Содержание
0. Введение 3
0.1. История вопроса........................................... 3
0.2. Основные результаты....................................... 9
1. Неравенство Джексона для приближения функций в Ь2 16
1.1. Неравенства Джексона с обобщенным модулем непрерывности ....................................................... 16
1.2. Точность константы в неравенстве Джексона................ 26
1.3. Оценки аргумента модуля непрерывности в неравенстве
Джексона с минимальной точной константой................. 32
1.4. Оценки для константы /С в неравенстве
£„-!(/) < Ко/* (/, =) ................................... 40
2. Приближение фрактальными функциями в С 51
2.1. Метод фрактальной интерполяции........................... 51
2.2. Интерполяция с ограничением на константы Липшица. . . 63
2.3. Интерполяции с ограничением на выпуклость................ 69
2.4. Фрактальная интерполяция в среднем.....................• 73
Основные обозначения и определения к главе 1 .....................76
Основные обозначения и определения к главе 2 .....................77
Список литературы ................................................78
2
0. Введение
0.1. История вопроса
Работа состоит из двух глав. В первой главе диссертации рассматривается задача о неравенстве Джексона для наилучших приближений функций пространством тригонометрических полиномов. Во второй главе исследуется задача приближения функций классом фрактальных функций.
В теории приближения особую роль играет неравенство Джексона между величиной наилучшего приближения функции некоторым классом функций и модулем непрерывности функции. Первым в этой области является результат Д. Джексон а для наилучших равномерных приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. К настоящему времени эта тематика получила большое развитие. Опишем некоторые из известных результатов, имеющих непосредственное отношение к теме работы.
Обозначим через С — Сч* пространство вещественных непрерывных 27Г-периодических функций одной вещественной переменной с равномерной нормой ||/||с = тах{|/(а:)| : х 6 М}. Наилучшим равномерным приближением функции / € С тригонометрическими полиномами б» степени не выше п называется величина
а ее равномерным модулем непрерывности порядка т = 1,2,... называется функция переменного 6 > 0
Зафиксируем числа т > 0, т € N. Хорошо известно следующее пера-
Еп(/)с = пмп ||/ — Ьп\\с
1п
3
венство [77, 4, 55)
с константой К, — АС(г, т) < оо, зависящей только от т и га. Этот результат означает, что величина
являющаяся наименьшей константой )С в неравенстве (0.1) при фиксированных г, га, гг, равномерно ограничена по я, т.е. конечна величина
Д. Джексон [76, 77) в 1911 году впервые установил неравенство (0.1) при т = 1, т.е. оценил наилучшее равномерное приближение En^\(f)c непрерывной 27г-периодической функции / тригонометрическими полиномами степени не выше п — 1 через ее модуль непрерывности Ц/>т)с = u\(fyr)c (первого порядка). С.Б. Стечкин [55) получил неравенство (0.1) при т > 2; при га = 2 этот результат был ранее опубликован II.И. Ахиезсром [4, с. 217, с. 190]. Неравенство (0.1) при га = 1 называют неравенством Джексона, а для модулей непрерывности старших порядков - неравенством Джексона-Стечкина. Указанный результат был перенесен на пространства IP = Ь2п) 1 < р < оо, измеримых 27г-периодических функций, (см. [59, гл.5]).
Наряд}' с качественной картиной в этой области большой интерес (в частности, для вычислительных целей) представляют точные результаты. Первое точное неравенство Джексона (в пространстве С = C2ir) установил Н.П. Корнейчук [37] (1962 г.). Позднее этой тематикой в теории приближения занимались ученики Н.Г1. Корнейчука, а также многие известные математики: В.В. Арестов, В.И. Бердышев, В.Т. Гаври-люк, В.В. Жук, В.И. Иванов, A.A. Лигун, В.Ю. Попов, Л.В. Тайков,
Н.И. Черных, В.А. Юдин, Chin-Hung Chin и другие.
(0.2)
АС(т, т)с = sup Кп(г, т)с-
ne N
(0.3)
Н.П. Корнейчук решил задачу (0.3) при т — 7г, т =. 1, доказав равенство /С(7г, 1)с7 = 1- Позднее он обобщил этот результат [39] (1982 г.), показав, что К,(п/£, 1)^ = (£ + 1)/2, £ 6 N. •
По аналогии с определением (0.2) можно дать определение величины /Сп(т,т)^, являющейся наименьшей константой в соответствующем неравенстве Джексона в пространстве Ьр = //§*, 1 < Р < оо. К настоящему времени наиболее полно изучен случай р = 2. Первые точные результаты в этом случае принадлежат II.И. Черных [00, С1|, который доказал, что при любых натуральных га и п выполняется неравенство
фиксированных натуральных га и п, удовлетворяющих дополнительному условию п > т. Отсюда следует, что
Для получения этого результата Н.И. Черных использовал промежуточное интегральное неравенство. 13.В. Арестов (см. [2], [5]) свел задачу о точной константе в неравенстве Джексона в Ь2 к “геометрической” задаче приближения конкретного элемента из пространства С[0,6] выпуклым множеством. Такая точка зрения позволила ему применить методы выпуклого анализа, в частности, выписать явно двойственную задачу и, тем самым, прояснить и дополнить предложенный Н.И. Черных подход с использованием интегрального неравенства. Из результатов В.В. Арестова следует, что для любого точного неравенства Джексона есть соответствующее точное интегральное неравенство. Переход к двойственной задаче успешно применяется для оценки константы /С снизу. Задачи, аналогичные этой двойственной задаче, возникают и в других областях
/ € Ь2, / ф сопбЬ. (0.4)
Н.И. Черных показал, что константу
нельзя уменьшить при
(0.5)
математики, например, при исследовании границ упаковок некоторых метрических пространств по схеме Дельсарта (см. |26], [35], [79], [41], [36, гл.9, 13, 14], [32]), оценок снизу мощности дизайнов (см. [67]), а также в теории чисел (см. [57], [1] и приведенную там библиографию).
В случае т — 1 Н.И. Черных [60, 69] доказал, что
E„-i(f) < (/, ^) , } е L2, / ф const, (0.6)
причем константа 1 /\/2 для каждого п является неулучшаемой. Кроме того, в правой части этого неравенства нельзя брать значение ш\ в точке, меньшей, чем 7г/п, не увеличивая константу 1/\/2, и нельзя уменьшить константу 1/\/2. если брать значение в любой другой точке (см. [69]). Таким образом, Н.И. Черных нашел наименьшую точку т\ = 7г, начиная с которой величина /Сп(т, 1)^2, как функция аргумента т, выходит на свой глобальный минимум, равный 1/\/2. Такую точку называют (см. (7|) “точкой Черных”.
Точка т = тг оказалась, в указанном выше смысле, оптимальной для неравенства Джексона с первым модулем непрерывности. В 1991 году В.В. Шалаев [65| доказал, что при любых натуральных га и п справедливо неравенство
£„_,(/) fSb\ {ф const, (0.7)
откуда следует оценка сверху для константы Джексона в точке т — п
JCn(n,m)L2 <
При т=1 эта оценка совпадает с результатом Н.И. Черных, но при m > 2 величина у/2™ строго меньше , следовательно, эта оценка
сверху для величины /Сп(7г,т) не совпадает с оценкой снизу, которая следует из (0.5).
Точное неравенство Джексона в пространстве Lp при 1 <р<2 было также установлено Н.И. Черных [62]. В этом случае величина К,п{т, 1 )и>
- Київ+380960830922