Оглавление
Введение
1. Изопериметрическая задача при наличии интегральных ограничений
1.1. Постановка основной экстремальной задачи .........
1.2. Необходимые условия и редукция уравнения Эйлера-Лагранжа к интегралу...............................
1.3. Исследование нулей функции Р(р^,г,ц)..............
1.4. Достаточные условия экстремума....................
1.5. Наилучшие приближения и поперечники...............
2. Экстремальные задачи в пространствах с весом
2.1. Корректность основной задачи......................
2.2. Существование экстремальной функции...............
2.3. Необходимые условия экстремума....................
2.4. Поперечники по Колмогорову........................
2.5. Качественные свойства нелинейного уравнения (2.19) .
2.6. Случай р = <? = г = 2 задачи (2.1)-(2.3) и функции Лежандра...............................................
2
4
28
28
34
41
46
52
53
55
59
59
61
62
66
2.7. Вычислительная схема поиска симметричного решения задачи (2.1)-(2.3) при р = 2 68
2.8. Основная теорема при р = 2............................... 73
2.9. Явное решение задачи (2.1)-(2.3) при д = оо, г = 2 . . . 79
2.10. Решение задачи (2.1)-(2.3) в случае р = г = 2, <7=1 .. 88
Литература 94
3
Введение
Известно, что стационарные точки функционала
11г/(*)И/.-2
приводят к классическому дифференциальному уравнению
у"(х) + Хгу(х) = О,
лежающему в основе многих построений в математике, физике, технике. Однако теоретический и практический интерес исследований в последнее время смещается в сторону нелинейных дифференциальных уравнений.
В диссертации исследуются семейства экстремальных задач для вещественпозначных, абсолютно - непрерывных функций у(х), определенных на отрезке [-1, 1], р,д,г > 1
/-1 \у{х)\чйх вир, /-1 \у'(х)\рс1х < 1,
1-1 !з/ (*)Г' в§п (у (х)) йх = о
(0.1)
И
/-1 \у {х)\Я йх -> вир,
/1,(1-ж2) \у'(х)\рйх < 1,
/-1I?/ (ж)Г1 в6п (У (х)) Лх = 0
(0.2)
4
и классы нелинейных дифференциальных уравнений
(|y'|p_1sgn (у'(х)))' + А%(ж)|? ‘sgn (y(æ)) = c\y(x)\r~'1 (0.3)
((1- х2)\у'{х)\’‘ 1sgn(y'(x)))' + A%(a:)|ï Jsgn {у(х)) = c|y(æ)|' 2 (0.4)
с дополнительными ограничениями.
К нелинейным уравнениям степенного типа приводят задачи, часто встречающиеся в приложениях. Одна из постановок известна как задача Лагранжа или задача о наиболее прочной колонне заданного объема. История этой задачи такова.
В 1773 году, развивая работы Л. Эйлера [75] об устойчивости упругих стержней, Ж.-Л. Лагранж [21] поставил задачу об оптимальной форме колонны, нагруженной продольной силой Р: найтпи форму колонны (упругого тонкого тела вращения), максимизирующую критерий << прочности >> (solidité)
где Рс - критическая сила потери устойчивости, а V - объем колонны.
Потеря устойчивости колонны описывается известными уравнениями изгиба тонких стержней Бернулли - Эйлера (гравитационные силы не учитываются) 7
и
тпа.т—
V2
(0.5)
(Elу")" + Ру" = 0,0 < х < L,
(0.6)
5
где у(х) - функция прогиба, Е - модуль Юнга, /(.?;) = 7гЯ'1(х)/4 -момент инерции стержня круглого сечения радиуса К(х), штрихи обазначают ди(])ференцирование по х.
I
Рис.1 Пример колонны
Ж.-Л. Лагранж рассматривал условия шарнирного опирания колонны на обоих концах
у(0) - (Е1у")х=о = 0, уЩ = (Е1у")х=ь = 0. (0.7)
Объем колонны описывается интегралом
£ А(х)с1х, . (0.8)
где /1(х) = 7тИ2(х) - площадь поперечного сечения.
Для удобства введем безразмерные переменные
ж° = х/Ь,у° = у/ь,
а(х°) = А{Ьх°)Ь/У, А = 4тгРЬ*/(ЕУ2). (0.9)
Тогда соотношения (0.6)-(0.8) примут вид (нолики над символами х°, у[) здесь и ниже опускаем)
(а2(.т)?/)" + Ху" = 0,0 < х < 1, (0.10)
6
у( 0) = (а2у") х=о = 0, г/(1) = (аУ')*=1 = 0, (0.11)
а(х)с1х = 1. (0.12)
Соотношения (0.10), (0.11) определяют задачу на собственные значения. Таким образом, задача Лагранжа сводится к максимизации первого собственного значения А при изопериметрическом ограничении (0.12). Решая эту задачу, Ж.-Л. Лагранж [21] пришел к выводу, что оптимальное решение задачи - колонна постоянного сечения (цилиндр). Ошибка Лагранжа была исправлена почти сто лет спустя членом - корреспондентом С.-Петербургской Академии наук Томасом Клаузеном [76]. Оптимальное решение имеет вид
а0(х) = 4/35т20(а;),?/о(£) — вт30(а;), в — 1/2$ш20 = 7г.т, 0 <0 <1г,0 < ж < 1, (0.13)
А0 = 4/Зтг2.
Собственная функция уо(х) (форма потери устойчивости) определена с. точностью до произвольного множителя. Критическая сила Ао для решения (0.13) в 4/3 раза превосходит соответствующее значение для колонны постоянного сечения а(х) = 1 и одинакового объема V = 1.
Ошибка Лагранжа и решение Клаузена описаны в работе известного петербургского механика Е.Л. Николаи [77], опубликованной в
7
1907 г. Он обобщил решение Клаузена, введя дополнительное ограничение на минимально допустимую толщину колонны. Из отечественных исследований 30-х годов отметим статью II.Г. Чендова [78], рассмотревшего различные формы поперечного сечения стержня, и дипломную работу А.Ю. Ишлинского (1935 г.).
В последние годы задача Лагранжа стала популярной в США. Хотя эта задача и решение Клаузена упоминаются в книге С.П. Тимошенко [79] но истории механики, Клиффорд и Трусделл [80], не зная о Т. Клаузене и его российских последователях, предложили задачу Лагранжа американским ученым Дж. Келлеру и Г. Вайнбергу. Оба ученых с этой задачей успешно исправились. Однако работа Г. Вайнбергера осталось неопубликованной, а Дж. Келлер [58] не только повторил решение Клаузена, но и показал, что для выпуклых поперечных сечений оптимальная колонна имеет форму равностороннего треугольника.
Однако в 1977 году датские исследователи Н. Ольхофф и С. Расмуссен [81] обнаружили, что решение, приведенное в работе Tad-jbakhsh I. и Keller J. В. [56] для случая жесткой заделки с обоих концов, неверно и численно нашли оптимальное решение с двумя линейно независимыми формами потери устойчивости (бимодальное решение). В работах А.П. Сейраняна [24], [82] были приведены условия оптимальности бимодального решения, указаны условия его возникновения и найдено аналитическое решение для случая жесткой заделки с обоих концов. Почти одновременно аналогичные результаты опубликовал американский ученый Е. Мейзур [83]. Оказалось, что бимодальные решения для жесткой заделки, полученные разными ме-
- Київ+380960830922