Приближение семействами линейных полиномиальных операторов

СОДЕРЖАНИЕ
Введение..........................................................3
Глава 1. Сходимость методов тригонометрического приближения
1.1 Общие операторы в пространство функций
удвоенного числа переменных............................55
1.2 Тригонометрические ядра и их свойства..................61
1.3 Семейства линейных полиномиальных
операторов и их свойства...............................66
1.4 Критерии сходимости....................................72
1.5 Стохастическая аппроксимация...........................75
Глава 2. Методы, произведенные классическими ядрами
2.1 Ядра Фейсра, Валле-Пуссена и Рогозинского..............85
2.2 Ядра Бохнера-Рисса, Рисса и Зигмунда...................87
2.3 Ядра Блэкмана-Хэмминга.................................96
2.4 ЯдраЧезаро............................................102
2.5 Ядра Коровкина........................................106
2.6 Степени ядер типа (С) и обобщенные
ядра Джексона.........................................108
2.7 Положительные ядра и сверточные степени...............112
2.8 Таб л и ца сходи м ости...............................116
Глава 3. Неравенства мультипликаторного тина для тригонометрических полиномов
3.1 Общая постановка проблемы и ее частные случаи.........117
3.2 Необходимые и достаточные условия выполнимости........121
3.3 Преобразование Фурье некоторых функций................134
3.4 Неравенства, произведенные однородными функциями 142
3.5 Неравенства, произведенные гладкими функциями.........148
3.6 Оценки преобразования Фурье нормами
(V
1
б пространствах Бесова..............................150
Глава 4. Обобщенные К-функционалы и их реализации
4.1 Операторы и пространства, порожденные однородными мультипликаторами...........................152
4.2 Обобщенные К-функционалы и их свойства..............171
4.3 Реализации обобщенных К-функционалов и
их свойства.........................................189
Глава 5. Качество приближения посредством семейств в терминах реализаций
5.1 Оценки сверху.......................................204
5.2 Оценки снизу........................................207
5.3 Эквивалентности.....................................211
5.4 Семейства Фейера, Рогозинского, Рисса,
Бохнера-Рисса и Зигмунда............................211
5.5 Семейства, соответствующие гладкостям
нечетных порядков...................................218
Приложение. Прямая теорема теории приближений
на классах Орлича..............................221
Список цитированной литературы................................228
2
ВВЕДЕНИЕ
Классическая теория тригонометрической аппроксимации посвящена вопросам приближения непрерывных или, по крайней мере, интернируемых функций. Основной шкалой пространств, таким образом, традиционно являлась шкала Ьр, где 1 < р < -Ьоо. Созданием и изучением приближающих конструкций в этих пространствах занимались выдающиеся математики 19 и 20-ого веков, такие как Л. П. Чебышев,
А. Лебег, Д. Джексон, Ш. Валле-Пуссен, Л. Фейер, Ж. Фавар, А. Зигмунд, М. Рисс, С. Н. Бернштейн, С. М. Никольский и другие. Основные результаты классической теории описаны во многих монографиях, книгах и статьях (см., например, [2], [б], [11], [16], [17], [29]-[33], [37], [76], [82], [83]). Отметим при этом, что наиболее распространенными методами приближения периодических функций являлись средние ряда Фурье и интерполяционные средние, построенные с помощью тех или иных тригонометрических ядер, т. е., линейные полиномиальные операторы.
В последние десятилетия появился, однако, целый ряд теоретических и практических проблем, прежде всего в теории дифференциальных уравнений и теории обработки данных и сигналов, в которых потребовалось приближение неинтегрируемых функций, а также численное приближение и интегрирование сильно осциллирующих функций. Таким образом, возникла необходимость распространения результатов теории приближений на случай пространств ЬР) где 0 < р < 1, а также создания новых методов приближения и численного интегрирования, обеспечивающих нужную точность результата без существенного уве-личиния порядка количества узлов интерполяции или кубатуры.
Функции из Ьр при 0 < р < 1 могут быть неинтегрируемыми, поэтому понятие ряда Фурье теряет смысл, а классические методы приближения становятся заведомого непригодными. Проблема оказалась, однако, более глубокой. Дело в том, что для 0 < р < 1 вообще не существует нетривиальных линейных ограниченных функционалов и полиномиальных операторов (см., например, [45]). В силу этого обстоятельства, принципиальный вопрос - "чем приближать" в Ьр при
3
О < р < 1 - долгое время оставался открытым. Различными математиками в разное время был разработан целый ряд специальных методов, позволяющие решать те или иные частные задачи. Так, например, для доказательства в случае 0 < р < 1 классической прямой теоремы теории приближений, т. е. оценки величины наилучшего приближения тригонометрическими полиномами посредством модулей гладкости данной функции одной переменной, в работах Э. А. Стороженко,
В. Г. Кротова, П. Освальда [77] и В. И. Иванова [27] был разработан метод промежуточной аппроксимации кусочно-полиномиальными функциями, с помощью которого удалось решить также и некоторые многомерные задачи ([78], [79]). Однако, этот метод оказался малоэффективным для решения целого ряда проблем, в частности, он не позволил перенести на случай 0 < р < 1 прямую и обратную теоремы М. К. Потапова о связях наилучшего приближения "углом" и смешанных модулей гладкости ([42], [43]). То же самое замечание касается прямой и обратной теорем для сферического дискретного модуля непрерывности, установленных для 1 < р < +оо 3. Дитцианом [18]. Другой пример. В работах П. Освальда [38] и Р. Таберского [81] было изучено качество аппроксимации некоторыми средними ряда Фурье в метрике Ьр при 0 < р < 1 для функций, принадлежащих тем или иным классам, компактно вложенным в Ь\. Позитивные результаты получались при этом лишь при некоторых ограничиниях на р, например, в случае средних Валле-Пуссена только для р > 1/2, однако природа константы 1/2 осталась невыясненной. Следует отметить также, что как упомянутые, так и иные похожие методы, разработанные для случая 0 < р < 1. не позволяют создать на их базе эффективные вычислительные процедуры приближения произвольной функции из пространства Ьр при О < р < 1.
В классическом же случае 1 < р < Ч-оо, где теоретические вопросы достаточно глубоко проработаны, тем не менее возникает’ целый ряд проблем вычислительного характера. Дело в том, что в целях обеспечения нужной точности результата в задачах численного интегрирования количество узлов той или иной кубатурной формулы должно существенно превышать количество осцилляций дайной функции на
4
периоде, что в свою очередь, может привести к недопустимому увеличению погрешности вычисления. Неэффективность классических ку-батур, таких как, формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, для подсчета интегралов от сильно осциллирующих функций показана У. Эренмарком [24]. Замечая, что подсчет коеффициентов Фурье относится к числу задач именно такого типа, можно сделать вывод о том, что даже в случае пространства Ьч, еде полином наилучшего приближения совпадает с соответствующей частичной суммой ряда Фурье, т. е. где задача приближения теоретически полностью решена, также могут возникнуть серьезные вычислительные проблемы.
Таким образом, в теории приближений появился ряд теоретических и практических задач, которые не удалось решить уже разработанными методами. Оказывается, что как выше перечисленные, так и многие другие проблемы могут быть успешно решены в полной шкале Ьр, где О < р < +оо, путем введения новых методов - семейств линейных полиномиальных операторов (СЛПО) ([48], [50], [52], [55]).
Чтобы продемонстрировать суть этого подхода и его эффективность для решения задач теории приближений, приведем прямое и простое доказательство оценки типа Джексона ([17] для нормированного случая, [77] и [27] для 0 < р < 1)
в случае 0 < р < 1 для функций одной переменной (см. [50]). В (1)
- наилучшее приближение функции / из Ьр тригонометрическими полиномами Тп порядка не выше гг,
- ее модуль непрерывности в Ьр, а положительная константа с не зависит от / и п. Для доказательства (1) введем в рассмотрение семейство функций
Еп(Лр < ссД/, 1/(п 4- 1))р, / Є Ьр, іг = 0,1,2,... , (1)
ад)р = у-тп\\Р
6)р = вир II /(ж + /і) - /(ж) ||р , 6 > О
0<Л<<5
2<7(»-1)
5
где Л - вещественный параметр, = 2тг&/(2д(п — 1) + 1), а
= 5гт (-ЦЩ-) • - / -М'1) ^ = 1. п = 1,2,...,
(3)
—Я
- обобщенные ядра Джексона [75]. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в том, что
2 2в(п-1)
2д(п - 1) + 1 </»;„(*-£.,) = 1, *€ К. (4)
А?—О
Принимая 150 внимание, что объекты £^ л(/; ж) корректно определены для почти всех Л и, как функции я, являются тригонометрическими полиномами порядка не выше q(n — 1), имеем
ВД)Р <11/- 4?А(Я ||р (5)
для почти всех Л. Так как левая часть неравенства (5) не зависит от Л, то его правую часть можно усреднить но этому параметру, что приводит к оценке
я
ВД)? < ^/ 11/-4?а(/)!!^а. (6)
—я
Наосновании (4), (б) имеем с учетом (2тг) / (2д(п— 1)-И)-периодичности функции £^Л(/; ж) как функции Л
К(/)£ < сп“' / Е / I /(<, + *) - /(*) I" (Д«(* - - А))1
Я Я
<*А<Ь: < сщ'-р I^ |/(А)-/(ж)|р(./п;,(х-А))р<*ЫА <
— Я —Я
Я
< с2п1_рIи(/укУр(Ъ]Ч(к)Уси1.
—я
б
Доказательство завершается по стандартной для случая 1 < р < -Ьоо схеме при помощи известных свойств модуля непрерывности и ядер (3) при <7 = [1/р] + 1, которая мзложеиа, например, в [16].
Метод приближения посредством семейств линейных полиномиальных операторов оказался полезным не только для представления простых и универсальных для всех 0 < р < 4-со доказательств известных утверждений, но и для получения новых результатов, в частности касающихся прямых и обратных теорем теории приближений! в многомерном случае п свойств тригонометрических полиномов. В этой связи отметим, например, прямую и обратную теоремы о приближении "углом" для модулей гладкости произвольных порядков ([54], [55]), прямую теорему о наилучшем приближении функций многих переменных для дискретного сферического модуля гладкости [23], точный результат об условиях эквивалентности этого модуля реализации К-функционала, соответствующего оператору Лапласа [23], а также результаты о справедливости неравенств типа Марцинкевича-Зигмунда для случая неравномерных узлов решетки ([56], [58], [59]) и их приложения в теории пространств функций [57]. Различные аспекты метода приближения семействами, другие приложения, а также прилегающие к этой теме вопросы описаны в работах [7]-[10], [23], [35], [46]-[67]. Эффективность метода приближения посредством СЛПО при решении различных проблем анализа делает мотивированным и актуальным изучение этих объектов как таковых. В данной работе семейства линейных полиномиальных операторов исследуются в трех главных аспектах:
• сходимость в шкале пространств Ьр> 0 < р < +оо ,
• практическая реализация метода в форме создания эффективного, экономичного и универсального алгоритма приближения,
• изучение качества приближения посредством СЛПО в терминах тех или иных структурных характеристик функции.
Задача изучения качества методов приближения, т. е. определении скорости стремления к 0 последовательности их аппроксимационных ошибок, в терминах тех или иных структурных характеристик индивидуальной функции как, например, модули гладкости или А’-функциона-
7
лы, является одной из классических проблем теории приближений, которой в случае 1 < р < +оо занимались многие авторы (см., например, [11], [16], [19], [20], [66], [86]). Отметим, в частности, результат Р. М. Тригуба [86] об эквивалентности ошибки приближения средними Бохнера-Рисса индивидуальной функции (I переменных из Ьр) 1 < Р < +°о> ее сферическому модулю непрерывности в случае а > (^ — 1)/2. Пример средних Фейера показывает, однако, что классических модулей гладкости оказывается недостаточно для описания качества аппроксимации даже в простейших случаях. Определенное расширение понятия гладкости было достигнуто путем перехода к /^-функционалам, изначально возникшим в работах Ж. Петре по теории интерполяции пространств [39] (о свойствах /^-функционалов с точки зрения теории приближений см., например, книгу [16]). Так в частности, в работе 3. Дитциана, В. Христова и К. Иванова [21] было отмечено, что ошибка приближения средними Фейера в метрике С эквивалентна /Г-фуикционалу, соответствующему производной Рисса. Задача же об эквивалентности ошибки приближения средними Бохнера-Рисса в случае а > (й — 1)/2 в метрике Ьр при 1 < р < +оо /Г-функционалу, соответствующему оператору Лапласа, была решена в работе [19]. Возможности применения /^-функционалов оказались, однако, весьма ограниченными. Определенная "паталогичность" их свойств в Ьр при 0 < р < 1 была отмечена Ж. Петре [40]. Истинный же характер этой "паталогичиости" был прояснен В. Христовым и К. Ивановым, показавшим, что /С-функционалы, соответствующие обычным производным и оператору Лапласа, тождественно равны 0, если 0 < р < 1 [89]. В этой же работе были введены их реализации - новые объекты, которые пригодны для описания гладкости уже для всех 0 < р < 4“со.
Оказывается, семейства линейных полиномиальных операторов, равно как и реализации, являются универсальными методами соответственно приближения и описания гладкости в смысле их применимости в полной шкале пространств Ьр, а также их эквивалентности известным объектам в тех случаях, когда последние корректно определены. В данной работе показано, что эта аналогия носит не случайный харак-
Б
тер а, более точно, качество приближения посредством СЛПО может быть адекватно описано именно в терминах реализаций. I
Учитывая вышесказанное, а также анализируя работу в целом, можно утверждать, что ее основным результатом является выработка единого подхода к решению многих теоретических и практических вопросов теории приближений периодических функций d переменных в полной шкале пространств Lp, 0 < р < -Ьоо. Его основные характеристики могут быть описаны следующим образом:
• главные объекты исследования - семейства линейных полиномиальных операторов и реализации обобщенных К-функ цион а лов;
• основные утверждения формулируются в терминах четырех параметров: d - размерность, р - метрика, ip - генератор метода приближения. ф - генератор гладкости;
• проверка условий теорем сводится к изучению асимптотического поведения преобразования Фурье конкретных функций, являющихся теми или иными конструкциями от ф и ф]
• большинство результатов носит точный и окончательный характер: утверждения о сходимости формулируются в виде критериев, т. е. необходимых и достаточных условий, ранги сходимости методов, порожденных конкретными ядрами, находятся в явном виде, результаты о качестве приближения представляются в виде эквивалентностей тем или иным структурным характеристикам, т. е. полученные оценки сверху и снизу совпадают но порядку;
• многие известные классические утверждения, полученные для случая 1 < р < -foo, содержатся в результатах работы в качестве их частных случаев;
• разработанный подход позволяет давать короткие простые доказательства известных теорем и получать принципиально новые результаты теории приближений для случая 0 < р < 1;
• разработанный подход может быть применен к решению широкого спектра практических задач, связанных с численным приближением и обработкой данных и сигналов.
Приведем основные определения, опишем соотвествующий понятийный аппарат и введем систему обозначений, которые будет использо-
9
ваться на протяжении всей работы.
Числа, векторы и множества. Посредством Rd} N, No, С в работе обозначены d-мерные пространства векторов с вещественными и целыми компонентами, множество натуральных чисел, множество целых неотрицательных чисел и множество комплексных чисел, соответственно. В случае d = 1 часто используются обозначения R и Z вместо 1R1 и Z1. Тором называется множество классов семерных векторов с различающимися на кратные 2л числа компонентами. Интегрирование по тору означает интегрирование по d-мерному интервалу [0, 27г)^, который обозначается в работе тем же символом, при этом dx = dx\... dxd- Для g-нормы вектора х = (a?i,..., Xd)y где О < q < -foo, используются обозначения
І х І9 = (I Х1 \Я + • • • + I xd IqY/q , 0 < q < +00 , I х loo = max | xj |.
Вместо I x I2 в работе используется символ | х | для длины вектора х, a xh = xihi + ... + XdKi обозначает скалярное произведение векторов X и h. Знаки
А-(®о) = { х Є : | х—хо | < г } , Dr (хо) = { х € : | х—хо | < г }
применяются для обозначения замкнутого и, соответственно, открытого шаров радиуса г с центром в точке xq. Если Хо = 0, то для обозна-
о
чения этих объектов будут использоваться символы Dr и Dr-
Пространства Ьр. Как обычно, пространство Ьр = Ьр{I4*), где О < р < -1-00, состоит из вещественнозначных измеримых 2 тг-периодиче-СКИХ ПО каждой переменной функций f(x),x = (®1, ..., .т^), для которых функционал
\ 1/р \f{x)\p dx j
конечен, а пространство L- это пространство С = С(Т^) веще-ственнозначных 27г-периодических по каждой переменной функций,
-(/
\т*
10
снабженное нормой Чебышева
II / Нос = |/(ж)| .
Для пространств Ьр непериодических функций, заданных на некотором измеримом множестве Г2 С будет использоваться обозначение
В данной работе нередко будут рассматриваться функции из пространств Ьр(Т2^), которые зависят не только от основной переменной х Е !№*, но и от параметра Л Е Е . В этом случае символом || • ||р или |[ • ||р;:с будет обозначаться Ьр-норма по отношению к переменной х. Для Ьр-нормы по параметру Л мы используем символ || • ||р;д. Для обозначения пространства снабженного усредненной по
отношению к Л нормой
II • II? = (2*)-^ II И-Ии-ИиЛ, (7)
используется символ Ьр. Ясно, что Ьр может быть интерпретировано как подпространство Ьр с равенством соответствующих норм
ИЛЬ» = II/Нр. /еЬр.
Как хорошо известно, функционал || • ||р обладает свойствами нормы в том и только в том случае, когда 1 < р < +оо. Для 0 < р < 1 - это так называемая квази-норма, при этом неравенство "треугольника” выполняется для ее р-ой степени. Если мы положим р = тт(1,р), то неравенство
И/ + р||| < 11/111+ \\dWh /. 9еЬр, (8)
будет уже справедливо для всех 0 < р < +оо. Такая форма неравенства "треугольника" оказывается очень удобной, так как позволяет рассматривать нормированный и квазинормированиый случаи единообразно. Более того, в целях упрощения понятийного аппарата мы будем использовать термин "норма" также и в случае 0 < р < 1.
Пространства тригонометрических полиномов. Пусть а - вещественное неотрицательное число. Символом Та обозначается про-
11
странство вещественнозначных тригонометрических полиномов (сферического) порядка не выше СГ, Т. е. (с - КОМПЛСКСІГОЄ сопряжение к числу с Є €)
Для обозначения пространства вещественнозначных тригонометрических полиномов независимо от их порядка будет применятся знак Т. Для 0 < р < Н-оо величина
носит название наилучшего приближения функции / в Ьр тригонометрическими полиномами порядка не выше о. В силу того, что для д = 1 при изменении параметра а в пределах п < сг < п + 1 множество Та не меняется, в одномерном случае, как правило, рассматривают пространства ТП} где п Є N0. В многомерном же случае параметр а имеет смысл радиуса шара в Ъ* и требование его натуральности уже не является естественным.
Символом Та}Р, где 0 < р < -Ьоо, будем обозначать пространство Та, если оно снабжено Ьр-иормой. Знак Та,р будет применяться для обозначения подпространства Ьр, состоящего из функций #(.т, А), таких, что д(х, А) как функция х принадлежит Та для почти всех А. Ясно, что Т0,р может быть рассмо трено как часть Та,р с тождественностью норм. Итак, в наших обозначениях линия над р всегда указывает на то, что мы имеем дело с функциями 2(1 переменных.
Операторы в пространство удвоенного числа переменных.
Все операторы, с которыми мы будем иметь дело в данной работе, являются линейными операторами вида
где 0 < р < +оо и 7 > 0. Отметим, что классические методы приближения, например средние ряда Фурье, вкладываются в схему
(9)
С, а • Ьр У р С Ьр , О- > О
(10)
Туа 61 Ьр , (Т > О
12
где 1 < р < +оо. которая, очевидно, является частным случаем (10). Как обычно, оператор : Lv —> Lp называется ограниченным, если его норма
1|£о||(р) = sup ||£Д/)||р (11)
II / IU < 1
конечна. Совокупность операторов {£„) называется ограниченной е Lp, если множество их норм ограничено некоторой положительной константой, не зависящей от а, т. е.
sup II Са ||(р) < +оо . (12)
<т > 0
Совокупность (£а) называется сходящейся (сходится) в Ьр, если для као/сдой / Е Lp
lim II / - £„(/) lip = О . (13)
<r—»4-00
Скажем также, что совокупность (£а) линейных ограниченных операторов (10) является совокупностью типа Валле-Пуссена в Ьр, 0 < р < ■foo, если
(i) (Са) ограничена в Ьр;
(ii) существует 0 < р < 7, такое что Са(Т) = Г для каждых
Т еТРа и а > 0.
Преобразование Фурье и свертка. Преобразование Фурье и ему обратное для функции g Е ^i(Erf) определяются формулами
9(0 = j 9(х)е~'х* dx , gv{x) = (2Tr)-d J д(0е** dt, . (14)
RJ R<*
Если функция представляется сложной формулой, то в работе, наряду со знаками д и gv, будут также использоваться символы Тд и Т~1д для обозначения прямого и обратного преобразования Фурье функции
д. Пусть gi и д2 принадлежат L^W1). Функция
91*ИШ) = / 01 (С ~ *7)02 fa) (15)
13
называется сверткой д\ и до. Ее основным свойством является соотношение
ST*92(x) = fli • gi(x), X є Kd. (16)
Символами S и S' в работе обозначаются соответственно пространство Шварца быстро убывающих на бесконечности бесконечно дифференцируемых функций и ему сопряженное. Напомним, что для д Є S' и // Є Nq ее производная Vй д он редел яется соотношением
{VvgM = (-1)И'(g.W'v), (17)
где
vv = dx\'.. J)xv/ ' (18)
Знак (g, ip) обозначает, как обычно, действие элемента д Є Sf на тестовую функцию (р Є <S. Если д - регулярный элемент S'} то
{<?,¥>) = J 9І0 ¥>(0 d£ . (19)
Й<*
Преобразование Фурье распределения д € S' определяется формулой
(?>¥>) = І9,Ф) , V Є S . (20)
Отметим, что если д Є S' регулярна и бесконечно дифференцируема на множестве R'* \ {0}, то ограничение Vйд на подпространство
<S0 = {ір Є S : supp (p С Rd \ {0} }
совпадает как элемент сопряженного пространства <Sq с поточечной производной функции д.
Однородные функции. Пусть а G М. Класс На однородных
функций порядка а состоит по определению из функций ф, удовле-
твори югцих следующим условиям:
(i) ф - комплексиозначная определенная на \ (0) функция,
(ii) ф бесконечно дифференцируема на \ {0},
(iii) ф{~0 = Ф{ О ДЛЯ всех
14
(гу) ф(т£) = таф(£) для всех т > 0 и ^ 6 Iй \ {О}.
При а > О предполагается, что ф доопределена в 0 по непрерывности, т. е., -0(0) = 0. В случае же а < 0 функция ф доопределяется в 0 произвольным способом. Класс 7{а состоит по определению из функций ф 6 #«, для которых Ф(£) 7^ 0 при ^ 6 Е''\{0} (однородные функции эллиптического типа).
Важными подклассами классов однородных функций являются множества
Пш = Ч ^ : а-к = Щ > С Нт
{ке&,\ки=т )
однородных полиномов (I переменных порядка т 6 К, где £* == £*1 •
... • Отметим также хорошо известный факт о том (см., например. [88] или [71]), что преобразование Фурье однородной функции порядка <т, интерпретируемой как распределение, также является однородным распределением, но уже порядка — с1 — а, т. с.
Т : Яа —* Я_<*_а . (21)
Отношения. Для величин А к В, зависящих от / и п или сг, а также ряда параметров, символ А х В обозначает эквивалентность, т.
е. выполнение неравенств с\А < В < соА с некоторыми положитель-НЫМИ ПОСТОЯННЫМИ С1 И С2, которые не зависят от / и п или сг. Знаки О (О большое) и о (о малое) используются в работе в их привычном смысле.
В разных формулах (но никогда в одной и той же), которые содержат положительные константы, обозначаемые знаками с, с/, с\, С2, и. т. д., эти константы могут иметь разное значение.
Генераторы методов приближения. Многие тригонометрические ядра и соответствующие методы приближения (см. ниже) производятся при помощи некоторой функции, называемой генератором. Класс допустимых генераторов будет обозначаться символом /С. По определению он состоит из функций (р> удовлетворяющих следующим
15
условиям:
(I) (р - комплекснозначная непрерывная на функция,
(II) <р имеет компактный носитель,
(ш) <р(-£) = <р(£) Для всех £ € ,
(1у) <р{0) = 1 •
Важные характеристики функции (р Е которые будут часто использоваться в дальнейшем, это радиус ее носителя
г(<р) = эир{ I £ I : <р(0 ф 0 } (22)
и ранг тех р, для которых ее преобразование Фурье принадлежит пространству /^(Е^), т. е. множество
= { V € (0, +оо] : (р 6 Ьр(Ш*) } . (23)
Так как Итод-ц.«, | (р(х) | = 0, то (р Е Ьр<(ии): если (р 6 Ьр(Е^),
для р' > р. Следовательно, - это множество вида (до> +оо] или
[г>0, +°о]> где Ро = ^ Ту.
Отметим, что в классической теории приближений обычно имеют дело с вещественнозначными четными генераторами. Предложенное же в работе расширение класса допустимых генераторов мотивируется необходимостью конструктивного описания структурных характеристик функций, соответствующих гладкостям нечетного порядка, например, обычной производной первого порядка (см. подраздел 5.5).
Тригонометрические ядра и их типы. Матрица вида л = {опД- € С : к 6 Ъл, 1 к \ < г(Л)п, п £ М0} , (24)
где г (Л) - некоторое положительное вещественное число, называется матрицей множителей сходимости. Она. определяет тригонометрические ядра И^П(Л), п 6 Мд, по закону
и'«(Л)(Л) = £ а^кН - я € N0, Л 6 К* . (25)
Ясно, что функции И^п(Л) принадлежат 7^д)п. Большую роль в работе играют величины
Мр,\{п) = (п + 1)</(1/г,_1)(|И'гп(Л)||р , МдЛ = йир МрЛ(п), (26)
п€Н„
16
а также множество
'Р(Л) = {р Є (0, -t-oo] : МрЛ < +оо} . (27)
Важный частный случай (24) - матрицы вида
Л(у>) = {On,*} : а0,0 = 1; ап,к = <Р (^)) > к € Z<*' п е N >
(28)
где а(п) - некоторая строго возрастающая последовательность положительных чисел порядка п, т. е. <г(п) х п, а функция <р принадлежит классу /С. В этом случае ядра (24) называются ядрами типа (С), а функция у? - их генератором. При этом г (Л) = г(у>), в (28) дискретный параметр п 6 N0 может быть заменен на непрерывный а > 0, а вместо символов ТУ„(А), МРул(п), Мр%\ и Р(А) используются соответственно обозначения \Уа{ф), Мр><р(а), Мр^ (с вир^о вместо 8ирпбМо), а также Т{ф). Таким образом, ядра типа (С) определяются формулами
WbM(fc) = 1, Wa(<p){h) = £>(£) e‘kh ’ег>0-
l.rz У Л ^ '
(29)
V ст /
kGZd
Далеко не всегда матрица множителей сходимости может быть представлена в виде (28). Однако и в таких случаях нередко можно ввести понятие генератора. Скажем, что матрица Л вида (24) относится к типу (GR), если
A = A(ip) + R, Я = {гПі*}; lim r„jk = 0, k Є Zd, (30)
И —+ + CO
где A (ip) — {<p(k/n)}, ip Є JC, и это представление единственно. Пусть
0 < а < 1. Скажем, что А вида (30) имеет тип (GR/*), если М^п < +оо
для ее матрицы остатков. Если же
Mc*iR = sup Ма,л{п) < +оо, (31)
tigNo
где
Ma,R(n) = (n + II Wn(R) 1121 П Є No, (32)
то матрица (30) имеет, по определению, тип (GR^). В главе 1 показано, что
GRa С GRQ . (33)
17
Методы приближения. Каждая матрица вида (24) производит классические методы приближения, т. е., средние Фурье и интерполяционные средние, а также семейства линейных полиномиальных операторов по следующим законам:
*) = (2*)“* [ /(Л) 1К,(Л)(* - Л) <№ ; (34)
Т1*
2Л1
Дл>(/; *) = (2ЛГ + 1)-" • £ / (#) ■ И^(Л) (х - 1ГК) ; (35)
(/; *) = (2ЛГ + i)-d • / (ft + л) • іу„(Л) (* - с - л) , (36)
;'=0
2N
i/=0
где Л G Е'1 - параметр, а;, /і, v - rf-мерныс векторы, N = [гп] для некоторого г > г (А), а также
п 2N 2 N 2N
ъ-mh' ESE-E •
і'=0 ^=0 і^=0
Понятия норм ||^Л) II(р), ||^,л)||(р) в Lp средних Фурье и интерполяционных средних, а также их сходимости, рассмотри каются в работе в их привычном смысле. В главе 1 будет показано, что семейство (36) является примером оператора вида (10). В силу (11)-( 13) его нормой естественно назвать величину
I! { > Но.) = «Ф II /£>(/; х) ||р, гг Є No , (37)
1!/!!г<1
а ограниченность в Ьр, 0 < р < 4-оо, и, соответственно, сходимость понимать в смысле
sup II 4Л) Н(р) < +°° . (38)
neNo
Jfe?JI/-O/)lll> = 0, febp. (39)
18
В случае, когда матрица имеет вид (28), где <р € /С, дискретный параметр п G N заменяется на непрерывный а > 0, методы (34)-(36) называются методами, произведенными генератором <р, и обозначаются соответственно символами l}fi и {£^Л}. т. е.,
*) = (27r)“d f f(h) Wa(<p)(x - h) dh ; (40)
Td
2N
lM(f-,x) = (2N+l)-d-J2f(tN)-w*(<P)(x-tvN) ; (41)
z/=0
2IV
*) = (2ЛГ + l)“d • / (ft + A) • l^(^) (* - ft - A) , (42)
i/=0
где JV = [га] для некоторого г > 7*(у?). Ясно, что при этом в формулах (37)-(39) также следует произвести очевидные изменения.
Гладкость и структурные характеристики. Каждая функция Ф £ а > о, производит:
• линейный оператор мулътиплшаторпого типа.
D(V) : eira —► V’(^) e,Vl, v € Zd ; (43)
• пространство ф-гладких функций
xpW = {9 £ Lp: Т>{ф)д £1,,}; (44)
• обобщенный К-функционал (f € Lp, 5 > 0)
ВД, J)p = inf { || / - p ||p + 5“ || VWg II, } ; (45)
gzXpW)
• его реализацию (/ 6 Lp, 6 > 0)
*)р = bf { II / - Т ||p + <5“ || V(*)T ||p } . (46)
1 £h/6
19
Для наиболее часто встречающихся в теории приближений /^-функционалов и их реализаций вида (45)-(46) будем использовать специальные обозначения. В одномерном случае функции ф(£) = (г£)Л и •*/>(£) = | £ |а производят /^-функционалы
Ka(f) 5)Р = inf { || f-g ||, + || g M ||, } , (47)
gigM £ Lp v У
S)p = inf { II / - 9 lip + II 9{a) lip } , (48)
gigWeLp < >
соответствующие производной Вейля (обычной производной, если а € N) и производной Рисса. В многомерном случае часто имеют дело с /f-функционалом, порожденным оператором Лапласа = |£|2)
Яд(/, 5)р = inf { II / - д lip + 62 II Ад ||р } . (49)
у: Д д £ Ьр
Естественное обобщение (48) на случай нескольких переменных приводит к /^-функционалу, соответствующему степени оператора Лапласа
Яд,«(/,«)„ = , inf r { II / - 9 ||р + II (-А)“/2<7 ||р } • (50)
у.{-Ъ)а/*д£Ьр ^ У
Соответствующие выражения для реализаций получаются, если в формулах (47)-(50) заменить символ К на /С.
В классической теории наиболее хорошо изученными объектами являются структурные характеристики, порожденные обычными производными (d = 1, ф(£) = (iOfci & ^ ^0» а такжс оператором Лапласа (Ф{€) = 1?|2)- Напомним также, что необходимость расширения множества допустимых генераторов гладкости вызвана тем обстоятельством, что даже в некоторых простейших случаях, например, для средних Фейера, качество приближения не может быть описано в терминах классических объектов. Использование же однородных функции в качестве генераторов гладкости мотивируется следующими причинами:
• все известные гладкости, в том числе и упомянутые выше дробные производные, произведены именно однородными функциями,
• имеет место правило (21), позволяющее исследовать такие гладкости с помощью аппарата анализа Фурье.
20