2
ОГЛАВЛЕНИЕ
{ВВЕДЕНИЕ. Проективная дифференциальная геометрия. Дифференци-
альная геометрия обобщённых пространств..........................4
Соглашение об индексах.......................................32
Глава 1. ГЕОМЕТРИИ ТЕНЗОРА КРУЧЕНИЯ-КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВА ПРОЕКТИВНОЙ СВЯЗНОСТИ 1.1.11ространство проективной связности..................33
1.2. Поля геометрических объектов, индуцируемых парой дополнительных распределений расслоения Рп п.................................43
1.3. Оснащённые гиперраспределения дЦч и Л*_, индуцированные связности расслоения,/^ п.............................................49
1.4. Индуцированные связности и инвариантные проективитеты расслое
НИЯ Рп.п...................................................................
1.5. Некоторые кривые на базе М]] и частные классы расслоений
1.6. Неголопомная гиперповерхность 5"_, в проективном пространстве
Р ...................................................................65
п...........................
1.7. Расслоение Рпп с нулевым кручением..........................75
1.8. Классификация расслоений Рп и с помощью нормальных подпространств ............................................................79
Глава 2. НОРМАЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В 11 РОСТРА 11СТВЕ ПРОЕКТИВНОЙ СВЯЗНОСТИ
2.1. Дифференциальные уравнения ///-поверхности и полей нормалей
I {ордена и Карта» ип................................................85
2.2. Внешние нормали Картана и I {ордена///-поверхности Я,,, .....89
3
2.1.0 Р1 -нормали Нордена ///-поверхности Бт расслоения Р°н .................91
т
2.2. Индуцируемая нормалью Картана связность Сю на ///-поверхности и нормализация с такой связностью.......................................92
2.3. Вырождение касательных гиперконусов ///-мерной поверхности 51,,. расслоения Рп п и нормализация ///-мерной поверхности для некоторых
значений размерностей т и п ............................................99
2.4. О геометрии двумерной поверхности в шестимерном пространстве проективной связности..................................................104
*
2.7 Инвариантный проективитет К слоя Рп(А $) и нормализация т-мерной поверхности расслоения Рпп для некоторых значений т.............108
Глава 3. НОРМАЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕР110Й ПОВЕРХ 1ЮСТИ, ОСНАЩЁННОЙ ПОЛЕМ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
3.1. Аналитическое решение задачи нормализации оснащенной полем двумерных плоскостей 12 ///-поверхности пространства проективной
связности Рп п при п=т.................................................111
3.2. Геометрическое решение задачи нормализации оснащённой полем двумерных плоскостей Ь2 ///-поверхности ...............................117
3.3. Нормализация оснащённой полем двумерных плоскостей 12 ///-поверхности нрослранства проективной связности Рп п, когда плоскость 1г пересекает касательную к Зт т-поскосгь Ьт по прямой I,.................121
ЛИТЕРАТУРА .......................................................137
4
В В ЕДЕ! ШЕ
ПРОЕКТИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОБОБЩЁННЫХ
ПРОСТРАНСТВ
Е Родословное дерево дифференциальной геометрии не менее древне, чем родословное дерево анализа бесконечно малых [36], [165], [4]. Но впервые проективные и метрические свойства фигур были разделены в 1822 году французским математиком Ж. Понселе в его сочинении “Traite des propriétés des figures’". Эта книга содержала начала проективной геометрии, основным методом решения задач в которой явился метод проективного преобразования фигур, реализуемый процедурой центрального проектирования. Ж. Понселе в своей книге сформулировал и применял принцип двойственности в проективной геометрии. Дальнейшее развитие проективной геометрии связано с именами Я. Штейнера (Steiner J., “Sistematishe Entwiklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander”, Berlin, 1832), который строил геометрию прямых и конических сечений исключительно синтетически, А. Мёбиуса (Mobius A. F., “Der barycentrische Calcul”, Leipzig, 1827), который первым начал использовать проективную систему координат и, следовательно, аналитические методы в проективной геометрии, используя проективные преобразования фигур, он выделяет их свойства, сохраняющиеся при этих преобразованиях, что является ничем иным, как началом геометрической теории инвариантов. К. Штаудт ввёл (Staudt K. G. “Geometrie der Lage”, Nurcnberg, 1847) в аналитическую проективную геометрию однородные координаты и исследовал (с. 131-136) симметричный невырожденный поляритет посредством автополярного симплекса и присоединения пары соответствующих элементов. 10. Плюккер предложил (PI ücker J., “Sistem der Geometrie des Raumes”, 1846) рассматривать прямую как элемент пространства, взяв за координаты этого элемента 4 коэффициента в уравнениях прямой трёхмерного пространства, и разработал начала аналитической геометрии линейных комплексов и линейной конгруэнции, он же ввёл
5
тангенциальные координаты прямой и плоскости в проективном пространстве. В 1859 г. А. Кэли вводит в [216) понятие “абсолюта” в одно- и двумерном проективном пространствах. С помощью абсолюта А. Кзли определяет “проективную метрику”, аналитически показывая тем самым, что “... метрическая геометрия является ... частью проективной геометрии, и проективная геометрия представляет всю геометрию” (см. [130], с. 245). Первой монографией по многомерной проективной геометрии является книга [205] итальянского геометра
Э. Бертини (первое её издание вышло в Пизе в 1907 г.).
К. Жордан первым осознал и показал возможность применения групп преобразований, открытых Э. Гатуа, к решению различных задач геометрии (“Memoire sur les grouppes de mouvements”, 1868-69). Создание Софусом Ли, Феликсом Клейном и др. теории групп непрерывных преобразований повлекло приложение этой теории в геометрии вообще и при классификации геометрических дисциплин в частности. Последнее было выполнено Ф. Клейном в его знаменитой “Эрлангеиской программе” (“Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm zum Eintrit in die philosophische Fakultat zu Erlangen, 1872”, её второй русский перевод опубликован в [130] с. 399-434). Предмет и метод каждой геометрической науки Ф. Клейн определяет следующим образом: “Дано многообразие и в нём группа преобразований; изучить свойства фигур этого многообразия, инвариантные по отношению к преобразованиям группы” (цит. по [183], с. 9), или: “Дано многообразие и в нём группа преобразований; нужно исследовать те свойства образов, принадлежащих многообразию, которые не изменяются от преобразований группы” (цит. по [130], с. 422), или там же ещё короче: “Дано многообразие и в нём группа преобразований. Требуется развить теорию инвариантов этой группы." (цит. по [ 130], с. 422]). В этом же сборнике 1130] помещён на с. 253-303 перевод “О так называемой неевклидовой геометрии” написанной в 1871 г. статьи [225], в которой О). Клейн все “неевклидовы геометрии” выводит из проективной геометрии с помощью мероопределения Кэли |216]. )гу статью можно считать пред-вееппщей “ )рлашопекой программы”. В 1027 году ).пг Картах, оценивая про-
6
дыдущие 70 лет исследований в геометрии писал (см. [213J, или (130), с. 485-507): “В стороне от богатых результатов геометрических исследований, вызванных идеями Клейна, развивается между 1867 и 1914 годами совершенно отличная геометрическая теория, возникшая из знаменитой вступительной лекции Римана: “О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии” (Вступительная лекция Римана была прочитана им 10 июня 1854 г., опубликована в [232],
S. 251-269). Исходные точки зрения обоих великих геометров были совершенно различны.”. Отмечая, что это различие базируется на выборе основных геометрических понятий (равенства и группы - у Клейна, меняющейся от области к области пространства метрики - у Римана), Карган заключает (см. [130], с. 487): “Очевидно, что риманова геометрия совершенно не укладывается в рамки Эрлангенской программы, так как риманово многообразие не допускает в общем случае никакого вида однородности”.
2. По общему признанию [36], [ 166, с. 198] первой монографией по дифференциальной геометрии является книга Гаспара Монжа “Analyse appliquée а la geometric.- Paris, 1850” (первое издание собранных в одно целое отдельных выпусков вышло в 1807 году). Эта книга переведена на русский язык [123] в 1936 году. 11. Домбровский писал [217, S. 63], что днём рождения дифференциальной геометрии без преувеличения можно считать 8 октября 1827 г., когда К. Ф. Гаусс доложил Королевскому обществу наук в Гёттенгеме свою работу “Disqui-sitiones generales circa superficies curvas". Но только спустя полвека, в 70-х годах XIX столетия, Ж. Альфаном были получены [223] первые результаты в проективно-дифференциальной геометрии плоских и пространственных кривых. Им же заложены начала проективной геометрии алгебраических кривых высших порядков. Наиболее полно проективно-дифференциальная теория кривых представлена спустя 80 лет в монографии [239] Су Бушина. В ней наряду с теорией плоских и пространственных кривых рассмотрены инварианты двух пересекающихся кривых трёхмерного пространства, общая проективная теория кривых чеIырёхмерного просграпеша 1\ и начала проективной диффе-
7
ренциальной геометрии кривых Димерного пространства, здесь же содержится обширная библиография вопроса (102 назв.). Л. С. Атанасян вводит в [8] инвариантные связности на кривых л-мерного проективного пространства. С по-мощыо этих связностей им определяются проективные инварианты кривой и выделяются классы кривых в Рп.
Первые результаты по проективной дифференциальной геометрии поверхности трёхмерного пространства получены, начиная с 1901 года, в школе американских геометров Е. Вильчинским, К. Грином и др. (см. [249], где введён и сам термин “ проективная дифференциальная геометрия”). Ими исследованы комплексы и конгруэнции прямых, связанных с поверхностью, и заложены начала проективной геометрии конгруэнции и пары сопряжённых относительно поверхности конгруэнций [222], [249], [250]. Основные их результаты собраны в книге Ланэ (Lane, “Projective differential geometry of curves and surfaces”, Chicago, 1932). В 1926-1927 годах итальянский геометр Г. Фубини и его ученик чешский геометр Э. Чех издали двухтомную монографию [220], с приложениями Г. Цицейки, Э. Бомпиани и А. Террачини. В этой монографии авторы строят теорию поверхностей, отнесённых к произвольной паре координатных линий и и v с использованием квадратичной и кубической форм. Здесь же впервые исследованы отображения между подмножествами 5* и S' проективного пространства. Румынский математик Г. Цицейка, используя идею Клейна (1872 г.) - Сегре (1885 г.) (см. [185] и [183]) изображения касательных к поверхности точками гиперквадрики пятимерного пространства, исследовал сопряжённые системы на поверхностях независимо от результатов Е. Вильчин-ского и Г'. Фубини (Gh. Tzitzeica, “Ge'oine'trie differentielle projective des reseaux”, Paris, 1923). Обзор всех результатов и методов решения задач в проективной дифференциальной геометрии кривых, поверхностей и конгруэнций и библиография (по состоянию на 30-е годы) содержатся в монографии C. II. Фннпкова 1183], в которой все полученные ранее результаты изложены единым методом подвижного тегра >,чра с использованием внешних квадрантных форм
(методом внешних форм Картана [184], [79), [821, (83)). Внутреннюю геометрию поверхностей тензорным [199] методом исследовал А. П. Норден [127], [128]. Обозначив через р минимальный порядок соприкасающейся плоскости Dp /7-мерной поверхности yV-мерного проективного пространства, /9,3/^, И.
М. Остиану методом Лаптева строит [132], [133] инвариантное оснащение поверхности для р=2, р=3 и более высоких порядков. По другой схеме инвариантное оснащение //7-мерной поверхности /7-мерного проективного пространства при п<0,5т(т + 3) найдено [19] Л. Я. Березиной. В работе [133] H. М. Остиану доказала, что объект оснащения {v'a, i/®) многомерной поверхности про-ективного пространства можно охватить фундаментальным объектом поверхности не ниже четвёртого порядка. С другой стороны, А. В. Столяров, используя схему доказательства полноты фундаментального объекта гиперполосы Hr d Рп, доказал [160], что при 2</</?-1 порядок полного внутреннего фундаментального объекта поверхности Уг с= Рп не превосходит шести. Отдельные вопросы проективной дифференциальной геометрии многомерных поверхностей рассматривали Э. Картан [209], А. П. Норден [127], В. Бляшке [206], Г. Ф. Лаптев [96]-[98], А. И. Либер |103]-[107], В. Т. Базылев [11]-[14], N4. А. Аки-вис[1]-[3], С. Е. Карапетян [78], В. Клингенберг[226], E. Т. Ивлев [59], В. В. Гольдберг [42], [43], A.B. Столяров [160], [1611, Ю. И. Шевченко [194] и др.
Среди монографий, содержащих проективную дифференциальную геометрию многообразий, в первую очередь после выше упомянутых следует назвать две книги С. Г1. Финикова [ 185), [186]. В первой из них собран весь материал по теории конгруэнций и теории комплексов, рассмотрены асимптотические преобразования поверхностей в и конгруэнции IV и теория сопряжённых сетей в Р„. Здесь же решена задача проективного изгибания конгруэнции и её обобщения. В [186] кроме теории пар конгруэнции, рассмотрены пары комплексов в пятимерном и многомерном Проективных пространствах и заложены начала теории //-параметрических семейств (/>-1 )-мерны\ плоскостей в Р;г.\. )| и дне монографии являю i ея гакже ил л юс i рацией 1138. с. 6-7] эффект и внос i и
9
метода Картана [ 184] дифференциально-геометрических исследований в однородных пространствах. Двухтомная проективно-дифференциальная геометрия Г. Бола [207], и дополненное (в переводе Ан. Добреску на румынский язык) переиздание [243] книги Г. Цицейки (цитир. выше), напротив, написаны без применения метода внешних форм, при исследовании в них используется тензорный аппарат и теория квадратичных форм. В монографии румынского геометра Т. Михайлеску [231], содержащей элементы неголономной геометрии (гл. VII), в качестве основною метода выбран метод внешних форм Картана [ 184]. Здесь же имеется и подробная библиография (141 назв.).
Вторая (большая) часть монографии [85] Кованцова H. М. посвящена проективной теории комплексов трехмерного пространства. 11росктивной дифференциальной геометрии линейных конгруэнций и их фокальных поверхностей многомерного проективного пространства Р„ (глава 1) и трёхмерного пространства (глава 3) посвящена монография А. Швеца [242], в которой собраны опубликованные после 1947 г. результаты чехословацких геометров. Во второй главе этой книге рассматриваются линейные конгруэнции и поверхности с проективной связностью как частные случаи обобщения Ргрп пространства Кёнига. Обзор линейчатой проективно-дифференциальной геометрия трёхмерного пространства составляет большую часть работы Щербакова Р. Н. [201]. Здесь отмечено, в частности, что только в период с 1953 по 1965 г. по линейчатой дифференциальной геометрии трёхмерных пространств опубликовано более 600 статей и несколько монографий (включая [185], [186], [85], но тем не менее “возможности дальнейшего углубления и расширения знаний в рассматриваемой области никогда не могут быть исчерпаны” [201, с. 265].
Многомерная проективно-дифференциальная геометрия комплексов прямых рассматривалась К. И. Г'ринцевичусом ([45]-[47] и др.), в [47] он, в частности. показал, что гиперкомплекс прямых в Рп не допускает изгибания в смысле Картана, то есть гиперкомнлекс в Р„ определяется с точностью до проективного преобразования фундаментальным обьектом первого порядка. В. II. Близки-
10
кас, используя различные геометрические образы, строит внутренние оснащения (оснащение Нордена-Гринцсвичуса, оснащение Картава, оснащение Бор-толотти) гиперкомплекса прямых Gr(\, п, 2я-3) в Рп [21J. Р. М. Гейдельман показал [401, 410 проблема фокальных преобразований поверхности в Л тесно связана с теорией ///-параметрических семейств прямых /, то есть линейчатых поверхностей Vm+r В этой работе в общем случае, когда все фокусы на образующей / различны и описываемые ими фокальные поверхности /w-мерны, изучены поверхности Vm^ индекса г=п-т и типа к, где //-размерность пространства образующей, а ^-размерность плоскости пересечения касательных плоскостей ТтЛ{М) в неособых точках А4е/. Пары конгруэнций и комплексов прямых в Р}
изучал Ивлев Е. Т. [54], [55], [57], где исследованы специальные классы пар конгруэнций и дана полная классификация пар конгруэнций [55] и комплексов [57], здесь же указан произвол существования самой общей пары комплексов.
Первым задачу оснащения ///-семейства ///-мерных плоскостей в //-мерном пространстве, то есть многообразия Грассмана Gr(m, п, т), решал Э. Бортолот-ти [208], сопоставляя каждой ///-плоскости семейства Gr(m, /?, т) дополнительную (/?-///-! )-плоскость. Н. М. Остиану методом Лаптева находит [134] инвариантное оснащение семейства многомерных плоскостей проективного пространства. Дифференциальная геометрия ///-мерных плоскостей явилась предметом обзора [38] Р. М. Гсйдельмана. В нём автор говорит (с. 323), что накопление материала по дифференциальной геометрии поверхностей и линейчатых многообразий и развитие новых методов исследований поставили естественную задачу: “создание теории ^-параметрических семейств ///-мерных подпространств в различных //-мерных однородных пространствах“. Эта задача берёт начало с гиперполосы, введённой В. Бляшке, цитированной выше статьи Э. Бортолотти [208], работ В. В. Вагнера (28], [29]. Б. Д. Розсифельдом в [146], заложены начала дифференциальной геометрии многомерных плоскостей, а в [14S] теория ///-пар плоскостей рассмотрена им как частный случай более общей теории образов симметрии полнородных пространствах. К истокам этого
направления относятся и исследования С. П. Финиковым //-параметрического семейства (р-І)-мернмх плоскостей в Р2 . (см. [186]). Говоря более обще,
дифференциальная геометрия грассмановых подмногообразий проективных пространств исследовалась в геометрических школах в Италии, в Чехослава-кии, но в большей мере советскими геометрами: [146], [148], [41], [38], [45]-[47], [21 ], [ 125], 1126], [76], [ 110], [ 111 ], [ 134], [ 1 14], [88]-[93], [73], [200], [94],
[153], [126], [192] и др. О. Ю. Лумисте решает в [109] для различных подмногообразий Gr(m, п, г) проблему оснащения, включая оснащения Бортоллоти [208] и Гальвани [221]. Для отдельных соотношений размерностей подмногообразий Gr(m, /7. г) он находит инвариантное внутреннее оснащение. В. И. Близникас строит в Р„ внутренние оснащения для гиперкомплскса прямых 0(1. /7, 2/7-3) [211. Здесь же, используя принцип двойственности, он получает полную классификацию подмногообразий Gr(m, п, г). К В. Навицкис строит в [125] внутреннее оснащение Картана (по [21]) для распределения (//?-1)-мерных плоскостей f1in+ïz>/in на грассмановом многообразии Gr(///, 2//И-2) ///-плоскостей 1т проективного пространства Р?т2* ^ Хасин применил [188] теорию пучков матриц ([37], [121], [190J) для исследования и полной классификации трёхпараметрических семейств двумерных плоскостей 4-х мерного проективного пространства Р4. Значительные результаты в исследованиях геометрии грассмановых подмногообразий проективных пространств, включая и классификацию, отличную от [21], получены в геометрической школе [156] Р. Н. Щербакова Л. 3. Кругляковым и его учениками: [88]. [94], [200], [192], [153| и др. Библиографическую справку этих работ по состоянию на 1980 г. можно найти в [202]. Обобщая теорию и терминологию, в том числе, линейчатых многообразий трёхмерных пространств, Л. 3. Кругляков [88] разделил все многообразия Г'рассмана G г (cl п, а), то есть ^-параметрические семейства /-,,(<') «/-мерных
плоскостей /. = /.,/ проективного /7-мерного пространства, на три основных класса: регулюєм, при (/+*/<;/, конгруэнции, при </+</=// и комплексы, при ahi>n. И
12
[90] Л. 3. Кругляков в основу локальной классификации в 1\ a-параметрических семейств Ld(a) ^/-мерных плоскостей L=Ld положил разность р = п - d - а, где «-размерность касательного подпространства TL(a)y назвав семейство Ld(a) фокальным класса N-n-1 при «<Д,Г. Далее, определив в [89] понятия порождённых семейством Lj (а) внутренних и внешних многообразий, Кругляков Л. 3. ввёл “внутреннее основное соответствие'’ и “внешнее основное соответствие ”, а также три “основные специализированные” трилинейные формы и ещё четыре другие специализированные трилинейные формы. Эго открыло новые пути исследований и классификации всех многообразия Грассма-на, а также матричных алгебраических многообразий [77].
Многообразия алгебраических фигур изучаются в школе В. С. Малаховского [117]-[ 1 19], [86], [120] и др. В 1120] дан обзор результатов исследований калининградских геометров в области многообразий гиперквадрик проективною пространства. Отдельные области проективно-дифференциальной геометрии составляют исследования по теории /«-мерных гиперполос: [28], [29],
[ 140], 1141], [62], [162], [143] и др., а также пар и иных комбинаций фигур в однородных и обобщённых пространствах: 1147], [186], [111], [39], 1115], [116] и др. Родоначальником последнего направления является [238] Альфред Клебш, который в 1870-72 г.г. рассматривал в работе “über eine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie” геометрические конфигурации элементов, состоящих из точки и прямой (на плоскости) и точки и плоскости (в пространстве). Обзорный доклад работ этой тематики “Современное состояние теории кониексов” сделал в 1930 г. на Первом Всесоюзном съезде математиков Д. М. Синцов
[154]. Дальнейшее развитие этой теории и связь её с теорией дифференциальных уравнений в частных производных можно найти в книге [155]. Без связи с теорией пар конгруэнций пару поверхностей в «-мерном проективном пространстве, например, рассматривает в 1115] А. А. Лучнннн, причём между точками поверхностей установлено биективное соответствие и касательные плоскости в соответствующих точках поверхностей пересекаю гея но некоторой />-
13
плоскости. В [18] для пары двумерных поверхностей строится в Р5 канонический репер и отмечаются частные классы такой пары.
В 1953 году С. II. Фиников, оценивая полувековой путь развития дифференциально-геометрических исследований, писал [187] об эволюции в дифференциальной геометрии классических задач эпохи Бианки и Дарбу: а) задачи изгибания и преобразования Лапласа поверхностей и конгруэнций и их обобщения и б) расслоения многообразий и многообразий пар элементов, включая многообразия пар плоских элементов: точка-плоскость. Как обобщение преобразований Лапласа и проблемы проективного изгибания многомерных поверхностей в смысле Картана [209] итальянскими и чехословацкими геометрами (а с 1957 г. и румынскими во главе с Г. Врэнчану) разрабатывалась теория общих соответствий между двумя «-мерными проективными пространствами. Полная библиография работ этого направления содержится в [241] и далее в обзорах [ 150], [151] В. В. Рыжкова. Дальнейшим расширением данной тематики являются исследования отображений Рт в Р„ 1152], [51 ], соответствия между тройками пространств (см. в [152]), изучение соответствии между точечными проективными пространствами и пространствами пар фигур [5]. Так Ь. А. Андреев исследует [6] распределение линейных элементов, возникающее в Рт при дифференцируемых отображениях/: Рт —> Рп(т > «), где Рп~ расширенное аффинное пространство. В инвариантной аналитической форме дифференцируемые отображения пространств описаны Г. Ф. Лаптевым [100], где утверждается, что “фундаментальны е объекты являются естественным инвариантным аппаратом при изучении точечных отображений однородных пространств друг на друга, а также точечных отображений их подмногообразий". Новым инструментом исследования л-параметрических семейств ^-мерных плоскостей проективного п-мерного пространства стало [192] обобщение точечных отображений пространств и их подмногообразии в виде /\'-отображений, впервые исследованных Л. 3. Кругляковым [93]. С современной точки зрения [52], [84], [4] и др. проективная дифференциальная геометрия многомерной поверхности изложена в
- Київ+380960830922