Канонические и граничные представления на сфере с действием обобщенной группы Лоренца

ч
Содержание
Введение..............................................................5
Глава I. Представления обобщенной группы Лоренца, связанные с
конусом...................................................................30
§ 1. Обобщенная группа Лоренца..........................................30
§ 2. Представления обобщенной группы Лоренца, связанные с конусом 32
Глава II. Гармонический анализ на однополостном гиперболоиде 37
§ 3. Однополости ый гиперболоид............................................37
§ 4. //-инварианты.........................................................40
§ 5. Преобразование Пуассона...............................................42
§ 6. Преобразование Фурье..................................................55
§ 7. "Усреднение" по подгруппе // .........................................56
§ 8. Собственные функции оператора Ьа......................................59
§ 9. Собственные функции //-радиальной части оператора Лапласа.............63
§ 10. Сферические функции..................................................64
§ 11. Спектральные разложения по собственным функциям оператора Лежандра
70
§ 12. Разложение квазирегулярного представления на одноиолостном гиперболоиде ....................................................................... 75
Глава III. Гармонический анализ на пространстве Лобачевского 80
§ 13. Гармонический анализ на пространстве Лобачевского..............80
2
Глава IV. Форма Березина на гиперболоидах с надгрупиой SL(n,R) ... 87
§ 14. Форма Березина на гиперболоидах и нарах гиперболоидов................87
§ 15. Смешанные сферические функции........................................88
§ 16. Разложение формы Березина на однополостном гиперболоиде..............92
§ 17. Разложение формы Березина на пространстве Лобачевского..............102
§ 18. Разложение формы Березина на паре гиперболоидов.................... 106
§ 19. Гармонический анализ на паре гиперболоидов..........................110
Глава V. Максимально вырожденные серии представлений группы
SL(tz,R).....................................................................112
§ 20. Группа SL(n, R), ее разложения..................................... 112
§ 21. Максимально вырожденные серии представлений........................ 115
§ 22. Сплетающие операторы................................................118
Глава VI. Канонические и граничные представления на сфере с надгруппой SL(n, R) ........................................................ 122
§ 23. Канонические представления. Форма Березина..........................122
§ 24. Граничные представления.............................................124
§ 25. Преобразования Пуассона, связанные с каноническими представлениями 127
§ 26. Преобразования Фурье, связанные с каноническими представлениями ... 137
§ 27. Преобразования Пуассона и Фурье в полюсах друг друга............... 139
§ 28. Разложение граничных представлений..................................141
§ 29. Разложение канонических представлений и формы Березина............. 144
3
Глава VII. Канонические и граничные представления на сфере с
надгруппой SOo(l,n)............................................................152
§ 30. Представления надгруппы, связанные с конусом......................... 152
§ 31. Канонические представления........................................... 154
§ 32. Граничные представления...............................................155
§ 33. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническим.представлением 157
§ 34. Преобразования Пуассона и Фурье в полюсах друг друга................. 160
§ 35. Разложение канонических представлений................................ 162
Литература................................................................. 167
4
I
Введение
Канонические представления
па эрмитовых симметрических пространствах С/К были введены в работах Ф. А. Березина [15] и А. М. Вершина, И. М. Гельфанда и М. И. Граева [16] -для нужд квантования и квантовой теории поля. Эти представления действуют сдвигами в функциях на С/К и являются унитарными относительно некоторого ислокалъпого скалярного произведения, теперь называемого формой Березина. Они являются деформациями квазирегулярного представления группы б?, действующего сдвигами в пространстве Ь2 на С/К (ядро скалярного произведения в Ь2 есть дельтафункция, это - локальное скалярное произведение). Разложение квазирегулярного представления на однородном пространстве на неприводимые составляющие есть основная задача абстрактного (некоммутативного) гармонического анализа. Появление нелокального скалярного произведения делает теорию (некоммутативный гармонический анализ) значительно более богатой и интересной - как для самой математики, так и для ее приложений.
Изучение канонических представлений на эрмитовых симметрических пространствах С/К стало в последнее время привлекательной и популярной задачей для математиков из многих стран: Г. ван Дейк [39 -46], С. Хилле |40| (Нидерланды),
А. Унтербсржс [60], М. Певзнер [46], А. Паскуале |42-43) (Франция), Т. Номура [49, 55-57], Т. Кобаяси (Япония), Г. Чжанг [61) (Швеция), Б. Орстед (Дания), Я. Петре (Финляндия) [58], Дж. Арази (Израиль), Г. Упмайер [60) (Германия), М. Энглис [47~48| (Чехия), В. Ф. Молчанов [29-31, 41, 51—53), Ю. А. Неретин [32, 54] (Россия) и другие.
Новый подход
к этому понятию канонического представления предлагается В. Ф. Молчановым [29— 31]. Основная идея состоит в расширении этого понятия и распространении его с класса эрмитовых симметрических пространств С/К, рассматривавшегося ранее, на другие классы симметрических полупростых пространств О///, используя для этого понятия подгруппы.
При этом оказывается естественным отказаться от слишком стеснительного условия унитарности, нужно позволить каноническим представлениям действовать в достаточно широких пространствах функций и даже более того - в пространствах сечений линейных расслоений, в частности, в пространствах обобщенных функций. Эти пространства не обязательно гильбертовы (или банаховы). Болес естественной для такой цели является структура ядерного пространства. Кроме того, естественным является расширение рамок для изучения гармонического анализа: теория должна включать действие группы С не только на ее однородных пространствах, но и на многообразиях с нетранзитипным действием группы <2. В качестве таких многообразий мы берем флаговые пространства надгрупп (7.
5
Этот подход состоит в следующем. Пусть С - иолу простая группа Ли и С -надгруппа для С, это означает, что С есть подгруппа группы С и эта подгруппа -сферическая, т. е. выделяется из С некоторой инволюцией. Пусть Р - максимальная параболическая подгруппа группы С, пусть Яд, Л € С, - серия представлений группы С, индуцированных характерами (одномерными представленнями) подгруппы Р. Представления Яд могут зависеть еще от. некоторых дискретных параметров, сейчас мы их не пишем. Как правило, представления Яд неприводимы. Они действуют в функциях на некотором компактном многообразии £2 (пространстве флагов для иадгруппы С).
Обозначим через Яд ограничения представлений Яд на группу С:
Яд = Яд| .
ІС7
Мы называем эти представления Яд каноническими прсдставленгіями группы С. Они действуют в функциях на С2.
Вообще говоря, многообразие £2 не является однородным нространсиюм группы С, эта группа имеет несколько орбит на £2. Открытые (7-орбиты являются полунростыми симметрическими пространствами С/Я,. Подгруппы Я, получаются как пересечения Нг = ЄПд"1 Р д1} где д% - некоторые элементы из С Эти подгруппы могут оказаться неизоморфными. Многообразие £1 есть замыкание объединения открытых (7-орбит.
Серия представлений Яд обладает сплетающим оператором Л\: он- сплетает представления со значениями параметра Л и Л* = N — Л, где N - некоторое число, зависящее от £2. Композиция этого оператора и инволюции, выделяющей группу С в (7, порождает некоторый оператор <2д, который играет важную роль во всей теории. Мы называем этот оператор преобразованием Березина. Он сплетает канонические представления с параметрами Л и Л’.
Наряду с указанным понятием канонического представления можно рассматривать несколько другую его версию (более раннюю): ограничение канонических представлений к нервом смысле на какую-нибудь одну (7-орбиту С/Я в Г2. Оба варианта должны быть предметом изучения. Но первый из них приводит к более естественной и прозрачной теории. Например, в первом варианте легко написать оператор, обратный к преобразованию Березина Од, это - оператор Оа*, а во втором - это трудная задача.
Граничные представления,
порождаемые каноническими представлениями Яд, связаны с границами С-орбит С/Я,, эти границы состоят из С-орбит меньшей размерности. Граничные представления распадаются на два типа: представления одного типа действуют в обобщенных функциях, сосредоточенных на объединении 5 границ, представления другого типа действуют в струях, трансверсальных к 5 (в коэффициентах рядов Тейлора по степеням "расстояния" до границы). Эти два типа двойственны друг другу. Появление граничных представлений связано как раз с широкой трактовкой понятия канонического представления. Граничные представления
б
интересны как сами но себе (вообще, изучение представлений в обобщенных функциях, сосредоточенных на подмногообразиях, - одна из самых "горячих тем" и интригующих задач в некоммутативном гармоническом анализе), так и с точки зрения разложения канонических представлений, они "склеивают" представления на отдельных орбитах (7/Я,-.
Квантование в духе Березина
на пара-эрмитовых симметрических пространствах С/Я тесно связано с каноническими представлениями, см. [50). Здесь роль переполненной системы играет ядро (функция) сплетающего оператора для представлений группы С максимально вырожденных серий. С одной стороны, преобразование Березина переводит контра вариантные символы в ковариаитные, с другой - его ядро (функция) дает умножение в алгебре ковармантных символов.
Основными задачами
развиваемой теории являются следующие:
а) разложить канонические представления на неприводимые составляющие (тот факт, что канонические представления не обязательно унитарны, вносит особые трудности в эту задачу и предъявляет особые требования к построению теории);
б) найти дискретные составляющие канонических представлений, эквивалентные частям граничных представлений;
в) разложить граничные представления (решение этой задачи тесно связано с мероморфной структурой преобразований Пуассона и Фурье, ассоциированных с каноническими представлениями);
г) разложить преобразование Березина (основной объект в теории квантования) по операторам Лапласа;
д) найти асимптотику преобразования Березина, когда комплексный параметр, нумерующий канонические представления, стремится к бесконечности, это включает в себя отыскание принципа соответствия из теории квантования но Березину, заметим, что указанный параметр тесно связан с "постоянной Планка", таким образом, в теорию включается постоянная Планка, принимающая комплексные значения;
Однородные пространства (7/Я, для которых ставятся сформулированные задачи, это - симметрические полупростые пространства. Такие пространства образуют обширный и крайне важный класс (как доя математики, так и для приложений - в космологии, квантовой теории, теории относительности и т. д.) однородных пространств.
Подкласс римановых симметрических пространств (здесь инвариантная метрика положительно определена) более прост в изучении. При переходе от римановых пространств к другому подклассу - псевдоримановых симметрических пространств (здесь инвариантная метрика не является знакоопрсделснпой) трудности в изучении
7
гармонического анализа резко возрастают.
Среди всех симметрических полу простых пространств О/Н (как римановых, так и псевдо-римановых) выделяется подкласс симплектических симметрических пространств. Именно на пространствах этог о класса должно строиться квантование в смысле Березина.
Помимо симплектических симметрических пространств чрезвычайно важный класс образуют гиперболические пространства - вещественные (гиперболоиды), комплексные, кватернионные и октавное:
80о(р,$)/80о(р,д-*1),
8и(р,*)/8(и(р,*-1)хи(1)),
вр(р, <г)/8р(р, Я - 1) X 5р(1),
^4,-2о/Зрт(9).
Именно вещественные гиперболоиды служат открытыми (2-орбитами на многообразии П в нашей работе.
Краткое содержание диссертации
Остановимся коротко на содержании диссертации. Мы проводим изложенную выше программу для обобщенной группы Лоренца (псевдоортогональной группы) <2 = 8О0(1,7і — 1), действующей на единичной сфере П в пространстве К71. Мы рассматриваем два варианта действия группы (7 на сфере Сі. Они связаны с двумя вариантами надгрунпы <2.
Мы будем считать, что группы действуют в пространствах и на многообразиях справа-, х н-> хд, в соответствии с этим мы будем записывать векторы в виде строк.
Группа (2 - это связная группа линейных преобразований пространства ІК”, сохраняющих билинейную форму
[х,у\ = —Х\У\ + Х2у2 + ... + ХпУп-
Ее орбиты в К71 - эго однополостиые гиперболоиды [х,х] = с, с > 0, иолы двуполостных гиперболоидов [ж, х) = с, с < 0, две полы конуса [х,:с| = 0, х -ф- О, и начало координат х = 0.
Первый вариант - вариант (А) - состоит в том, что в качестве С мы берем специальную линейную группу 5Ь(п, К). На пространстве К71 она действует линейно: х »-*■ хд . Это линейное действие на дает действие и н-> ид/\ид\ на единичной сфере П : |м|=1 (транзитивное) с помощью центрального проектирования х н-> х/\х\. Здесь через \х\ обозначается евклидова норма.
Соответствующее действие и »-> ид/\ид\ группы С на П имеет 5 орбит. Это - три открытые орбиты: северная полярная шайка [г/, и] < 0, Н| > 1/\/2, южная полярная шапка 1ЇІ: [и,и] < 0, и і < —1/\/2 и сферический пояс П+: [и,и] > 0, они отвечают двум полам У*: [а?,ат] = -1, хх ^ 1, и У“: [ж,х] = — 1, х\ ^ —1, двуполостного гиперболоида [х, х] = —1 и однополостному гиперболоиду
8
X: [х,х] = +1, соответственно. Еще имеется две орбиты размерности п-2 (сферы): О? • [«,и] = 0, «і = 1/\/2, Пц : [и,?/] = 0, щ = —1/\/2, находящиеся между
открытыми; они отвечают двум иолам конуса [х,х] = 0. Обозначим через П_ и По объединение полярных шапок и орбит размерности п - 2, соответственно.
Таким образом, сфера П получается "склейкой" двуполостного гиперболоида и одиополостиого гиперболоида по их границам ("бесконечностям").
Многообразие У+ есть пространство Лобачевского размерности п — 1. Однополостный гиперболоид X иногда называют мнимым пространством Лобачевского.
Пусть у0 = (1,0,.... 0) и х° = (0, ...,0,1) - "начальные" точки многообразии Т+ и X. Стационарные подгруппы этих точек в (7 - это соответствен но подгруппы К = 50(тг - 1) и Н = 5О0(1, п-2). Первая из них компактна, вторая - некомпактна, стало быть У+ - риманово пространство, а X - псевдоримапово пространство.
Второй вариант - вариант (В) - состоит в том, что в качестве надгруппы С мы берем обобщенную группу Лоренца большей размерности, а именно, группу £Оо(1,п). Мы расширяем пространство Кп до пространства Кп+1, добавляя координату хп+|, и рассматриваем в Кп+1 билинейную форму
у]] = ~Х\У\ + ХчУч + - + ХпУп + Хп+\Уп+1’
Сфера П есть сечение конуса [[я, ж]] = 0 плоскостью Х\ = 1. Надгруппа С действует линейно в Кп+1, она сохраняет конус [[х, х]| = 0 и действует' транзитивно на каждой из его двух пол Я] > 0 и хі < 0, на сечении П она действует с помощью проектирования х ►-> х/хи это действие транзитивно. Группа С вкладывается в надгруппу С как подгруппа, сохраняющая координату хп+\. Соответствующее действие группы <7 на сфере П имеет- 3 орбиты. Это две открытые орбиты - полусферы хп+і > 0 и хп+і < 0, и орбита меньшей размерности - экватор хп+і = 0.
Таким образом, сфера П получается "склеиванием" двух иол двуполостного гиперболоида [х, х] = —1 по их границам ("бесконечностям").
Основной результат работы состоит в разложении канонических представлений группы (7 = 8О0(1,п—1) на сфере П для обоих вариантов (А) и (В) по неприводимым представлениям группы О, связанным с конусом.
Представления группы (7, связанные с конусом,
см. главу I. Напомним некоторый материал, см., например, [17], [22], |25| об этих представлениях.
Возьмем сечение 5 конуса С плоскостью Х[ = 1. Оно состоит из точек 5 = (1, .92, 5П), 5*2 + ... + 5^ = 1, так ЧТО ОНО вСТЬ сфера В К"-1. Пусть А5 - оператор
Лапласа-Бельтрами на 5 и с1§ - евклидова мера на 5\
Представление Та, а € С, группы С действует на Т>(в):
Эрмитова форма
Ws 4>)s = J^ ^(s) V>(s) <*s инвариантна относительно пары (Ta, Т2-п-ъ), т. е.
(ГаЫ^,У>>5 = <^}Т2-„-а(^_1)^)5-Оператор Л,, на V(S), определенный формулой
(Лгр)(в) = [ ( - [5, tj)2“'1"'7 ¥?(t) (it,
Js
сплетает представления Г* и T2-n-a-
Т2-п-о(9) Аа = Л„ ÎVfa)» .9 ^ (7.
Он мероморфно зависит от <т с (простыми) полюсами в точках о G (2 — 7*)/2 + N. Композиция операторов Аа и Лг-п-а ость скалярный оператор:
Л2—я—<т Лдг _ г j
8тгицсг)
где
и(а) = 2“п”2 7г“п sm^(74-^7r • (2<7-Ьп—2) Г(-сг) Г(а+тг—2)
(как мы увидим позже, со(а) есть "мера Планшереля"). Представление Та и оператор Аа могут быть продолжены на пространство V'(S) обобщенных функций на S.
Представление Т„ неприводимо для всех о, кроме о € N и о G 2 — п — N. Если Т„ неприводимо, ТО Та ЭКВИВаЛСНТНО Т2-п-а (с помощью А„ или его вычета).
Имеется три серии неприводимых унитаризуемых представлений Та и их подфакторов: (1) непрерывная серия: Та, ст G (2 — n)/2-HR, скалярное произведение есть (-ф, (p)s\ (2) дополнительная серия: Та, 2 — п < о < 0, скалярное произведение есть const • {Aa^',(p)s\ (3) дискретная серия: Trd\ г G N, представление
ijd)
действует в фактор-пространстве V(S)/Er, где Ег состоит из ограничений на S многочленов степени ^ г, скалярное произведение индуцируется формой, аналогичной дополнительной серии.
Назовем расширенной дискретной серией совокупность представлений Trd\ г G N, дискретной серии вместе с представлениями Тг дополнительной серии с целыми г, (2 — п)/2 < г < 0.
Рассмотрим подробнее вариант (А). Он значительно более труден, чем (В). Этому варианту (Л) посвящены главы IV, V, VI диссертации.
Максимально вырожденные серии представлений надгруппы,
см. главу V. Мы опираемся на (41). Пусть Л Є С, и = 0,1. Представления 7ГЛі/ надгруппы О = 8Ь(п, К) получаются при индуцировании характерами (одномерными представлениями) параболических подгрупп Р~ группы (7, отвечающих разбиению
10
п = (п—1) + 1. Пусть Х>„(П) обозначает пространство бесконечно дифференцируемых функций /(и) на сфере П четности и. Представление 7Гд „ действует в Т>и(П):
= V (|^|) МЛ-
Представление 7Гд есть тгд^ о 0, где 0 - автоморфизм д 1д'~11> I - диагональная матрица с диагональю {—1,...»—1, -Ы}.
Представления 7г*„ неприводимы, за исключением случаев (а) Л € М, и = Л, (6) А € -ть - К, V = Л + п.
Полуторалинейная форма
</, ь>п=у /(«) щ *>
п
(йт/ - евклидова мера) инвариантна относительно пар (тг*„> 7Г*Л_П„), где берутся либо верхние, либо нижние знаки " ±и. Это позволяет распространить представления тг^ на пространство Х>£(Ю) обобщенных функций на П четности г/.
Представления этих двух серий обладают сплетающим оператором Лд,„, он сплетает' представления 7Г*„ и 7г?Л_п |/.
Канонические представления (см. § 23)
Канонические представления Яд1Х/, А Є С, м = 0,1, группы С = БОоО,«— 1) получаются при ограничении на (7 представлений Яд"„ иадгруппы (7 = ЗЬ(п, Н). Представление Яд^ действует в пространстве XV (П) но формуле
К(.9)/)м=/(^) м-».
Оператор А\г1, порождает оператор <3діХ/, который сплетает Яд,„ с Я_д_„,Р; он определяется формулой
(<2а,, /)(«) = С(А, 1/) J [и, и]*'“ /(и) йь,
п
где с(Л, и) - множитель (23.5). Композиция Ф_д-п,і/Фа,і/ есть тождественный оператор:
С2-л-п,ИЭл,„ = в. (0-1)
Мы называем этот оператор преобразованием Березина. Мы называем формой Березина полуторалинейную форму, порожденную этим оператором, т. с. форму
*М/> Л) = <<?*.„/, Л)п,
так что
#а.Л/, Л) = с(Л, */) I (и, ц]А,1/ /(и) /г(г») сіи гіг/.
Канонические представления ЛАі„ могут быть распространены на пространство Vyip) обобщенных функций на четности и.
Граничные представления (см. § 24)
Каноническое представление Их,и порождает два представления Ь\ и М\, связанные с границей П0 многообразий Эта граница задается уравнением [м,м] = 0. Представление Ьх действует в обобщенных функциях, сосредоточенных на П0> представление МА действует в многочленах Тейлора (струях) от а = [и, и].
Рассмотрим "северную" полусферу сферы П, задаваемую условием щ > 0. Введем на ПЛ "полярные" координаты (а,з), где а = \и,и) = 1 — 2и2, — 1 ^ а ^ 1,
В этих координатах мера du есть
du = 2~nf2 (1 + û)<n-3^2 (I - a)~lf2 dads. (0.2)
Для функции / Є V(Q) рассмотрим ее ряд Тейлора но степеням о в области ÇlN:
cq + Ci а + ... + ст ат 4-...,
здесь с^п - функции из V(S). Пусть c[f] - столбец, составленный из коэффициентов Со,сі5с2,— Имея в виду (0.2), рассмотрим также функцию
/>) = (1 + а)<"'3>/2 (1 - а)-"2/(«),
и ее коэффициенты Тейлора обозначим через cj^. Коэффициенты с*т выражаются через Cjn и обратно - с помощью треугольной матрицы с единичной диагональю.
Обозначим через £а.-(П) пространство обобщенных функций £ из V (Q), сосредоточенных на и имеющих в полярных координатах (a, s) вид
С - <Po(s) à (а) + узДз) <5#(гї.) + ... -I- tpk(s) <5(л)(а)>
где S(a) - дельта-функция Дирака на действительной прямой, <^0, • • •, Фк - функции из V(S). Положим
оо
£(П) = U 2Ь(П). (0.3)
*=0
Каноническое представление ЯАі„, рассмагривасмое па Х>1,(^), сохраняет каждое ^fc(Q) и фильтрацию (0.3). Обозначим через Ь\ ограничение представления Rx,v на
Е(П).
Сопоставим обобщенной функции Ç столбец (<ро> •••> 0,0,...) со счетным
числом координат. Представление Ьх есть верхняя треугольная матрица с диагональю Т2_П_А, Т4_„_А, Т6_П_А,....
12
Представление М\ группы G действует по формуле
м\{д) с [/] = с [ПхАо) /]•
Представление М\ не зависит от у, поскольку в определении коэффициентов Тейлора участвуют значения функции / только в некоторой окрестности многообразия Представление Л/А нижняя треугольная матрица с диагональю Т-А-п> Т_А_п-2> Т-\-n-4, • • •• Имеется двойственность между представлениями La и Ма.
Для обобщенной функции С £ SA.(Q) (напомним, что supp С С QJ), обозначим через С(|/) обобщенную функцию из Х>,'ДП) такую, что ее ограничение на ПЛ есть т. е.
CM(«) = С(и) + (-1)"С(-и).
Обозначим пространство обобщенных функций через Е^(П) и обозначим £^(П) = UE^(f2). Ясно, что E^(Q) изоморфно ЕДП) и Е^'(12) изоморфно Е(П). Ограничение представления Rx,v на Е(1/)(П) эквивалентно представлению LA.
Обобщенные функции из Е^(П) можно распространить естественным образом на некоторое пространство, более широкое, чем T>U(Q). А именно, пусть т£1'\П) -пространство функций / класса С°° на каждой G-орбите, четности и и имеющих разложение Тейлора порядка к:
f(u) = с0 С\а -\ h скак + о(ак),
где Cm 6 V(S).
Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями (см. §§ 25. 26)
Это - операторы, сплетающие канонические представления и представления, связанные с. конусом. Они играют основную роль в построении теории.
Преобразования Пуассона Р\^а и преобразования Фурье связанные
с каноническими представлениями, определяются формулами (используемые обозначения см. в конце Введения):
ч>)(«) = ^ [«,.г *■(*)*.
/)(•■>■) = К“)“/и л.
Преобразование Пуассона Рд^,,* отображает Р(5) в пространство С,^°(Пх) функций класса С°° на £2± и четности у и сплетает представления Т^-п-о и Ра,./-Преобразование Фурье отображает Т>и{{1) в Р(5) и сплетает представления
РА]1/ с представлениями Та.
Преобразования Пуассона и Фурье сопряжены друг другу:
<Ра±^Л^)5 = (/,Р_±а_п^>п.
13
Со сплетающими операторами Аа и (преобразованием Березина) на 5 и П преобразования Пуассона и Фурье взаимодействуют следующим образом. Для первого оператора мы имеем
РЬ* А° = ") р?,.л-п-с
А- Р&а-п-о
у) - некоторые множители, см. (25.5), оба они являючая аналогами с-функции Хариш-Чандры; мы имеем:
}±(2-п-ауе) = {8тгс^(сг)}-1.
Обозначим
р /—А 4- сг\ р ґ-\-п-а + 2\
Для парамегров Л, а общего положения имеют место следующие формулы
Як» Р^а = А" (А,у,о) Р:х_п^ + Л-+ (А, //, а) РД ,
Як» Р^ = Л+_(Л> *) Р—А—п,і/,<г + А++(А. г/, а) РЛ_П,^ ,
Р:Х-пу,о Як» = А (А, У, о) Рл"^ст + Л“+(А, у у а) Рд^,
Р-х-п,и,а Як» = А+ (А, сг) Рд)і/і0. + Л1 1 (А, */, а) Рд>1/>(7»
где
Л (А, у, ст) = Л(А, //, ст) • (—1)",
sin ——7Г + ( — lj^sin 7Г
л+(Л' v<ff) = A(W) --------------------------------------- ’
sin А±» + п- 2^ + (_1Гsin А^о-п + 2^ A+-(W) = A(W)--------------------------------------^--------------------------
A -f п + v — 2
COS 7Г
Л++(А,г/,<т) = Л (А, у у а)---------------------- .
COS —-—7Г
Числа Л±:Ь образуют матрицу (зависящую от А,^, а):
м = ( Л+- £)•
а именно,
Матрица Л/(А, т/, а) есть своего рода "собственное число" преобразования Березина. Отметим ее свойства:
М(-А - п, и, а) М(А, и, сг) = Е,
М{А, V, о)' = М(А, 2 - п - а),
штрих означает матричное транспонирование. Первое свойство отвечает (0.1), второе отражает эквивалентность представлений Та и Т2-п-а-
Явное вычисление матрицы М(А, и, а) оказывается трудной аналитической задачей. Мы вычисляем ее двумя способами. Первый способ состоит в прямом вычислении ядер преобразований в некоторых точках. Второй способ состоит в разложениям форм Березина на гиперболоидах и на парах гиперболоидов, см. ниже.
Важную роль играет разложение преобразования Пуассона (Р^иа(р)(и) по степеням переменной а = [щи]. Обращение этой переменной в нуль как раз определяет многообразие £20.
Пусть о <£ (2 — 71)/2 + Z. Для ^-финитной функции у (Е Х>(5) ее преобразования Пуассона имеют следующие разложения но степеням а = [щтф
(Р,%<р) (*) = (-1 Уа¥-п-°)/г 2-'/» £ (С„,ту) (з)ат +
ш=0
+ (-1)"а±к+"~г^г2<<’+"~2^2^±((7,и) £(И'„,т<р)(з)ат, (0.4)
т=0
где ?/. € П имеет полярные координаты {а, в), \У^т - некоторые дифференциальные операторы на 5 (многочлены от Д$), см. (5.45), и, см. (5.48),
С а ,т = ^2-гх—а п—<7,т-
Множители а(~х~п~аМ2 и а^"А+а_2^2 ("ведущие множители") дают полюсы преобразования Пуассона в плоскости а, зависящие от А, они располагаются в точках
<7 = А-2&, <7 = 2 — 71 — А + 2£, МбМ. (0.5)
Преобразование Фурье имеет полюсы в тючках
а = —А — 77 — 2/с, <т = А + 2 + 2/, к,1ек (0.6)
Если две последовательности (0.5) или (0.6) не пересекаются, то полюсы преобразования Пуассона или Фурье - простые, если же эти последовательности пересекаются и полюс принадлежит их пересечению, то его порядок ^ 2.
Напишем вычеты преобразований Пуассона в простых полюсах [Л-
Оказывается, что эти вычеты являются операторами, действующими из Т>(Я) в пространство Е^(П). Определим сначала следующий оператор на северном полушарии