Введение
Lp-комплексом де Рама на многообразии М называется коцепной комплекс дифференциальных форм, модуль которых интегрируем в p-той степени
... _ V-\M) L'p{M) .
с плотно определенным дифференциалом dk, который является замыканием оператора внешнего дифференцирования, заданного на множестве гладких форм из пространства Lp(M). Пространством fc-мерных L р - когомологий многообразия М называется фактор-пространство ker dk / \mdk~l.
Как известно, пространство гармонических форм на компактном римановом многообразии изоморфно пространству обычных когомологий этого многообразия. Активное изучение /^-комплекса началось, когда были установлены аналоги разложения Ходжа в пространстве L2(M) форм, интегрируемых с квадратом [1,2]. Таким схЗра-зом возник гомологический подход К Х2-комплексу.
Атья предложил использовать для описания гармонических Т2-форм вместо обычных когомологий L2-когомологии [3]. L2-когомологии, в частности, так называемые L2-числа Бетти, введенные в [3], оказались весьма полезным инструментом для изучения некомпактных римановых многообразий или римановых многообразий с особенностями. Чигер в [4] установил, что /^-когомологии компактного риманова псевдомногообразия совпадают с когомологиями Горески — Макферсона. Исключительно успешным для теории характеристических классов оказалось применение Сулливаном и Телеманом Lo-методов к липшицевым римановым многообразиям [5].
В дальнейшем выяснилось, что Lp-комплекс обладает многими свойствами L2-комплекса. Zp-когомологии римановых многообразий изучаются в работах таких авторов, как М. Громов, П. Пансю. [6,7]. В России этими исследованиями занялись в 80-х гг. В. М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов и И. А. Шведов [8,9], эти исследования успешно продолжаются по сей день.
Lp-когомологии компактного многообразия совпадают с обычными когомологиями де Рама, и следовательно, с его сингулярными когомологиями [8]. Поэтому при изучении Lp-когомологий некомпактных многообразий возникают естественные вопросы: в какой мере эти когомологии функториальны?
Основным инструментом вычисления обычных когомологий произведения многообразий является формула Кюннета. При изучении свойств римановых многообразий, достаточных для выполнения Lp-формул аналогичного вида оказалось удобным обобщить ситуацию, рассматривая, с одной стороны, ’’весовые” Lp-когомологии, а, с другой стороны, не только прямые произведения, но и искривленные произведения.
Искривленным произведением римановых многообразий X и Y с искривляющей функцией / : X —> R+ называется многообразие А' х У, наделенное римановой метрикой d(x,y)2 = dx2 + f(x)2dy2. Искривленные произведения возникают при описании особенностей римановых многообразий типа ’’каспов” или конусов. Такие особенности имеют, например, алгебраические псевдомногообразия или фактор-пространства гладких многообразий по не свободно действующей группе [10]. С другой стороны,
Typeset by Ид^5-Т{гХ
1
многие популярные пространства естественно задаются в виде искривленного произведения. Например, риманову структуру пространства Лобачевского Н* на бесконечности описывает искривленный цилиндр [0,ос[х/5Дг”1, где /(х) = ех.
Условия, при которых для искривленных произведений выполняются формулы вида формул Кюннета, начали изучаться в работах [11,12,13'.
Топологию пространств Ьр-когомологий отражают свойства соответствующего оператора. внешнего дифференцирования (1р. Например, нормальная разрешимость оператора с1Р равносильна отделимости соответствующих Ьр-когомологий. Таким образом оказалось весьма полезным изучение условий, при которых оператор внешнего дифференцирования является нормально или компактно разрешимым (см. уже упомянутую работу Нигера [4]). При некоторых предположениях спектр оператора Лапласа У = (1*с1 4- Ав* дискретен тогда и только тогда, когда соответствующий оператор сI. компактно разрешим [14], см. также [15].
На компактном многообразии оператор внешнего дифференцирования является компактно разрешимым. Последовательность работ В. М. Гольдштейна, В. И. Кузьми-нова и И. А. Шведова посвящена выяснению условий, при которых оператор с! является нормально или компактно разрешимым.
В большинстве методов, развитых при изучении ./^-комплексов, оказалась существенной взаимная сопряженность пространств Ьр и Ьд при р~х + (Г1 = 1, которая имеет место только при 1 < р < сю. Поэтому важный случай р = 1,оо изучен относительно мало. Кроме того, как правило, существенно используется гладкость соответствующих римановых многообразий.
В диссертации удалось разработать методы, позволяющие в ряде случаев отказаться от требования гладкости, а также ”не выпускающие” случай р = 1,оо.
Диссертация состоит из двух глав. Нумерация формул, лемм и теорем в каждой главе независимая.
В первой главе диссертации изучаются Ьр когомологии искривленного произведения римановых липшицевых многообразий. Доказывается формула Кюннета для Ьр когомологий искривленного произведения липшицевых римановых многообразий X и У при р Е [1,оо] в случае, если многообразие У компактно или если его комплекс Де Рама расщепляем, т.е подпространства пп с? и кет И. дополняемы в Т,р.
Первая глава состоит из четырех параграфов. В первом, вводном параграфе на липшицевом многообразии вводятся понятия дифференциальной формы и римано-вой структуры. Затем для банахова пространства Е, весовой функции рм : М —> Е+ на многообразии М и числа р £ [1, оо] определяются банаховы пространства ЬР(М, рм\Е) £-злачных измеримых дифференциальных форм, модуль которых интегрируем на М в р-той степени с весом рм- Если Е = Е, то пишем просто Ьр(М, рм). Вводится также понятие *-слабо измеримой формы со значениями в пространстве Е, сопряженном к некоторому банахову пространству Г и соответствующие пространства *-Ьр(М,рм;Е). Такие "*-слабыс'' пространства в дальнейшем рассматриваются для Е = Ь00= (£1)*.
Во втором параграфе определяется искривленное произведение липшицевых римановых многообразий X и У с искривляющей функцией / : X —> Ял . После этого
2
строится отображение
r:Lkp(XxfY,fixpy)^ ® 1‘р(Х,Рх^-*;Ц(У,ру)),
i+j=k
которое обобщает преобразование Фубини (Foj(x))(y) := и;(.-с, у) для интегрируемых функций. Доказывается (теорема 1), что это отображение является линейным топологическим изоморфизмом банаховых пространств. При р = оо это отображение осуществляет изоморфизм пространства Ьк00(Х ху К рхру) и *-слабого пространства
0,+j=t '-L'x(X,Pxf-’-.LUY-pY))-
В третьем параграфе определяется понятие банахова комплекса, обобщающее понятие комплекса дифференциальных форм. Банаховым комплексом £ называется последовательность £ = (Е3, (1}г | j € Z) банаховых пространств Е* и замкнутых линейных операторов (дифференциалов) dy : Е] —* В?*1 с областью оп}>еделения Г; С Е3 таких, что im dy С kertff для каждого j € Z. Полагаем Z3{£) kerc/f — пространство циклов: В3(£) := im dp-1 — пространство границ. Фактор-пространство Hj(£) := Z3(£)/B3(£) называется (у-мерными) гомологиями банахова комплекса £.
Для двух банаховых комплексов определяются понятия отображения и морфизма банаховых комплексов. Именно, отображением Т : £\ £2 степени / € Z банаховых ком-
плексов называется семейство непрерывных отображений Т — (Т; : Е\ —» Еl2+l | i € Z). Если отображение Т переводит пространство Fi в Гг и коммутирует с дифференциалами. то оно называется морфизмом.
Лемма 3.1. Пусть £\ и £2 — банаховы комплексы, 5 и Т — отображения из £\ в £2 степени —1 Л 0 соответственно, причем ЭТИ отображения переводят Г} В Г-2 и для любого ы € Г1 выполнена формула гомотопии
Ты = + dr25u>.
Тогда отображение Т является морфизмом банаховых комплексов и индуцирует нулевое отображение гомологий НТ : Н(£ 1) —*• Н{£2).
Далее вводится понятие расщепляемости банахова, комплекса. Банахов комплекс £ = (Е],dy | j 6 Z) называется расщепляемым, если для каждого j & Z пространство циклов ZJ(£) и пространство границ В3(£) дополняемы в пространстве Е3. Устанавливается (лемма 3.2), что в случае расщепляемости банахова комплекса £ существую!' морфизм Р : £ —* £ степени 0, являющийся проектором и отображение 5 : £ —> £ степени -1 такие, что для любого ы € Г* выполнена соответствующая формула гомотопии. В этом случае пространство W := Р{£3) гомеоморфно пространству Н3(£) и банахов комплекс £ гомотопически эквивалентен своему подкомплексу Н, который рассматривается как банахов комплекс с всюду определенным нулевым дифференциалом.
После этого для липшицева. риманова многообразия X, 'тела р и последовательности весовых функций (ту : М —> R±. | j € Z) для любого банахова комплекса £ определяется комплекс Ьр(£) = (Z*(£),c/£) дифференциальных форм со значениями в банаховом комплексе £:
3
Lk(£) = 0 ЩХ,ту,&),
i+j-k
a дифференциал определяется следующим условием:
J du A w + ( — 1)° J a A с/ри; = (—l)mc/r J ex Аы для каждой пробной формы а.
X X X
Доказывается (лемма 3.3), что Ьр(£) является банаховым комплексом.
В лемме 3.4 доказывается, что если Н — банахов комплекс с всюду определенным
нулевым дифференциалом, то «-мерные гомологии банахова комплекса (Lp(H),dfi)
изоморфны пространству ф Hlp(X. Tj: W).
i+j—k
В леммах 3.5 и 3.6 устанавливаются свойства "функториальности” соответствия £ Ьр(£). Именно, каждому непрерывному отображению Т : £х —> £2 степени /
/ч /ч
сопоставляется отображение Т : Lp(£i) —» Lp(£.2) той же степени. Устанавливается, что отображение Т является непрерывным тогда и только тогда, когда для каждого j € Z функция Tj.yi/T} ограничена на X. Доказывается, что если Т — морфизм степени О, то Г — также морфизм.
В лемме 3.7 доказывается, что если для операторов Р и 5, отображающих £\ в £2.
''V /ч /ч /ч
выполнена формула гомотопии, то для операторов Р и S : L;,(£] ) —» Ьр{£2) также выполнена формулы гомотопии.
Главный результат третьего параграфа —
Теорема 2. Пусть X — тшшицево риманово многообразие, р £ [1, ос], г} — последовательность весов на X такая, что для каждого j £ Ъ функции rj-y/Tj ограничены и £ — (E’,d3v) — расщепляемый банахов комплекс. Тогда имеет место топологический изоморфизм
нк(ХР(£)) = 0 н;(х,т];нц£)).
i+j—k
В конце третьего параграфа вводится понятие банахова комплекса £, сопряжен-
л
ного к некоторому банахову комплексу Т. Определяется *-слабый комплекс *-Lp(£). Перенесение на ^-слабый случай техники, развитой перед этим, позволяет доказать *-слабый аналог теоремы 2:
Теорема 2*. Пусть X — лиишицево риманово многообразие, р £ [1, со], ту — последовательность весов на X такая, что для каждого j € Z функции ту_1 /т; ограничены il Т = (F},dJr) — гомотопически расщепляемый банахов комплекс. Тогда для всякого сопряженного банахова комплекса £ имеет место топологический изоморфизм
Hk(*-Lp(£))* 0 Я*(*-Хр(Х,г};Я^))).
i+j=k
Четвертый параграф посвящен доказательству формулы Кюннета для -когомологий искривленного произведения римановых липшицевых многообразий.
4
Пусть X и У — многообразия, р € [1,оо]; р, / : X —► о : К —► Е+ — положи-
тельные непрерывные функции.
Для каждого гу € [1,оо] определен банахов комплекс ЬР(У) = (Ц(У,сг),(1\у | / Є Ъ),
где \УЧ = (\¥*(У,<т) | г Є г).
В лемме 4.1 доказывается, что топологический изоморфизм, установленный во втором параграфе
Гк:Ьк„(Х х/У,р<т) £г 0 "';£'(*>))
*+>=*
является изоморфизмом банаховых комплексов:
В качестве следствия леммы 4.1 и теоремы 2 получается
Теорема 3. Пусть X и У — липшицевы рималовы многообразия, р и / : X —» К+1 <7 : У' -+ Е+ — измеримые локально ограниченные функции такие, что обратные к ним величины 1/р, 1/сг и 1// также локально ограничены. Тогда если функция { ограничена и банахов комплекс Ьр{У) расщепляем, то имеет место линейный топологический изоморфизм
В случае р = оо доказываются соответствующие *-слабые соотношения.
В оставшейся части параграфа предполагается, что многообразие У компактно.
В этом случае при р\ < р2 формы из пространства ЬР2(У) лежат в пространстве
ып-
Лемма 4.2. Пусть функция / ограничена и I < рі < />2 < оо. Тогда отображе-нпе банаховых комплексов іР2>Рі, соответствующее вложению ір2іРі комплекса Ьр2(У)
хч.
в банахов комплекс ЬРх(У), индуцирует изоморфизм гомологий: Н(Ьр(ТР2(У))) ~
Я(2Р(1Р1(У))).
Эта лемма доказывается применением оператора регуляризации де Рама И : 1- і (У) —» £оо(У); который, в силу формул гомотопип
у - і о Пкы = ^Г1 _4*о> + А^Ч^ш,
индуцирует в когомологиях отображение, обратное отображению гР2>Рх.
Таким образом, при 1 < р < ос все банаховы комплексы ЬЧ{У) оказываются гомотопически эквивалентными, в частности, все они гомотопически эквивалентны рас-щепляемому комплексу Ь-ііУ). Следовательно, банаховы комплексы 1Р(ЬЯ(У)) также гомотопически эквивалентны друг другу при различных <?. Переходя к их гомологиям, получаем последовательность линейных гомеоморфизмов
5
- Київ+380960830922