Содержание
Введение.........................................................3
Глава 1. О некоторых многообразиях правосиметричных метабелевых алгебр
§ 1. Алгебры Новикова............................................13
§ 2. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1)........18
п. 1. Простейшие следствия из определяющих соотношений.........18
п. 2 Переработка операторных слов длины 3 и 4...................20
п. 3. Вспомогательные тождества.................................24
п. 4. Базис свободной метабслевой (1,1)-алгебры.................28
Глава 2. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа
§1. Простейшие следствия из определяющих соотношений.............31
§2. Переработка слов небольшой длины.............................33
§3 Вспомогательные тождества.....................................51
§ 4 Базис свободной мстабелевой алгебры типа (у <5)..............59
Список цитированной литературы...................................66
Список опубликованных работ......................................68
Введение
Хорошо известно, что в теории неассоциативных алгебр важную роль играют понятия разрешимости и нильпотентности. Напомним, что алгебра называется пильпотеитной, если для некоторого натурального числа п произведение любых ее и элементов равно нулю. Алгебра называется разрешимой индекса /?, если в ней выполняется полилинейное тождество вида:
где
э0(х) = х
■5„.| (*| Хг ....... У2, ) = «„(х, ,...,Х2„ ) • (у,У2, ) .
Примером пильпотеитной индекса п алгебры может служить алгебра
(0 ап О О
а
\п
а
2 п
с обычными операциями сложения и
матриц вида
0 0 0 0
х /
умножения матриц.
Легко проверить, что понятия разрешимости и нильпотентности совпадают в классе ассоциативных алгебр. Для алгебр Ли эти понятия различны - двухмерная неабелева алгебра Ли, то есть алгебра с базисом е, / и умножением [е,/| = е является разрешимой, но не нильпотентной.
Напомним, что алгебра называется правоальтернативной, если в ней выполняется соотношение(*,у,у) = 0, где (*, уу і):- (ху)г - х(уг) -ассоциатор элементов х, у, г. Алгебра называется альтернативной, если в ней наряду с тождеством правой альтернативности выполняется тождество
В классе конечномерных альтернативных или йордановых алгебр понятия разрешимости и нильпотентности эквивалентны. Хотя в классе правоальтернативных алгебр понятия разрешимости и нильпотентности различны, однако, в некотором смысле близки. Так, например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности.
Первые примеры разрешимых, но не нильпотентных альтернативных алгебр и алгебр типа (-1,1) построил Г.В.Дорофеев [3, 4]. Он же привел пример конечномерной правоальтернативной правонильпотентной алгебры, которая не является нильпотентной [5, C.408J. А. А. Никитин [13] привел пример разрешимой, но не нильпотентной алгебры типа (/, 5). Эти примеры показали, что теорема Нагата-Хигмана о нильпотентности ассоциативных алгебр ограниченного индекса, вообще говоря, неверна для альтернативных алгебр, (-1, 1)-алгебр и алгебр типа (/, д). Тем не менее, как показал К. А. Жевлаков [5] альтернативные ниль-алгебры ограниченного индекса являются разрешимыми. В 1957 г. А. И. Ширшов [18] обобщил на альтернативные алгебры теорему Левицкого о нильпотентности ассоциативной ниль-алгебры ограниченного индекса с конечным числом образующих. Аналогичная теорема для (-1, 1)-алгебр была получена И. П. Шестаковым [7]. Она следует из того, что (-1, 1)-ниль-алгебры с существенными тождественными
соотношениями являются локалыю-иильпотеитными.
Данная работа посвящена изучению некоторых многообразий разрешимых индекса 2 (или, в другой терминологии, метабелевых) алгебр. Согласно определению, алгебра называется разрешимой индекса 2, если в ней выполняется тождество:
(ab)(ccf) = О
Многообразия метабелевых альтернативных, йордановых, мальцевских и алгебр типа (-1, 1) достаточно активно изучались на протяжении последних 30 лет. Так, А. М. Слинько в Днестровской тетради [10, вопрос 129] поставил вопрос: будет ли конечнобазируемым всякое разрешимое многообразие
альтернативных (йордановых) алгебр? В 1976 г. В.П. Белкин [2] указал существование многообразия метабелевых правоальтернативных алгебр, которое не может быть задано никакой конечной системой тождеств.
Ю.А. Медведевым [12] был получен следующий результат. Пусть 777 является подмногообразием одного из следующих многообразий алгебр над нетеровым ассоциативно-коммутативным кольцом Ф с единицей: 1)
альтернативных алгебр; 2) алгебр типа (-1, 1); 3) левонильпотентных правоальтернативных алгебр; 4) алгебр Мальцева над кольцом Ф с V4; 5) йордановых алгебр над кольцом Ф с Уг. Тогда, если квадрат свободной
алгебры из 771 аннулирует некоторую степень этой алгебры, то многообразие
777 шпехтово. В частности, многообразия метабелевых альтернативных, йордановых, мальцевских алгебр и алгебр типа (-1, 1) шпехтовы.
С. В. Пчелинцевым [14] был предложен новый подход к изучению шпехтовых многообразий. На множестве подмногообразий щпехтова многообразия можно ввести топологию и с каждым таким многообразием связать две его числовые характеристики: размерность и топологический ранг. Эти числовые характеристики являются мерой отклонения разрешимости от нильпотентности. Основные результаты настоящей диссертации связаны именно с описанием тождеств, выполняющихся в разрешимых индекса 2 алгебрах. В качестве следствия могут быть вычислены топологические ранги соответствующих многообразий. Поэтому приведем основные определения.
Пусть X- конечнобазируемос многообразие, Ха 771. Размерностью
dim/;/ X многообразия X относительно 777 называется наименьшее число л, обладающее свойством: существует конечная система тождеств //, ..., /, выделяющая Xиз 777у т.е. </j, ...,^> + Т(777) = 7\Х)У такая, что ни одно из тождеств этой системы не выполняется в 777 и
n = max {degfy..degf).
Под размерностью dimXмногообразия X мы понимаем размерность ^относительно многообразия всех алгебр.
Пусть /// - шпехтово многообразие, то есть всякое его
подмногообразие конечнобазируемо; и (777) - множество всех
подмногообразий многообразия ///. Пусть 777* с о (777); множество 7777 называется конечномерным, если размерности всех многообразий из множества ^ограничены в совокупности. Перейдем теперь к определению
топологического ранга множества 777, являющегося естественным обобщением конечномерности;
Для любого (77 из ст(777) введем множества Uп (777) = { Xсс771 dim л X > п), Un (777) = бп (777) и {777).
Считая множество Е~ {Un (77С)\777 ест (777), п eN} базой окрестностей (необходимые условия проверяются непосредственно), ст (777) наделяется некоторой топологией; 777? является топологическим подпространством пространства ст (777). Поскольку 771 - шпехтово, любая убывающая цепочка многообразий 7771 z> 7772z>... z> 777п z>... из ^стабилизируется, следовательно, всякий минимальный элемент множества 777является изолированной точкой в пространстве 777. Обозначая через 77?' множество предельных точек пространства 777, имеем 777'а 777.
Топологическим рангом г,(<77) пространства 777 называется число г такое, что 777Аг',) * 0 и 777г) ~ 0. Топологическим рангом многообразия называется топологический ранг пространства ст(777), т.е. t\(777) - г,(ст(777)).
- Київ+380960830922