Оглавление
1 Введение 4
1.1 5
1.2 . Ю
1.3 16
2 Спектральные модели и модельные уравнения. 18
2.1 Параболическая точка поворота............................ 18
2.2 Гиперболическая пара точек поворота ..................... 21
2.3 Эллиптическая пара точек поворота ....................... 23
3 Параболическая точка поворота и гиперболическая пара 26
3.1 Общий вид оператора Т.................................... 26
3.2 Параболическая точка поворота............................. 33
3.3 Гиперболическая пара точек поворота ......................39
4 Эллиптическая пара и условия квантования 51
4.1 Мультипликативная итерационная процедура для постро-
ения оператора Т .........................................52
4.2 Построение старших порядков оператора Т...................62
2
4.3 Обоснование мультипликативной рекуррентной процедуры 75
4.4 Сравнение результатов.......................................82
4.5 Условия квантования.........................................86
3
Глава 1
Введение
Адиабатические системы, описываемаемые уравнениями
ъ£ ^-АЦ)у, £-*0, £>0, (1.1)
в банаховом пространстве Х,у € Д', < € Д = (а, ,#) - интервал оси К, давно стали объектом интереса специалистов в области математической физики, достаточно упомянуть работы [1-4], [9-12]. Уравнения такого типа рассматривались как в рамках асимптотической теории дифференциальных уравнений, так и с точки зрения квантовой адиабатической теоремы. Однако наиболее продуктивным оказывается метод, комбинирующий приемы, характерные для обоих указанных подходов. Изучение таких уравнений представляется целесообразным, тк как позволяет получить универсальные результаты для широкого класса задач, допускающих представление (1.1).
4
1.1
Хорошо известно, что асимптотическое поведение решений уравнения (1.1) определяется структурой спектра оператора A(t). Ситуация, когда спектр оператора A(t) состоит из изолированных собственных значений и они сохраняют кратность на всем промежутке Д хорошо известна и исчерпывающе изучена, этот результат приведен, например, в работе [9).
Ю.Далецкий и М.Крейн [9], [25], С. Крейн [11], рассматривали уравнение (1.1) предполагая, что спектр оператора A(t) распадается на непере-секаютциеся при всех t спектральные множества. Целью указанных работ было исследование задачи Коши для уравнения (1.1). Искомый результат достигался реализацией процедуры асимптотического расщепления уравнения в соответствии с расщеплением спектра на непересекающиеся спектральные множества. При этом решался вопрос о построении гладких операторов, осуществляющих эволюцию прямого разложения пространства. Теорема существования такого оператора при условии дифференцируемости спектрального проектора P(t) была строго доказана в работе [25]. Уравнения типа (1.1) исследовались и в других работах, выполненных в рамках квантовой адиабатической теоремы, например, в работе Мартинеса и Ненчу |10], Аврона, Зейлера и Яффе [15], в частности, в связи с исследованием квантового эффекта Холла. Приемы, используемые в указанных работах, не предусматривают выявления зависимости асимптотики решений от внутренней структуры выделенных спектральных множеств.
В работах B.C. Буслаева, Л.А.Дмитриевой [5], [6], В.С.Вуслаева, А.Гриджиса [1], [2], системы типа (1.1) возникают в связи с изучением адиабатически
5
возмущенных периодических уравнений и рассматриваются с точки зрения асимптотической теории дифференциальных уравнений. При этом естественным образом возникает понятие точки поворота [3|5 как точки, в которой совпадают два собственных значения оператора A(t). Определяя таким образом точку поворота, мы обобщаем соответствующее понятие асимптотической теории дифференциальных уравнений, см. например [7), [12]. Вопросы, связанные с построением асимптотики решений ди-ференциальных уравнений на интервалах, содержащих точки поворота, были предметом многочисленных исследований. Достаточно упомянуть фундаментальные работы М.Федорюка [12], Олвера [18]. Вазова [7]. Равномерные асимптотики для случая простой точки поворота описаны в работе М.Федорюка [12]. Исчерпывающее описание случая двойной точки поворота можно найти в работе B.C. Булдырева и С.Ю. Славянова [8J.
Если точка поворота на интервале Д разделяет интервалы вещественных и комплексных собственных значений, причем локальное поведение собственных значений к\ — к0 + к, к2 = ко — к в окрестности точки t\ можно описать уравнением
к2 = c*i (t - ti), Oi ф- 0, qj 6 R,
то, следуя работе B.C.Буслаева и А.Гриджиса [1], такую точку можно назвать параболической точкой поворота. Две параболические точки поворота, между которыми находится интервал комплексных собственных значений, образуют двойную точку поворота, которую, также следуя вышеупомянутой работе, будем называть гиперболической парой. Если две параболические точки поворота близки, локальное поведение собствен-
6
ных значений может быть описано уравнением
к2 = а? [(* - *о)2 - V?], «і Ф 0, «і є R, [і > 0.
Если две параболические точки поворота ограничивают интервал вещественных собственных значений, то будем говорить, что они составляют эллиптическую пару. Локальное поведение собственных значений в этом случае допускает описание
к2 = о2 [/*2 - (і - і0)2] > ссі ф О, а\ Є R, // > 0.
Асимптотическое поведение решений уравнения (1.1) определяется не только поведением собственных значений оператора A(t), образующих выделенное спектральное множество <7о(0> НО и его спектральной моделью на выделенном инвариантном подпространстве XQ, отвечающем o0(t). Спектральной моделью оператора A(t) будем называть оператор M(t) : С2 -> С2, если существует обратимый гладкий оператор W, такой что A(t)W(t) = W(t) ^~tr Ao(t)I + M(t)J. Классификация таких моделей изучалась в работах [19] - [21], но в действительности является частью классификации матриц-функций в духе В.И. Арнольда, см [22].
В работах [3], [4] получены локапьные асимптотики для случая параболической точки поворота для адиабитически возмущенного уравнения Шредингера с периодическим потенциалом, асимптотические решения имеющие равномерный характер, построены для указанного случая в работах |1], [2]. Локальный подход для случая гиперболической пары точек поворота предложен в работах [4], [5], и наконец, приемы, позволяющие получить равномерные асимптотические разложения для указанного случая описаны в работе [1]. Наиболее интересной для нас из
7
- Київ+380960830922