Квантовый метод спектральной кривой

Содержание
Введение 3
1 Классический метод спектральной кривой 13
1.1 Представление Лакса....................................... 13
1.2 Описание Хитчина.........................................! 15
1.2.1 Спектральная кривая................................. 16
1.2.2 Линейное расслоение................................. 16
1.3 Система Хитчина на особых кривых........................... 18
1.3.1 Обобщения........................................... 18
1.3.2 Схемные точки . •................................... 19
1.4 Система Годена............................................. 28
1.4.1 Оператор Лакса...................................... 28
1.4.2 Я-матричная скобка.................................. 29
1.4.3 Интегралы........................................,.1 30
1.4.4 Алгебро-геометрическое описание..................... 31
1.5 Разделенные переменные..................................... 35
1.5.1 з12-система Годена.................................. 36
2 Задача квантования 37
2.1 Деформационное квантование................................. 39
2.1.1 Соответствие........................................ 39
2.1.2 Квантование интегрируемой системы................... 40
2.1.3 Задача квантования системы Годена................... 42
і
2.2 Квантовая спектральная кривая.............................. 42
2.2.1 Некоммутативный определитель........................ 42
2.2.2 Квантовая спектральная кривая....................... 43
2.2.3 Янгиан.............................................. 44
2.2.4 Подалгебра Бете..................................... 47
2.2.5 Доказательство коммутативности...................... 48
2.3 Традиционные методы решения .............................. 49
2.3.1 Анзац Бете.......................................... 50
2.3.2 Квантовые разделенные переменные.................... 52
2.3.3 Монодромия Фуксовых систем.......................... 54
2.4 Эллиптический случай ..................................... 56
2.4.1 Обозначения......................................... 57
2.4.2 Алгебра Фельдера.................................... 58
2.4.3 Коммутативная алгебра............................... 62
2.4.4 Характеристический полином ......................... 63
2.4.5 Предел и система Годена............................. 64
і
2.4.6 Явный вид 5І2 эллиптической системы Годена ... 66 *
3 Решение квантовых интегрируемых систем 68
3.1 Монодромная формулировка.................................. 68
3.1.1 Скалярное и матричное Фуксовы уравнения .... 68
3.1.2 Двойственное уравнение.............................. 70
3.1.3 Подъем.............................................. 71
3.2 Преобразования Шлезингера................................. 77
3.2.1 Действие на расслоениях.............................. 78
3.2.2 Действие преобразований на связностях..............- 80
3.3 Эллиптический случай ..................................... 83
3.3.1 Разделенные переменные.............................. 84
2
3.3.2 Аизац Бете........................................ 85
3.3.3 Матричная форма уравнений Бете.................... 86
3.3.4 Преобразования Гекке.............................. 88
4 Приложения 91
4.1 Геометрическое соответствие Ленглендса................... 91
4.1.1 Центр Г/(д1п) на критическом уровне............... 91
4.1.2 Явное описание центра ї/сгні^п)).................. 96
4.1.3 Схема Бейлинсона-Дринфельда.....................і 99
4.1.4 Соответствие..................................... 101
4.2 Некоммутативная геометрия................................ 103
4.2.1 Приведение квантового оператора Лакса к форме
Дринфельда-Соколова.............................. 104
4.2.2 Тождество Гамильтона-Кэли........................ 108
4.2.3 Замечания о решениях уравнения КЗ................ 109
/
Введение
Главные результаты и основная идея работы имеют непосредственное отношение к двум важнейшим направлениям развития геометрии и топологии 20-го века, связанным с приложениями теории интегрируемых систем и приложениями квантовой физики. Наиболее ярким результатом первого направления является решение проблемы Шоттки [1], основанное на гипотезе С.П. Новикова. Задача характеризации Якобианов среди прочих главно-поляризованных абелевых многообразий была решена в терминах нелинейных уравнений: соответствующее ^-функциональное
3
выражение удовлетворяет уравнению КГ1 тогда и только тогда, когда абелево многообразие является Якобианом некоторой кривой. Развитием этой деятельности явилось доказательство гипотезы Вельтерса [2], ха-, рактеризующей Якобианы кривых в терминах тройных секущих соответствующих многообразий Куммера. Второй существенный пласт результатов связан с приложениями квантовой теории поля в задаче построения топологических инвариантов, в том числе в маломерной топологии. Теория инвариантов Джонса-Виттена, или более общо - квантовая топологическая теория поля, обобщает традиционные инварианты узлов: полином Александера и полином Джонса. Собственно инварианты строятся как корелляционные функции некоторой квантовой теории поля [3]. Также с идеями квантовой теории поля связана теория инвариантов Дональдсона [4] и ее развитие Зайбергом и Виттеном. Данный- подход оказался исключительно эффективным и привел к таким важным результатам как доказательство гипотезы Тома о степени гладкого вложения кривой в СР2 [5]. Данное направление развития математики поднимают проблему нахождения эффективных методов решения квантовых задач.
Настоящая работа посвящена построению квантовых аналогов алгебро-геометрических методов, применимых при анализе и решении классических интегрируемых систем. Эти методы основаны на конструкции спектральной кривой и соответствующего отображения Абеля. Кроме приложений в топологии, явное описание решений квантовых интегрируемых систем непосредственно связано с такими геометрическими задачами, как вычисление когомологий 0-дивизора абелева многообразия [6], вычисление когомологий и характеристических классов пространств модулей стабильных голоморфных расслоений [7, 8], а также
пространств модулей флагов голоморфных расслоений, в случае базы СРг называемых пространствами Ломона [9\.
Следует также отметить связь метода спектральной кривой и теории интегрируемых систем в целом с Эрлангенской программой Ф. Клейна [10], согласно которой исследование геометрических свойств эквивалентно исследованию соответствующих групп симметрий. Теория интегрируемых систем позволяет расширить понятие симметрии с „главной группы“ до пучка алгебр Ли на некоторой алгебраической кривой, тем- самым обогащая геометрические конструкции комплексной алгебраической-геометрией и теорией специальных функций не групповой природы.
В работе строится квантовый аналог метода спектральной кривой для » рациональной и эллиптической системы Годена» [11]. В'классификации Хитчина эти случае отвечают роду 0 и 1 базовой кривой. Главная задача работы, родственная нахождению топологических инвариантов.квантовополевого типа, а также тесно связанная с исследованием геометрических свойств-пространств модулей, состоит в описании спектров рассматриваемых квантовых интегрируемых систем. Полученные результаты, в том числе методологический подход построения квантовой спектральной кривой, позволили описать явно дискретную группу симметрии спектра рассматриваемых интегрируемых систем. Квантование системы Хитчина на кривой произвольного рода и решение соответствующей квантовой.задачи потребует использования иной техники, однако, найденная в рассмат: риваемых случаях геометрическая аналогия может оказаться эффективной и в ситуации общего рода.
5
Классические интегрируемые системы.
Существуют многочисленные исключительно важные примеры интегрируемых систем, описывающие специальные семейства физических процессов, к которым относятся многие уравнения гидродинамики [12], спиновые цепочки, интегрируемые волчки (в частности случаи Лагранжа, Эйлера, Ковалевской [13]). Тем не менее, в основе данной работы лежит структурная теория интегрируемых систем, опирающаяся на алгебраическую геометрию и теорию алгебр Ли.
Связь теории интегрируемых систем и алгебраической геометрии проявилась довольно рано, и имеет своей причиной определенную концепцию конечномерности в обоих случаях. Пионерской работой, устанавливающей связь между данными областями математики, можно считать работу К. Якоби [14], в которой решение задачи о геодезических на эллипсоиде было дано в терминах преобразования Абеля для некоторой алгебраической кривой: Связь в более полном смысле, а именно в виде описания фазового пространства интегрируемой системы как расслоения Якобианов, была понята в 70-х годах прошлого века в работах школы С.П. Новикова [12, 15]. В последствии в работе Н. Хитчина [16] было найдено универсальное геометрическое описание фазового пространства широкого класса конечномерных интегрируемых систем как кокасатель-ного расслоения к некоторому пространству модулей расслоений на алгебраической кривой.
Параллельно развивался алгебраический взгляд на интегрируемые системы, в основе которого лежат принципы Гамильтоновой динамики и Пуассоновой геометрии, позволяющие описывать динамику в терминах структуры алгебры Ли на пространстве функций на рассматриваемом
многообразии. Существенный прогресс в теории классических интегрируемых систем был связан с открытием метода обратной задачи в 60-х годах прошлого века начиная с работы [18]. Оказалось, что исключительно эффективным с точки зрения решения динамических систем является так называемое изоспектральное представление динамики, или представление Лакса [19]. Данное представление устанавливает связь Гамильтоновых потоков с присоединенным действием соответствующей алгебры Ли, которая является конечномерной для широкого класса примеров. Заметим, что как и в отношении с алгебраической геометрией, специфичность интегрируемых систем на Гамильтоновом уровне характеризуется определенной конечномерностью: бесконечномерная алгебра Ли функций на многообразии описывается в терминах конечномерной алгебры Ли, в частном случае - алгебры Ли матриц фиксированного размера. Именно представление Лакса позволяет- ввести понятие спектральной кривой, и использовать методы алгебраической геометрии для построения явных решений [20], решать динамические системы в алгебраических терминах методом проекции [21] или с помощью более общей конструкции грассманиана Сато и т-функции [22].
Далее под методом спектральной кривой будем-понимать метод решения интегрируемых систем, допускающих представление Лакса, в терминах отображения Абеля для кривой, определенной характеристическим полиномом оператора Лакса.
Первая часть работы посвящена построению обобщений описания типа Хитчина интегрируемых систем на случай кривых с особенностями и отмеченными точками. Важность этого обобщения в рамках данной работы связана с возможностью интерпретации системы Годена с алгебро-
геометрической точки зрения. Актуальность задачи построения замкнутого формализма типа Хитчина на кривых с особенностями объясняется тем, что большая часть известных интегрируемых систем имеют именно такую природу. Кроме того, граничные точки пространства модулей кривых, представленные кривыми с особенностями, получаемыми обобщением особенности типа „двойная точка“ при склейке схемных точек, допускают явное описание как самих фазовых пространств, так и решений соответствующих моделей. К моделям, допускающим описание типа Хитчина на кривых с особенностями относятся многие известные примеры теории интегрируемых систем типа Годена, Калоджеро-Мозера для разных типов взаимодействий. В первой части работы строится согласованный формализм систем типа Хитчина на кривых с особенностями, поясняется, каким образом система Годена получается в рамках этого формализма, а также описывается классический сюжет разделения переменных в этом случае.
Квантование.
Квантовые интегрируемые модели, также как и классические, часто связаны с важными физическими феноменами. Обсуждаемые здесь примеры спиновых цепочек имеют самостоятельное физическое значение, как квантово-механические системы, описывающие одномерные магнетики. В ряду наиболее актуальных физических приложений полученных здесь результатов можно считать область квантовых вычислений.
Тем не менее, основным акцентом работы является исследование структурной роли интегрируемых систем в том числе на квантовом уровне, на котором также проявляется роль интегрируемых моделей, как
8
симметрий более сложных объектов. В частности, спиновые цепочки, описывающие исключительно одномерные физические системы, оказываются связанными с двумерными задачами статистической физики с помощью метода трансфер-матрицы [11]. Основной метод квантовых интегрируемых систем, называемый квантовым методом обратной задачи (КМОЗ) был создан в 70-х годах 20-го века школой Л. Д. Фаддеева [23]. Во многом данный метод полагается на классический метод обратной задачи, в особенности в части гамильтонового описания. С помощью квантового метода обратной задачи были построены в частности следующие модели: квантовое нелинейное уравнение Шредингера, магнетик Гейзенберга и модель синус-Гордон (эта модель эквивалентна массивной модели Тирринга). Для этих моделей были найдены асимптотики корреляционных функций [49]. Многие из полученных в рамках КМОЗ результатов относительно асимптотик были известны ранее в, рамкам метода анзаца Бете, открытым в 1931 году в работе [24].
КМОЗ был в значительной степени обобщен теорией квантовых групп, введенной Дринфельдом [25]. Язык, алгебр Хопфа оказывается исключительно удобным-для обобщения алгебраических структур, фигурирующих в теории квантовых интегрируемых систем, главным образом для обобщения пространства инвариантных полиномов на группе. Можно считать, что с помощью КМОЗ находится квантовый аналог алгебраической составляющей в теории интегрируемых систем. Вместе с этим, роль спектральной кривой и методов алгебраической геометрии в КМОЗ оставалась непонятой. Именно этой задаче в основном посвящена настоящая работа. Во второй части работы строится квантовый метод спектральной кривой, центральной конструкцией которого, явля-