2
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ................................................. 3
ГЛАВА 1. КРИТЕРИИ АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ СТЕПЕНЕЙ ПРОСТЕЙШИХ ДРОБЕЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ В ОБЛАСТИ......................... 20
§1.1. Основные определения и постановка задачи....... 20
§ 1.2. Вспомогательные сведения и результаты......... 22
§ 1.3. Функциональный критерий .. . ................. 26
§ 1.4. Геометрические критерии для конечносвязных областей . 32
§ 1.5. Разложения по системе F(A) в областях с компактной
в С границей........................................... 40
§ 1.6. Абсолютно представляющие системы степеней простейших
дробей с ограниченным множеством А................... 46
§ 1.7. Следствия из основных теорем......................... 49
§ 1.8. Геометрическая характеризация абсолютно представляющих систем простейших дробей в ограниченных выпуклых областях................................ 55
ГЛАВА 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ СТЕПЕНЕЙ ПРОСТЕЙШИХ
ДРОБЕЙ.......................................................... 59
§2.1.0 существовании абсолютно представляющих систем в
пространстве Н0(О)................................... 59
§ 2.2. Критерии абсолютно представляющих систем ^(Л)
для конкретных областей.............................. 70
§ 2.3. О продолжаемости абсолютно представляющих систем
вида /Г(Л).......................................... 77
ЛИТЕРАТУРА..................................................... 85
ВВЕДЕНИЕ
Одним из важнейших направлений комплексного анализа является изучение задач, связанных с разложениями в ряды по фиксированной последовательности функций из различных пространств. Помимо того, что они представляют самостоятельный интерес, полученные в процессе их решения результаты широко применяются при исследовании различных вопросов теории аппроксимации и интерполяции, разрешимости уравнений типа свертки и эффективного построения их решений. Существенное место в этой тематике занимает теория представления функций, голоморфных в областях или на компактах, рядами Дирихле и их обобщениями. Интенсивная разработка этой теории началась с фундаментальных исследований А.Ф. Леонтьева, подытоженных в монографиях [13], [14], и привела к созданию и развитию (в основном, в работах Ю.Ф. Коробейника и его учеников) общей теории абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах. При этом, согласно данному Ю.Ф. Коробейником
определению (см., например, [6]), последовательность X — {х^
ненулевых элементов произвольного локально выпуклого пространства Н называется абсолютно представляющей системой в И, если любой
ос
элемент х из Н можно представить в виде суммы ряда х = ^скхк >
к—\
абсолютно сходящегося по топологии Н. Эта теория, основанная на синтезе идей и методов функционального анализа и теории функций, позволила, с одной стороны, решить ряд известных, а с другой - ряд новых задач.
4
Исторически одним из первых примеров абсолютно
представляющей системы, не являющейся базисом в некотором банаховом пространстве функций, аналитических во внешности замкнутой спрямляемой жордановой кривой, была последовательность
и свойства функций, представимых такими рядами, интересовали многих математиков. Здесь следует отметить работы Дж. Вольфа, Т. Карлемана,
А. Данжуа, A.A. Гончара, Т А. Леонтьевой, Ю.Ф. Коробейника и другие
([9], [15] - [19], [24], [26] - [27], [31] - [35], [37]). Следует подчеркнуть,
что в отличие от системы экспонент, которая образует абсолютно представляющую систему в пространствах функций, аналитических лишь в выпуклых областях или их замыканиях, последовательность простых дробей можно рассматривать и в невыпуклых областях. Однако, известно ([9]), что не существует такой области в расширенной
- пространство всех функций, аналитических в области О и исчезающих в бесконечно удаленной точке (если последняя принадлежит О), наделенное топологией равномерной сходимости на каждом компакте из
О. Поэтому естественным объектом исследования в перечисленных
вида
z
([33]). Вообще, разложения в ряды вида
комплексной плоскости С, что система
является
абсолютно представляющей в пространстве Hq(G). Здесь и далее Hq(G)
выше работах было пространство Н0(о) функций, аналитических в
замыкании О области О. С другой стороны, классическая теорема
исчезающих в бесконечности аналитических во внешности круга
теорема Пуанкаре-Ароншайна позволяет для областей специального вида строить абсолютно представляющие системы из степеней конечного числа простейших дробей. В направлении изучения представления аналитических в области функций рядами типа рядов Лорана наиболее сильный и общий результат был получен
В.П.Хавиным в работах [26], [27]. Он установил, фактически, что если К - континуум (ограниченное замкнутое и связное множество) в комплексной плоскости, Є - дополнение К до расширенной комплексной плоскости С, а {Я*} - всюду плотная в К последовательность, то произвольная функция /, аналитическая в О и исчезающая в бесконечно удаленной точке, разлагается в ряд вида
О, и показал на примерах конкретных К, что такие разложения, как
результата следует часть классической теоремы Лорана, которая
Лорана дает пример абсолютного базиса в пространстве
го) = {г є С: г - го( ^ функций, составленного из натуральных
степеней дроби -------. Кроме того, как отметил Ю.Ф. Коробейник,
00 ак і
7м(г-ЯкУ
который абсолютно сходится в Є и равномерно внутри
со со
правило, неединственны. Другими словами, «
1
абсолютно представляющая система в Я0(^). Ясно, что из этого
6
касается возможности разложения исчезающей в бесконечности функции, аналитической вне одной точки Л, в ряды по отрицательным степеням 2 - Л. Однако, в случае, когда рассматриваемые функции аналитичны вне круга К = {2 е С: \г -Л\ < я} положительного радиуса Я,
ту же самую теорему Лорана получить из результата В.П. Хавина уже не удастся. Это обстоятельство говорит о том, что достаточное условие плотности } в К в общем случае не является необходимым для того,
чтобы система
эо ОС
1
была абсолютно представляющей в
*=1,7=1
Р-ЛлУ
пространстве Н$(р). Кроме того, естественно рассмотреть эту же задачу при более общем предположении, что О - произвольная область расширенной комплексной плоскости, содержащая хотя бы одну' внешнюю точку из С.
В соответствии с отмеченным выше, представляет интерес задача о характеризации и исследовании свойств тех наборов } (конечных или счетных), по которым можно разложить в ряд лорановского типа произвольную функцию из Но(о), где С - какая-либо фиксированная область расширенной комплексной плоскости, отличная от конечной и от расширенной комплекной плоскости. Исследование этой задачи и составляет основную цель настоящей диссертации.
В диссертации решаются следующие задачи:
- получение общего функционального критерия того, что система /г(д)= |(г - А* )-*/: у € IV; А* е л], где Л = {Я^} - фиксированное не
- Київ+380960830922