- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
ВВЕЛ ЕНКЕ...................................................... 4
ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ КЛАССА КРАТНОКРУГОВЫХ ОБЛАСТЕЙ
ТИПА ( ТТ2).......................................... 14
§ 1.Исходные сведения о кратнокруговых областях голоморфности и интегральных представлениях в них . . 14
§ 2.Вывод дифференциальных соотношений для функций,
*
параметризующих ( ^ + п. -4. ) - круговые области класса ( ТТр................................... 21
§ 3.Преобразование дифференциальных соотношений в
случае т=2,, = сЬ............................... 34
§ 4.Применение найденных соотношений к решению задачи перехода от явного задания области к параметрическому ( общий случай: ).............. 42
I
ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ВНЕ ПОЛИКРУГА ОДНОГО КЛАССА ФУНКЦИЙ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕ -
МЕННЫХ...............'................................51
§ 5.Исходные сведения об объекте исследования и предварительный анализ его поведения. Метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами ...............................................51
§ б.Обобщенная производная интеграла 65
§ 7.Разложение интеграла РД'й) в обобщенный степенной ряд................................................71
§ 8.Интеграл Р*(^) : Вывод формулы его дифференциальной связи в области Е* с интегралом типа Коши и обобщенное уравнение Коши - Римана ........ 80
- 3 -
стр.
ГЛАВА III. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ МНОГОМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ (С* И (С* ( П. >2. )....................86
§ 9.0 поведении в пространстве (Е* интеграла типа Тем-лякова-Баврина -го порядка с определяющей областью 2) типа Л...................................87
§10.Постановка и решение однородной и неоднородной задач линейного сопряжения в классе функций
двух комплексных переменных (Т*)...............103
§11.Интеграл типа Темлякова-Баврина первого порядка в случае области 2) типа Л из пространства (ЕК
(ПЪЯ) и его свойства......................... .114
§12.Постановка и решение однородной и неоднородной задач линейного сопряжения в классе функций К комплексных переменных (Т*).......................123
Заключение...............................................133
ЛИТЕРАТУРА...............................................134
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ
Начиная с середины XX века сильно возрос интерес к теории функций многих комплексных переменных. Эта теория, не имевшая до того времени приложений в естествознании, в работах научных школ академиков H.H.Боголюбова, B.C.Владимирова, Ю.В.Линника нашла серьезные применения в квантовой теории поля [1] и математической статистике [3].
Теория интегральных представлений голоморфных функций, представляющая собой совокупность методов и результатов, возникших при обобщении классической интегральной формулы Коши на многомерный случай ([1], [5]), в настоящее время, благодаря эффективным приложениям, в частности, в теории краевых задач ([2], [19],
[23]), является важной и быстро развивающейся ветвью многомерного комплексного анализа. Актуальность же развития теории многомерных краевых задач в значительной мере объясняется тем, что в последние годы описан широкий класс задач квантовой механики, теории вероятностей, математической физики, которые соответствующим преобразованием Фурье приводятся к многомерным краевым задачам линейного сопряжения ( пространственной задаче Римана ).
Одним из первых в нашей стране исследования по теории интегральных представлений начал А.А.Темляков* в своей докторской диссертации [51]. Он установил ( [52], [53], [54]) два интегральных представления для функций двух комплексных переменных, голоморф-
* - Темляков Алексей Александрович (1903-1968) - советский математик, доктор физико-математических наук, профессор, крупный специалист в области теории функций многих комплексных переменных.
В 1949-1968 г.г. возглавлял кафедру математического анализа МОПИ (ныне - Московский педагогический университет). Основатель известной научной школы по многомерному комплексному анализу.
- 5 -
ных в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей. Эти формулы известны в математической литературе ( см., напр., [5], [6]) как интегральные представления Темлякова I и II родов.
Интегральные представления Темлякова и их обобщения на случай комплексных переменных, установленные З.Опиалем, Й.Сичаком [59], И.И.Бавриным ( см., напр., [9],[10], [11] ), И.И.Бав-риным, Г.Н.Бакуниным ([12],[13]) и другими математиками, обладают рядом замечательных свойств, которые отличают их от всех известных интегральных представлений, и, одновременно, тесно связаны с формулой Коши одного комплексного переменного. Последнее обстоятельство позволяет усилить методы исследований, специфические для теории функций многих комплексных переменных, хорошо разработанным аппаратом интеграла типа Коши и выходящими из него ветвями теории функций одного комплексного переменного. На этом пути отечественные и зарубежные исследователи получили серию результатов по различным проблемам голоморфных функций в кратнокруговых областях. Отметим, что успех применений интегральных представлений Темлякова во многом был предопределен тем обстоятельством, что
А.А.Темляковым с самого начала были указаны дифференциальные соотношения, связывающие параметризующие его двоякокруговые области
функции и г* (г) :
- б -
В настоящей диссертации устанавливаются, во-первых, многомерные аналоги указанных соотношений для широкого класса кратнокруговых областей £) типа (ТТ4) , введенного в рассмотрение И.И.Бавриным и Г.Н.Бакуниным [13]. Найденные соотношения открывают перспективы для исследования и применения интегральных представлений функций, голоморфных в указанных областях.
Основы теории интегралов типа Темлякова были заложены в работах представителей созданной А.А.Темляковым научной школы по многомерному комплексному анализу: Л.А.Айзенберга - первым введшего понятие таких интегралов ([7],[8]) и изучавшего их поведение в пространстве (Г ; Г.Л.Луканкина - полонившего начало исследованиям [26] по применению математического аппарата интегралов типа Темлякова к постановке и решению многомерных краевых задач;
В.И.Боганова - включившегося ( [14], [15]) в разработку совместно с Г.Л.Луканкиным теории задач линейного сопряжения функций двух комплексных переменных.
На пути распространения интегральных представлений Темлякова на случай К>Х комплексных переменных И.И.Бавриным ( см., напр., [9],[10],[11]), с помощью созданного им метода ин-тегро-дифференциальных операторов голоморфных функций, был установлен ряд интегральных представлений общей операторной природы, известных ныне как интегральные представления Темлякова-Баврина и Коши-Баврина.
Существенным вкладом в развитие теории интегралов типа Темлякова явилось установленное А.Т.Хвостовым ([55], [56]) с помощью предложенного им в пространстве С* метода линейных однородных дифференциальных операторов первого порядка явление квазианалитичности интегралов типа Темлякова вне области голоморфности.
- 7 -
Оказавшийся эффективным, указанный метод применялся в дальнейшем A.B.Гуляевым, В.А.Гусаковым, В.Т.Уляшевым, А.В.Латышевым, В.А.Лит-винюком, А.В.Нелаевым, С.Ю.Колягиным, В.В.Гагиевым и другими математиками - при исследовании различных модификаций интегралов типа Темлякова, а также интегралов типа Темлякова-Баврина и типа Коши-Баврина. В ряде работ А.В.Нелаева ( см., напр., [33],[35], [36] ,
[38] , [40], [41J, [46] , [47] ) сам этот метод становится объектом детального исследования и получает дальнейшее развитие - дополняется рядом принципиально важных положений, уточняется и распространяется на общий случай r\_ ( комплексных переменных. Существен-
но развитый, ныне метод известен ( см., напр., [46]), как метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами. Разрабатываемая с помощью этого метода А.В.Нелаевым и его учениками теория квазианалитических функций находит применения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и при постановке и решении пространственных краевых задач.
Вторым направлением исследований в данной диссертации явилось изучение квазианалитических свойств вводимого в рассмотрение на основе одного из установленных И.И.Бавриным [11] для поликруга интегральных представлений голоморфных функций обобщенного интеграла типа Коши-Баврина. В числе установленных свойств - аналоги известных свойств голоморфных функций: обобщенная производная рассматриваемого интеграла, его разложение в обобщенный степенной ряд и, при известных дополнительных условиях на вид плотности, обобщенное уравнение Коши-Римана.
Третье направление диссертационного исследования - постановка и решение краевых задач линейного сопряжения ( однородной и неоднородной ) в пространствах (С и С ( п. *£).
- 8 -
В работах А.В.Нелаева ([33],[37]) был впервые введен в рассмотрение в пространстве (С* и исследован интеграл типа Темлякова-Баври-на I рода И -го порядка (&с/У). На основе развиваемого математического аппарата этого интеграла с определяющей областью типа Я производится постановка указанных задач и находится их решение в определенном классе функций двух комплексных переменных. Существенным шагом в развитии интегралов типа Темлякова и типа Тем-лякова-Баврина явилось проведенное А.В.Нелаевым [35] исследование таких интегралов в случае И -круговых ( ) областей класса (Т).
В диссертации продолжена разработка математического аппарата интеграла типа Темлякова-Баврина I рода первого порядка с определяющей областью типа Л , затем с его помощью осуществлены постановка и решение однородной и неоднородной задач линейного сопряжения в пространстве <[К ( п>2. ).
Перейдем к изложению содержания диссертации по главам.
Первая глава посвящена исследованию широкого класса кратнокруговых областей голоморфности из пространства С (**5) типа (ТТ4) .
§1 носит вводный характер и содержит сводку результатов, необходимых для чтения диссертации. Здесь же приводится определение введенного И.И.Бавриным и Г.Н.Бакуниным [13] класса (т+п.-!)-круговых (т>,2 , ^>2) областей X) типа (ТТ4) и указываются некоторые их свойства.
В §2 выводятся дифференциальные соотношения для ( предполагаемых непрерывно дифференцируемыми ) функций, параметризующих области типа (ТТ^ . Они представляют собой систему т+п-Л равенств и Ш+»г-2_ неравенств.
В §3 для случая , найденные в §2 соотношения
приводятся к более удобному для применений виду. В этом же параг-
- 9 -
рафе проиллюстрирована их выполнимость на примере нескольких конкретных областей из пространства £3 .
В §4 показано, что найденные в §2 дифференциальные соотношения помогают решать задачу перехода от явного задания области к ее параметрическому заданию. Здесь же на конкретных примерах области 2). : { ],
где - положительные числа, и области
{(-Мгоіі +... + і-Лгі£-|)ех|> (+ ... + ,
где А*, £>*,.*•* - положительные числа, разобрано реше-
ние названной задачи, а затем, на примере £)0 , и решение обратной задачи.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию поведения вне поликруга ( с упором на вскрытие квазианалитических свойств) класса функций К- ( И>& ) комплексных переменных, определяемых интегралом
«Л—і- (аг(
ft.--o-pb.-4 ’
где Г - остов поликруга, и«.= Ъ'*2,,+ (1-^)2° , К=1,...,И.
В §5 вводится со всеми необходимыми пояснениями интег-
/V
рал Р(*) и его частный случай - интеграл РрС2*) ( соответствующий ситуации, когда все , кроме ^ , равны нулю, } - фиксировано ), устанавливаются теоремы 5.1 и 5.2 об областях голоморфности этих интегралов. Здесь же приводится сводка основных положений развиваемого А.В.Нелаевым метода линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами, а также дан вывод формулы перехода от кратного интегрирования к повторному для ин-
Р(
- 10 -
теграла Ру(ъ) в области 12*1*1; Ыг..,п ; К4$].
В §6 названным методом устанавливаются обобщенная произ-водная интеграла в области Еу - найден конкретный диффе-
ренциальный оператор 5)^ , действие которым на Гу(*2) в Еу равносильно дифференцированию по его ядра.
§7 посвящен решению вопроса о разложении интеграла Ру(&) в обобщенный степенной ряд. При этом применяется другой предложенный А.В.Нелаевым ( см., напр., [48]) метод исследования комплексных интегралов - метод мажорирующей плотности.
В §8 рассмотрен важный частный случай интеграла гуИ -интеграл типа Коши-Баврина , соответствующий ситуации, когда
плотность ¥ имеет вид
Установлена формула (8.2) дифференциальной связи интеграла ру(&) с соответствующим ( т.е. имеющим плотностью ) интег-
ралом типа Коши для поликруга. На основе этой формулы заключаем, что в области Еу для Е»(я) выполняется обобщенное уравнение Коши-Римана (8.8):
№) * £(2,-«)^Ь ~%}Ш
3 2,
-О
Третья глава диссертации посвящена, в основном, постановке и решению краевых задач линейного сопряжения в пространстве С* ( §§9-10 ) и в пространстве ( §§11-12 ).
В §9 продолжена разработка математического аппарата интегралов типа Темлякова-Баврина $.-го ( ) порядка. В случае,
когда определяющая область 2) есть область типа .А ,
£)*К*1,Ъ.)€Са: ,
рассматривается интеграл
- 11 -
с о о '^1=1
где и.=о1г14-сл^...е,2де1*.
Голоморфный в областях Ъ и £*= саг4|- с,|2») > 1} ,
этот интеграл имеет нарушение непрерывности в точках окружности особенностей {(г^е с1: )2,=о, 1^1=1}, по которой области 2)
и Е* сопрягаются. Изучен характер поведения предельных значений интеграла (ч(**.,^а) в точках В4 и установлен факт обращения в нуль этого интеграла на множестве бесконечно удаленных точек. Введено понятие класса функций (*Т*) , к которому, в частности, относятся И функции, определяемые интегралом Ра(2л.£д^ .
В §10 рассмотрена следующая задача линейного сопряжения: Пусть в пространстве (С1 задана область 5) типа Л . Требуется найти функцию $2*,^ класса (Т‘) , исчезающую на множестве бесконечно удаленных точек и удовлетворяющую в точках окружности особенностей краевому условию (10.1):
где | и { ■ есть предельные значения функции $ на В* из об-
ластей Ъ и Б* , а заданные на В*, функции 6^) и $6^ удовлетворяют условию Гельдера, причем &(*[?) ФО . Сначала рассмотрен случай однородной задачи ( д(*1±) = 0 ), затем - неоднородной.
В обоих случаях решение находится в виде интеграла , плот-
ность которого определяется указанным способом.
Отметим, что для случая аналогичная неоднородная
задача была ранее рассмотрена Г.Л.Луканкиным [30], а однородная -его ученицей И.Н.Виноградовой [18].
- 12 -
В §§ 11 и 12 в качестве области 2) рассматривается область типа $ в пространстве С**’ ( ), т.е. область вида
Т)г {К С: сЛяД* >о ,}*1у..,к] .
Один из частных случаев введенных в работе А.В.Нелаева [35] интегралов типа Темлякова-Баврина - интеграл типа Темлякова -Баврина I рода первого порядка имеет в случае этой области вид
И тг»9"
о о о 1^1*4
где иле*** + с*£ ^ Ф - непрерывная функция, удов-
летворяющая по <2 условию Гельдера, независимому от 0*,.
Интеграл Рй(ъ) голоморфен [35] в областях X) и
£*= {хе С" • <Ч|2,1 -012»! - .. . -0К|2И| >4.] .
Сопряжение областей 2) и Е* происходит по расположенной в первой
координатной плоскости окружности особенностей
Ь,.^2в <г.к: 21=% ,2*=0,...,2к=о,1^1=4.] , в которой непрерывность интеграла Рц(ъ) нарушается. В §11 продолжена разработка математического аппарата интеграла Р4л.(^) , на основе которого введен класс функций (7^) , к которому, в частности, относятся и функции, определяемые интегралом РцС^) , а в §12 рассмотрена следующая задача линейного сопряжения: Требуется найти функцию $Ы) класса (Т±) , голоморфную в областях 2) и Е*. , удовлетворяющую в точках 0% краевому условию
_ % (%>°>- >°) - G('ъ) 4 8(ь) <
где | и | есть предельные значения из областей 2) и Е* соответственно, а - известные функции, заданные и удов-
летворяющие условию Гельдера на , причем 66]*) ^ О.
Решение поставленной задачи найдено в классе функций,
- Київ+380960830922