4.3 Доказательство теоремы (4.1)............................. 48
4.3.1 Обозначения........................................48
4.3.2 Условие положительности и переход к 1-остову ... 49
4.3.3 Тривиальность высших препятствий...................50
4.3.4 Окончание доказательства...........................56
4.4 Доказательство теоремы (4.2) и следствий..................56
4.4.1 Согласованность с инвариантной метрикой..........................56
4.4.2 Построение и свойства различающей коцепи...........59
4.4.3 Доказательства следствий и примеры.................61
4.5 Связь с комбинаторикой многогранника. Инвариант ?'(Р) . 65
4.6 Характеристические числа..................................68
ес
1
4.6.1 Обзор результатов в неэквивариаитном случае ... 68
4.6.2 Полиориентированные квазитори веские
многообразия.......................................70
1 Введение
Тема настоящей диссертации - инвариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях. Мы исследуем вопросы существования, единственности и эквивалентности таких структур, а также зависимости от комбинаторных данных.
Квазиторические многообразия - один из основных объектов торической топологии, области математики, возникшей за последние 20 лет на стыке таких классических областей, как эквивариантная алгебраическая топология, симплектичсская и алгебраическая топология и геометрия и комбинаторика. Основополагающей работой в области явилась статья Дэвиса и Япушкисвича (|9|). В этой работе была решена такая важная задача, как построение чисто топологического аналога ставшего классическим объекта алгебраической геометрии - торнческих многообразий. Новые объекты стали известны в литературе иод именем "квазиторических многообразий". Оказалось, что эти объекты наследуют многие известные свойства проективных торнческих многообразий, такие, как комбинаторное описание кольца когомологий, стратификация но орбитам действия тора. В работе [9| были также приведены наброски доказательства существования гладкости и комплексной структуры на стабилизированном касательном расслоении.
В работе |6| был описан комбинаторный язык, позволивший описать все топологические свойства и характеристики квазиторических многообразий в терминах чисто комбинаторных данных - простого многогранника и целочисленной характеристической функции. Это сделало возможным конструктивное построение канонической инвариантной гладкой структуры и канонической стабильно комплексной структуры на квашторичсском многообразии в терминах комбинаторных данных.
Кроме того, благодари комбинаторному языку появилась возможность строить автоматически в неограниченном количестве многообразия с теми или иными заранее известными топологическими свойствами. Комбинаторный язык сделал возможным создание "машины" для производства квазиторических многообразий.
Говоря более детально, квазиторические многообразия
2
это многообразия с действием тора половинной размерности с пространством орбит действия, эквивалентным простому
многограннику. Как уже было сказано, одним из их основных свойств является наличие канонической инвариантной стабильно комплексной структуры. Вопрос о том, эквивалентна ли стабильно комплексная структура на данном многообразии некоторой почти комплексной, был успешно решен в работе [24]. 13 работе [9] была поставлена аналогичная проблема торической топологии: предъявить комбинаторный критерий для существования инвариантных почти комплексных структур на данном квазиторическом многообразии.
Одним из результатов, полученных в данной диссертации, является решение этой проблемы.
Результаты диссертации опубликованы в работах [14| и |15|. Главы 1 и 2 посвящены классической теории торических многообразий и квазиторическим многообразиям. В главе 1 мы рассматриваем классические и современные конструкции торических многообразий, включая конструкцию Кокса и симплектическую редукцию для проективных торических многообразий. В главе 2 приводятся конструкции квазиторических многообразий, канонической гладкости и канонических стабильно комплексных структур, а также несколько определений знака неподвижной точки, играющих роль комбинаторного языка для формулировки критерия существования и единственности.
В главе 3 приводятся формулировки и доказательства результатов и утверждений, касающихся инвариантных структур. Основной результат диссертации таков:
Теорема. Каноническая стабильно комплексная структура на квазиторическом многообразии эквивалентна некоторой инвариантной почти комплексной, если и только если соответствующая ей полиориентация полоэюитпелъна.
Это утверждение, в свою очередь, является следствием двух следующих теорем.
Теорема 4.1 (существование). Квазиторическое многообразие М допускает Т"-инвариантную почти комплексную структуру тогда и только тогда, когда оно обладает полоэюительной полиориентацией.
Положительная пол «ориентация многообразия определяется в терминах знаков неподвижных точек, введенных в п. 3.4. Утверждение теоремы было ранее получено Н. Э. Добр и некой для случая п ^ 7 иным
3
методом. Существенные; результаты были также получены в работе [17).
Теорема 4.2 (стабильная эквивалентность). Пусть ./0 и - две
Т*-инвариантные комплексные структуры на расслоении т(М) ©1£2/, I > 0, индуцирующие одну полиориентацию па М. Тогда «70 и J\ окоивариантно гомотопны. Иными словами, существует непрерывное по Ь семейство ./(£) инвариантных комплексных структур па т(М)(&Е2{ такое, что </(0) = Л « J( 1) = Л-
Из двух основных теорем и их доказательств можно получить ряд следствий об эквивалентностях инвариантных структур, которые приведены в п. 4.4.3.
В разделе 4.5 рассматриваются комбинаторные вопросы, возникающие в связи с исследованием множества инвариантных почти комплексных структур. Для каждой размерности строится пример квазиторического многообразия, не допускающего никакой инвариантной почти комплексной структуры (следствие 4.30). Мы определяем комбинаторный инвариант многогранника г(Р), отвечающий за число положительных полиориентаций, и с помощью оценки на г(Р), полученной в предложении 4.33, доказываем следующий результат.
Теорема 4.8. Число инвариантных почти комплексных структур па квазиторичсском многообразии М2п не превосходит 2П.
В разделе 4.0 содержится краткий обзор проблемы Хирцебруха о допустимых значениях чисел Черна различных классов многообразий. Приводятся результаты для квазиторических многообразий с инвариантной почти комплексной структурой.
Я благодарен моему научному руководителю Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку, интересные и продуктивные обсуждения и интерес к моей научной работе. Хотел бы выразить благодарность Т. Е. Панову, также проявившему очень большое внимание и оказавшему поддержку в работе, Н. Рэю, Л. А. Алании, М. Э. Казаряну, С. В. Дужину, И. А. Дынникову, С. К. Ландо, Ю. М. Бурману, О. В. Мусину за псоцспимос научное обсуждение. Я благодарен всем людям, научившим и привившим мне интерес к математике, в особенности И. В. Ященко, Р. К. Гордину, А. Ю. Митягину, А. Б. Скоиенкову, А. В. Иншакову, С. В. Маркелову, Р. М. Федорову.
Большое спасибо Е. Горскому, Г. Мерзону, Г. Гусеву, М. Берштейну, А. Мазур, Д. Гугшшу, А. Гайфуллину, Н. Ероховцу, В. Горину, Е.
4
Гречникову, Ю. Устиновскому, М. Горскому, беседы с которыми много для меня проясняли.
В заключение я хотел бы поблагодарить своих родителей, родных, близких и знакомых за их терпение и понимание, проявленное в процессе работы над диссертацией.
2 Торические многообразия
2.1 Вееры
Хотя вееры изучались и выпуклой геометрии и ранее, особый интерес они привлекли благодаря их тесной взаимосвязи с три чески ми многообразиями, открытой в начале 1970-х годов. Мы подробно рассмотрим эту взаимосвязь в следующих разделах, а здесь дадим необходимые определения и конструкции.
Определение 2.1. (Терминология вееров). Пусть N ~ Z’, -
целочисленная решетка ранга п и М* = ІУдоК - объемлющее векторное пространство. Для каждого набора векторов аь...,а* Є определим порожденный ими выпуклый многогранный конус а:
о = {/XIаі 4-... + ркак : щ Є К, /х, > 0). (1)
Конус а называется рациональным, если его образующие Оі,...,ав можно выбрать из целочисленной решетки ЛГ, и называется сильно выпуклыми, если он не содержит ни одной прямой. Далее мы будем рассматривать только сильно выпуклые рациональные конусы а, если не оговорено противное. Конус называется симплициалъным, если он порождается частью базиса пространства Ад. Конус называется нсособым, если он порождается частью базиса решетки N. Гранью конуса а называется пересечение а ПН конуса с гиперплоскостью Я, для которой а целиком содержится в одном из определяемых ею полупространств. Грань конуса снова является конусом. Единственная 0-мерная грань называется вершиной, а 1-мерные грани - лучами (или ребрами конуса). Если конус является неособым, то он порождается целочисленными примитивными векторами вдоль его ребер.
Веером называется набор Е конусов в такой, что грань каждого конуса из Е также содержится в Е, и пересечение любых двух конусов из Е является гранью каждого из них. Веер Е называется симплициальным (соответственно, неособым), если все его конуса являются симплициальными (соответственно, неособыми).
5