Линейные интегральные операторы и уравнения с периодическими и почти периодическими ядрами

СОДЕРЖАНИЕ
Список обозначений Введение
ГЛАВА 1. ИТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ И ОГРАНИЧЕННЫХ НА ОСИ ФУНКЦИЙ §1.1. Линейные операторы в пространстве ограниченных функций и условия их интегрального представления §1.2. Алгебра локально компактных операторов и условия локальной компактности операторов ГЛАВА 2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА §2.1. Алгебра периодических локально компактных операторов и их интегральное представление §2.2. Аппроксимационная теорема для периодических операторов §2.3. Структура ядра Кег(1 - Р) в случае периодического оператора Р
ГЛАВА 3. ОБРАТИМОСТЬ И НЕТЕРОВОСТЬ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ И ОГРАНИЧЕННЫХ НА ОСИ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПОДПРОСТРАНСТВАХ §3.1. Условия обратимости оператора I — Р в случае, когда Р - периодический оператор §3.2. Вопросы ^-нормальности и ^/-нормальности оператора I — Р в случае, когда Р - периодический оператор §3.3. Почти периодические операторы и условия обратимости оператора I — Р в случае, когда Р - почти периодический оператор Литература
3
Список обозначений
ЛГ - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
{ [а, Ь), |а|,|6|<+оо,
г I \ ( —оо,Ь). а = -оо,Ь < +оо,
\(Х. О) г ч .
[а, 4-оо), а > — ос, о = +оо,
(—оо,+оо), а = —ос,Ь = +ос.
СП - пространство п-мерных комплексных векторов X = (Т1,Х2, хп)т,
11*11 = и« 1^1;
(упхп _ пространство комплексных п х п-матриц А = {%•},
II-4 II = Е^<*о1-
Bn(Rl) - банахово пространство ограниченных отображений х : R] ^ Сп,
Ы1в«(Д’) = suP IWOIIc* = SUP M*)h
«еЛ1
^•(Л1) - банахово пространство измеримых и существенно ограниченных отображений я : Л1 -+ 6™,
ЛС^Л1) - банахово пространство непрерывных и ограниченных отображений х : Я1 —» С1,
яНвс-ЧЯ1) = suP N<)||c* = sup max |я,(0|. teR1 КЛ1
Определим следующие подпространства пространства BCn(Rl):
BC£(Rl) - пространство равномерно непрерывных на Л1 функций; APn(Rl) - пространство почти периодических по Бору функций;
Cq (Л1) = ix : lim z(t) = ol;
{ ji I >00 )
aAPn(R[) = Cjf (Л1) 0 APn[Rl).
Для произвольных к € Z \ {0}, а € Л1 обозначим Pn{kuS) = {х£ BCn(Rl) : x(t + кш) = x(t)}; аРп(кш) = С0П(Л1) © Р*(кш);
4
exp(iat)Pn(kcj) = {exp(iat)x(t), x(t) 6 Pn(A:a;)}.
C"*[a, 6] - банахово пространство непрерывных отображений х ' [л, 6] —> ^,П)
||*||c"M = sup \\x(t)\\c» = Slip max \х$)\. te[a,b1 *€(а,б]1<><«
Для произвольной неубывающей функции cr(s) : [a, 6) Л1 обозначим Za([a, b),cr) - банахово пространство измеримых и суммируемых относительно меры, порожденной функцией функций ф : [а, b) —> (71,
IHk(MV) = / 1^0)1<М*);
(a,6)
L2Xn([ar6),<r) - банахово пространство комплексных п х п-матриц Ф(б-) = {Фр($)}, элементы <foj(s) которых принадлежат Ь\([а} Ь), а),
п Г
11Ф1|£Г"(М,а) = £ J l<Ms)l<Ms)-
- -
Отметим, что норма в L**n([a, 6), а) удовлетворяет оценке
7г_1 J ||$(s)||c»*"do-(s) < ||Ф||^”хп([а,6),<г) < / ||$(s)||c,"*"^cr(s) .
[а,6) [а,6)
NBVnxn(Rl) - банахово пространство комплекснозначных непрерывных слева п х n-матриц A(s) = (0^(5)}, имеющих ограниченную на Л1 вариацию и удовлетворяющих условию lim A(s) =0,
5—4 —00
ОО п ОС
IHIUbv*»"(«>) = К A(s) = тах ]Г К ay(s).
-ОО l-l-nj'=l“ СО
Д(БС,п(й1), БСп(Л1)) - банахова алгебра непрерывных линейных операторов Б, действующих в пространстве BCn(Rl),
||Б|| = sup \\Вх\\.
N1=1
5
Введение
Диссертация иосвяшена изучению линейных непрерывных локально компактных периодических и почти периодических операторов, действующих в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций ВСп(Я1). Класс таких операторов включает в себя интегральные операторы с ядром, зависящим от разности аргументов
ОС
Кх(Ь) = У К(Ь — $)х($)(1з, (1)
—оо
а также операторы
00
Ах(Ь) = I А^)$)х[8)(1з (2)
-00
с ядрами, удовлетворяющими условию А^+и, я 4-и;) = А(/, я) (см. работы В.Р. Винокурова [23] - [25], В.Ф. Пуляева [91] - [101], Т.А. Вш^оп’а [117]
- [119], В.В. Кузнецова [65] и др.)
Для операторов вида (1) и (2) построена содержательная теория, включающая, в частности, результаты, касающиеся обратимости, п-нормалыюс-ти и ^-нормальности операторов 1 - А, где I - единичный оператор, дано описание структуры ядра Кег{1 — А) таких операторов.
Анализ полученных результатов показал, что основными свойствами, обеспечившими их справедливость, являются перестановочность операторов (1) и (2) с группой операторов сдвига Тах = 4- а), а в Я1, и
ее подгруппой ТкиХ = 4~ к си), к Е 2, соответственно, а также непре-
рывность относительно локальной сходимости и локальная компактность операторов (1), (2). Естественно возникла задача изучения класса всех непрерывных относительно локальной сходимости и локально компактных периодических операторов, действующих в пространстве ВСп(Я1), и построения для них соответствующей теории. Эта задача и решается в настоящей работе. Кроме того, в диссертации на основе периодических операторов построена банахова алгебра почти периодических операторов Р, включающая введенные ранее почти периодические операторы, и исследуются свойства обратимости операторов I — Р в пространстве В С71 (Я1).
Вопросы, изучаемые в диссертации, рассматривались в случае других операторов с периодическими и почти периодическими коэффициентами или, что то же самое, уравнений, этими операторами порождаемых. Глубокие результаты, касающиеся обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с последействием, интегро-дифференциальных уравнений получены в работах Н.В. Азбелева [2],
А.Г. Баскакова [5] - [14], 10.Г. Борисовича [15], В.Ш. Бурда, Ю.С. Колесова и М.А. Красносельского [16], [17], В.В. Жикова и Б.М. Левитана
6
[40] - [45], [78], A.M. Зверкина [46], [47], В.Г. Курбатова [66] - [68], Э. Му-хамадиева [85], [87], А.Д. Мышкиса [88], В.Е. Слюсарчука [106], [107] и др. Интегральные уравнения на оси и полуоси с ядрами, зависящими от . разности аргументов, изучались в работах И.Ц. Гохберга, М.Г. Крейна [32], [33], [63], Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко [50] - 52], И.В. Симоненко [103], [104], З.Б. Цалюка, В. А. Дербенева [38], [108] - [110] и др.
Уравнения в частных производных с периодйческими и почти периодическими коэффициентами рассматривались II.А. Кучментом [70] - [76],
А.И. Милославским [80], [81], Э. Мухамадиевым [86], [87], М.А. Шубиным [111] - [115] и др. Отметим также работу В.В. Кузнецова [65], где рассматривались периодические операторы, действующие в пространствах функций, определенных на локально компактных абелевых группах. Основными целями диссертации являются:
- изучение свойств непрерывных относительно локальной сходимости локально компактных периодических операторов, действующих в BCn(Rl) (всюду ниже такие операторы будем называть периодическими) и возможности их интегрального представления;
- изучение условий обратимости операторов I — Р, где Р - периодический оператор, в пространстве BCn{R}) и наиболее интересных его подпространствах; описание вида обратного оператора (/ — Р)“1;
- изучение условий п-нормальности и ^-нормальности оператора I — Р в пространстве BCn(R1) и его подпространствах;
- описание структуры ядра оператора I — Р в пространстве BCn(Rl);
- изучение условий обратимости операторов I — Р, где Р - почти периодический оператор, переводящий пространство BCn(Rl) в себя.
В диссертационном исследовании используются методы теории линейных непрерывных операторов, гармонического анализа. Существенным моментом является использование дискретного преобразования Фурье.
В качестве основных результатов можно выделить следующие:
- получено интегральное представление непрерывного относительно локальной сходимости локально компактного периодического оператора, действующего в пространстве BCn(R})\
- найдены необходимые и достаточные условия обратимости операторов 1 — Р, где Р - периодический оператор, в пространстве BCn{Rl) и различных его подпространствах; показано, что (/ — Р)-1 = I + R, где R -периодический оператор;
- показано, что как n-нормальность так и ^-нормальность оператора I — Р влекут его обратимость;
- описана структура ядра Ker(I — Р), где Р - периодический оператор;
- получены необходимые и достаточные условия обратимости оператора
7
I — Ру где Р - почти периодический оператор, в пространстве ВС71 (Я1). Все основные результаты являются новыми.
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для исследования интегральных л интегро-дифференциальных уравнений с периодическими и почти периодическими ядрами.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
- научная конференция ’’Вопросы функционального анализа”. Баку, 1999;
- Весенние Воронежские математические школы ” Понтрягинские чтения X, XII”. Воронеж, 1999, 2001;
- Международная научная конференция ” Математика. Экономика. Экология. Образование.” Ростов-на-Дону, 1999;
- Воронежская зимняя математическая школа ’’Современный анализ и его приложения”. Воронеж, 2000, 2002;
- Международная научная конференция ’’Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения”. Воронеж, 2000;
- Международная научная конференция ” Актуальные проблемы математики и механики”. Казань, 2000;
- V Казанская международная школа-конференция ’’Теория функций и смежные вопросы”. Казань, 2001;
на семинаре кафедры ММИО Воронежского государственного университета (руководитель проф. А.Г. Баскаков), а также неоднократно на семинаре по дифференциальным и интегральным уравнениям проф. З.Б. Цалюка в Кубанском государственном университете.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [122] - [137].
В работах [122], [123], выполненных совместно с научным руководителем
В.Ф. Пуляевым, научному руководителю принадлежит постановка задачи. Выбор методов исследования и проведение доказательств принадлежат автору диссертации. В работе [126] В.Ф. Пуляеву принадлежат постановка задачи и выбор методов исследования.
Перейдем к обзору результатов диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
Первая глава носит подготовительный характер и посвящена интегральному представлению линейных операторов, действующих из пространства ВСп(Я1) в пространство Вп(Я[), а также описанию в терминах ядра интегрального оператора условий его действия из пространства ВСп(Я1) в Ь'^Я1) или ВСп(Я1).
Во второй главе изучается интегральное представление непрерывных относительно локальной сходимости локально компактных периодических операторов Р, действующих в пространстве ВС11(Я1). Исследуется струк-
8
тура Ker(I — Р) в этом пространстве.
В третьей главе изучаются вопросы обратимости операторов 1 — Р, где Р - периодический оператор, в пространстве BCU(R}) и его подпространствах. Кроме того, исследуются условия п-нормалыюсти и rf-нормаль-ности этого оператора в пространстве BCn(Rl) и его подпространствах, а также сохранение этих свойств при переходе от пространства BCn(R]) к подпространству и обратно. Вводится новое определение почти периодического оператора, действующего в BCn(R1), получены необходимые и достаточные условия обратимости оператора I — Р, где Р - почти периодический оператор, в пространстве BCTl(R]).
Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации.
В первой главе изучается возможность интегрального представления линейных операторов, переводящих BCn[R}) в Bn(Ri). Подобная задача для операторов, действующих в пространствах Lpi изучались в работах A.B. Бухвалова [18] - [20], Л.В. Канторовича [48], [49], где получены критерии интегральной представимости операторов, а также условия на ядро интегрального оператора, обеспечивающие его действие в заданной паре пространств. Известные результаты для пространства С1 [а, Ь] принадлежат Радону.
Определение. Оператор Р, переводящий пространство BCn(Rl) в Bn(R1), называется интегральным, если он может быть представлен в виде
00
Px(t)= J cl$P(t, s)x(s) =
-00
11 OG \
£ f Xj(s)dapb(t,s)
j= 1 -00
£ f Xj(s)dspij(t,s)
j=\ —00
oo
S / Xj(ß)dsPnj{$i s)
j=l -oo
(3)
где P(t,s) = {Pij(t,s)} - комплекснозначная п х п-матрица, элементы которой при каждом фиксированном t Е RL имеют ограниченную на R1 вариацию по s.
В классе матриц, соответствующих данному интегральному оператору Р. можно выбрать одну и только одну матрицу, которая при каждом t 6 R1 непрерывна слева по s и удовлетворяет условию
*11?« s) = °- (4)
Обозначим через NBVnxn(R1) банахово пространство комплекснозначных п х п - матриц A(s) = {0^(5)}, удовлетворяющих условию lim^A(s) = 0, элементы которых непрерывны слева и имеют ограничен-
9
ную на R1 вариацию,
Г1 0Q
= max £ V Oij(s).
1 SlSn j—2 —ос
Всюду далее будем обозначать
ОО 00
V A(s) = max Y У aij(s)•
-ОС 1<1<П j=^—00
Будем считать, что матрица P(t, s) в интегральном представлении (3) при каждом t G R есть элемент пространства NBVnxn(R[). Такую матрицу будем называть ядром интегрального оператора. Как указано выше, ядро интегрального оператора определяется однозначно.
Из принципа равномерной ограниченности следует, что для того, чтобы интегральный оператор (3) переводил пространство BCn(Rl) в пространство Bn(Ri), необходимо и достаточно, чтобы его ядро удовлетворяло условию
sup V P(t, s) < оо. (5)
teR' -°°
При этом оператор (3) непрерывен, а его норма удовлетворяет оценке гг-1 sup V P{t,s) < Ц-РЦ < sup V P(t,s).
teIi i-oo teR'"™
Определение. Последовательность {xm}, xm E Bn(R])) ограниченно поточечно сходится к функции х (хт °^' х)^ если sup < оо и
ТП
{хш} поточечно сходится К X.
Определение. Последовательность {тт}, е Bn(R]), локально сходится К функции X (хт1-^х), если sup ||дто||дп(Д1) < 00 И {я^}. СХОДИТСЯ к
т
х равномерно на каждом отрезке из R}.
Для произвольного линейного оператора Q : BCn(R1) -¥ Bn(R1) и фиксированных i = 1,2, ...,n, t € R1 определим линейный функционал Q\ : BCn(R1) -> С1, полагая
Q\x = (Qx)i(t).
Получен следующий критерий интегральной представимости линейных операторов, действующих из BCn(Rl) в Bn(Rl) (ср. [14]).
Теорема 1.1.1. Пусть линейный оператор Q переводит пространство BCn(R1) в Вп(Нг). Следующие утверждения эквивалентны:
1. Функционалы Q\ непрерывны относительно ограниченной поточечной сходимости;
2. Функционалы Q\ непрерывны относительно локальной сходимости;
3. Оператор Q имеет интегральное представление вида (3).