- 2 -
Введение
Работа посвящена введенному автором классу весовых модулей над алгебрами Капа-Муди — равномерным модулям. Одной ио особенностей отого класса является то, что нетривиальный равномерный модуль не может быть модулем старшего веса. Равномерные модули представляют собой обобщение модулей бео кручения, определенных в работах [4], [6] (см. определение 1.10 настоящей диссертации).
История вопроса. В 1920-х - 1940-х годах в трудах О. Картава,
В. Киллипга, Г. Вейля была получена классификация полупростых конечномерных комплексных алгебр Ли. Каждой такой алгебре была ваатгно одпоопачпо сопоставлена целочислеппая матрица, удовлетворяющая определенным условиям (матрица Картана). Была выписана система образующих и соотношений, зависящая от матрицы Картана и задающая полупростую алгебру Ли.
В 1968 году В.Г.Кац [1] и Р.В.Муди [2] определили класс алгебр Ли, естественно обобщающий полупростые конечномерные алгебры Ли. Обобщение состоит в снятии одного ио условий на матрицу Картана — условия положительной определенности отой матрицы. При этом формулы, определящие по матрице систему образующих и соотношений, остались практически прежними. Получающиеся алгебры Ли называются алгебрами Каца-Муди. Алгебры Каца-Муди бесконечномерны, за исключением тех. чья матрица Картана положительно определена.
Алгебры Капа-Муди и их представления являются популярным объектом исследований. Особепно интенсивно изучались так называемые модули старшего веса над отими алгебрами. Интерес к этим модулям связан, прежде всего, с двумя обстоятельствами. Во-первых, все конечномерные представления конечномерных алгебр Каца-Муди являются модулями старшего веса; при отом многие методы, разработанные для конечномерного случая, могут быть в той или иной мере перенесены на модули старшего веса над общими алгебрами Каца-Муди. Во-вторых, модули старшего веса над некоторыми бесконечномерными алгебрами
— з
Каца-Муди (а именно, над так называемыми аффинными алгебрами), естественно воопикают в теории струн, важном разделе математической физики.
Модули, рассматриваемые в настоящей диссертации, не являются модулями старшег о веса. Упомянем некоторые работы, посвященные близким классам модулей. Все модули, рассмотренные в этих работах, являются весовыми (т.е., разлагаются в прямую сумму подпространств. собственных относительно действия картановской подалгебры). В большинстве работ рассматриваются лишь конечнократные модули (т.е., предполагается, что все весовые подпространства конечномерны). Кроме того, в большинстве работ рассматриваются лишь конечномерные алгебры Каца-Муди (т.е., конечномерные полупростые алгебры Ли).
Прежде всего следует отметить работу С. Фернандо [4]. В отой работе введено понятие модуля бео кручения над конечномерной полупро-стой алгеброй Ли. Показано, как задача о классификации всех конеч-нократиых весовых модулей над конечномерными полупростыми алгебрами Ли может быть сведена к задаче о классификации одних лишь модулей без кручения. Там же показано, что нетривиальные конечнократные модули бео кручения существуют лишь над алгебрами Ап, Сп и их прямыми суммами.
Опираясь на результаты Фернандо (полученные и описанные последним в своей диссертации еще в 1983 г.). Д. Бриттеп и Ф. Лемайр в своей работе [5] расскласифицировали весовые модули над конечномерными полупростыми алгебрами Ли, имеющие одномерное весовое подпространство. Для отого они описали но семейству модулей бео кручения над каждой алгеброй Ли типов А и С, после чего доказали, что любой модуль без кручения с одномерными весовыми подпространствами над этими алгебрами изоморфен одному из модулей описанных семейств.
В работе [7] Бриттен, Лемайр и В. М. Фу торный описали все неприводимые конечнократные модули бео кручения над алгеброй А? = з/(3, С) (см. утверждение 1.12 настоящей диссертации).
- 4 -
Б. Лидский в своей работе 19] описал семейство бесконечнократпых весовых Л „-модулей (п > 2). В качестве частных случаев ото семейство включает приводимые модули, обладающие конечнократными подмодулями. Для нары весовых модулей, имеющих обший вес, определено понятие “изоморфтюсти в данном весе” (что означает иооморфность соответствующих весовых подпространств как модулей над подалгеброй упиверсальпой обертывающей алгебры, сохраняющей весовые подпространства). Лидский доказал, что с точностью до изоморфности в каком-либо весе конечнократные подмодули модулей семейства исчерпывают все копечпократпые скалярные неразложимые .4п-модули (модуль называется скалярным, если центр универсальной обертывающей алгебры действует на нем скалярными операторами).
Ю. А. Дрозд, С. А. Овсиенко и В. М. Футорныи в работе (10] описати широкий класс (вообще говоря, бесконечпократных) ^-модулей, включающий, в частности, все неприводимые конечнократные весовые модули.
Что касается бесконечномерных алгебр Капа-Муди, то примеры конечнократных весовых модулей, не являющихся модулями старшего веса и отличных от самой алгебры (присоединенного представлення), исчерпываются так называемыми модулями петель над аффинными алгебрами. Модули петель определены и исследованы в работах [11], [12], [13].
В работе Бриттена, Лемайра и Зоритто [6] приведено определение модуля бсо кручения над произвольной алгеброй Каца-Муди. Там же доказано, что все модули без кручеїшя с кратностью весов 1 над аффинными алгебрами являются модулями нетель. Следует отметить также работу Бриттена и Лемайра [8], в которой доказан важный факт о ко-нечнократных модулях над аффинными алгебрами. Именно, доказано, что если кратности весов модуля ограничены сверху, то центр алгебры действует на модуле тривиально.
Актуальность темы. Важной и трудной задачей теории представлений конечномерных нолупростых алгебр Ли является классификация
5
всех конечнократных весовых модулей над этими алгебрами. Результаты Форпалдо [4] сводят оту задачу к классификации конспюкратных модулей бет кручения над алгебрами Ли Ап и Сп.
Как уже было сказано, равномерные модули представляют собой обобщение модулей без кручения. Тем самым классификация модулей без кручения может быть выведена из классификации равномерных модулей.
Развитые в работе методы исследования равномерных модулей над произвольными алгебрами Кана-Муди могут быть полезны также при изучении модулей петель над аффинными алгебрами, а возможно и других, еще не изученных классов модулей над бесконечномерными алгебрами Ли.
Основные результаты.
1. Разработан метод изучения нового класса представлений алгебр Каца-Муди, обобщающего модули без кручения.
Введено понятие равномерного модуля. Для любого линейного функционала Л на картановской подалгебре определена категория Е\, объектами которой являются равномерные модули, содержащие Л среди своих весов.
Изучение модулей категории Е\ над алгеброй Каца-Муди С сведено к изучению представлений определяемой в работе конечно порождённой ассоциативной алгебры ф7(С), где у — ограничение А па центр алгебры Каца-Муди. Ксли матрица Картана алгебры С невырождена (например, в случаях, когда С' конечномерна), алгебра ф',(С) оказывается не зависящей от А и обозначается нами ). Явно описан функтор \1 у-* Е{М, А) из категории С)-модулей в категорию Е\ для произвольного А, задающий эквивалентность этих категорий.
2. Упомянутый метод применён в простейших случаях. Для алгебр Ли Є = Дз и С = .4г явно описаны алгебры <2(С) , все их неприводимые конечномерные представления. а также соответствующие равномерные £-модули.
Случаи А\ = в^(2) почти тривиален. Для случая Лг = з1{3) рав-
6-
номерные А«г модули, соответствующие неприводимым конечномерным представлениям алгебры С^(Л2), образуют семейство модулей, обозначенных У(с1,1/, Л), где </ — натуральное число, и — комплексное число, а А — линейный функционал на картановской подалгебре. Это семейство представляет двоякий иптерес.
Во-первых, при общих значениях параметров модами {Дс/, и, А) являются неприводимыми модулями бео кручения. Более того, доказано, что все неприводимые конечнократные Л2-модули бео кручения принадлежат нашему семейству. Тем самым мы оалово получаем классификацию таких модулей. Отметим, что доказательство классификаци-опной теоремы у нас значительно проще, чем в работе [7]. Можно надеяться, что наш метод позволит получить классификацию неприводимых конечпократных модулей без кручения над другими простыми алгебрами Ли, в первую очередь над С2 = зр(4) и Аз = «/(4).
Во-вторых, среди приводимых Л2-модулей семейства 1/, А)}
встречаются такие, которые включают в качестве иодфактора любой наперёп зацанпый конечномерный неприводимый Л2-модуль. Тем самым. модули А) могут оказаться полезными для изучения ко-
нечномерных представлений алгебры Ли Л2 = 5/(3). Существует определенная апалогия между семейством {I/, А)} и хорошо изученными модулями Всрма: общие модули Верма неприводимы, а среди фактор-модулей приводимых модулей Верма над любой иолу простой конечномерной алгеброй Ли С встречаются все конечномерные С-модули.
3. Определенные результаты получены также для равномерных модулей над конечномерными алгебрами Л„ = з/(п + 1) при п > 2 и над аффинными алгебрами Выписаны образующие и соотношения алгебр (2(Ап) и С^с(А^). Явно описаны равномерные Л„-модули и Л^-модули с одномерными весовыми подпространствами. Для простейшей аффинной алгебры Л^° описаны все весовые модули с однократными весами.
Краткое содержание работы.
Глава 1 содержит определения и известные факты, необходимые для
- 7 -
положения результатов.
В главе 2 вводится понятие узкой системы в алгебре Каца-Муди, приводятся примеры узких систем (определение 2.1). Г рубо говоря, узкая система представляет собой пару подмножеств корневых элементов алгебры таких, что элементы внутри каждого из подмножеств попарно коммутируют, а все вместе порождают алгебру. Далее приводится определение равномерного модуля над алгеброй Каца-Муди; ото определение цредполагает фиксированной некоторую узкую систему. Равномерный модуль есть весовой модуль, на котором олемепты одного из подмножеств, составляющих узкую систему, действуют биективно (что есть ослабление определения модуля без кручения, для которого то же должно быть справедливо для всех корневых элементов, соответствующих вещественным корням). Для каждого функционала Л на картановской подалгебре определяется категория Е\ (определение 2.2). Объектами категории Е\ являются равномерные модули, имеющие Л в числе своих весов.
В главе 3 для каждого линейного функционала я € Я*, где Н есть Картановская подалгебра алгебры Каца-Муди С?, определена конечно порождеппая ассоциативная алгебра Q*(G) (определение 3.1). Доказано. что если А € Я* и тг Є Н* таковы, что их ограничения на центр С алгебры С совпадают, то категория Е\ оквивалептпа категории представлений алгебры QT(G) (теорема 3.6). Доказано также, что алгебры Q*{G) и Q-'(G) изоморфны, если тг|с = я'\с. Это позволяет отождествить эти алгебры и обозначить их Q-.(G), где 7 € С*. В случае нулевого пептра С (например, для конечномерных алгебр Каца-Муди) имеем одну алгебру Q(G) = Qa(G). Для QT(G)-модуля (или Q{G)-модуля) М и линейного функционала А € Я*, А|с = 7 явно описан соответствующий равномерный G-модуль A'(.V/, А) категории
В главе 4 приводятся списки образующих алгебр ^(Лп)
Приводятся также тождества на многочлены, коэффициентами которых являются эти образующие. Все соотношения на образующие могут быть выведены из отих тождеств.
- 8 -
В главе 5 расклассифицированы все неприводимые конечномерные представления алгебры С?(Лг)• Для каждого натурального с/ существует но однопараметрическому семейству представлений К^у алгебры СДЛг), имеющих размерность <£ здесь и € С (определение 5.1). Любое конечномерное неприводимое представление алгебры СДЛг) изоморфно некоторому К л,у такому, что 3^ - <1 - 2 не является натуральным числом, меньшим с/ (теорема 5.4). Для каждого представления К^у приведено но два его базиса и явно выписано действие образующих алгебры Ф(Лг) в каждом из отих базисов (определение 5.1, предложение 5.6).
В главе 6 изучаются равномерные Л 2-модули У {Л, и. А) (здесь (/бД и 6 С, Л € Н'). По определению, У(<1,и, А) = Е(К^у, А). Из результатов, изложенных в главах 3 и 5, следует, что среди модулей У(с1, и, А) должны содержаться все конечнократные неприводимые равномерные Д 2-модули. Явно выписано действие образующих алгебры Лг в двух разных базисах модуля V(с/, Л). Выяснепо, при каких значениях параметров с/, и и Л модули V(с/, К', А) являются неприводимыми Л 2-модулями без кручения (предложения 6.3. 6.4). Полученная классификация Л2-модулей без кручепия сопоставлена с классификацией из работы [7] (предложение 6.5).
В главе 7 исследованы подмодуля приводимых модулей У{Л, и, Л). Значительную часть главы занимает изучение кратностей весов подмодулей различных типов. Доказано (теорема 7.8, предложение 7.9), что для каждого конечномерного Л2-модуля М найдется три различных набора параметров Л € и £ С, А € К' таких, что М изоморфен подфактору модуля У(с1,и, А).
В главе 8 приведены формулы, задающие произвольный равномерный Д„-модуль или Л}Д-модуль с одномерными весовыми подпространствами (теоремы 8.1 и 8.2).
Наконец, в главе 9 дано, классификания всех весовых Л ^-модулей с кратностью весов 1 (теорема 9.2).
Публикации по теме диссертации. Важнейшие результаты настоящей работы опубликованы в следующих статьях:
- Київ+380960830922