О Г Л А В Л Е Н И Е
ВВЕДЕНИЕ..................................................... 3
§1. Предварительные сведения и основные определения.......... 15
д'2. Изоморфизм некоторых пространств гомологий и когомологий на римановом многообразии .............: 24
§3. Конструктивное доказательство теоремі Рунге..............31
§4. Конструктивное доказательство теоремы Гартогса- Розенталя 45
§5. Теорема Рунге для гармонических дифференциальных форм на риманопом многообразии.....................................59
§6. Теорема Гартогса - Розенталя для гармонических дифференциальных форм на римановом многообразии..................... 64
§7. Теорема о трех сферах для гармонических форм в ськлидоьом пространстве.............................................. 72
ЛИТЕРАТУРА................................................... 82
ВВЕДЕНИЕ
0.1. Диссертация посвящена изучению аппроксимационных свойств гармонических дифференциальных форм в евклидовом пространстве и на вещественном римановом многообразии. Дифференциальная форма ш класса С00 называется гармонической, если она замкнута и козамк-нута, т.е.
с1и? = 0, 8ш = 0. (0.1)
Через (1 мы обозначаем оператор внешнего дифференцирования, а через 5 оператор кодифференцирования; 8 - формально сопряженный с с1'-оператор в пространстве квадратично суммируемых форм. Теория гармонических дифференциальных форм на римановых многообразиях, созданная Ходжем, Г.Вейлем, Кодаирой и Де Рамом к середине 20-го века (см.[Но,\У,К,Р]), играет заметную роль в теории гладких многообразий, алгебраической топологии, задачах математической физики и т.д.
0.2. Мы подходим к исследованию гармонических дифференциальных форм следующим образом. Пусть - 1-форма, заданная в открытом подмножестве X пространства К", и = /^х1 4- .../п<йг". Тогда для формы ы система (0.1) принимает вид:
зМё-15 *<'*"■ й+-+ё=0- (0-2)
При п = 2 гармоничность дифференциальной формы и» равносильна аналитичности функции /\ - г/г в открытом множестве X С К.2 = С.
В общем случае система (0.2) известна как обобщенная система Коши-Римана; некоторые свойства ее решений изучались, например, в [С,ЛР]. Локально решение (/»,..., /п) системы (0.2) совпадает с градиентом гармонической функции. Вопросы приближения градиентами гармонических функций рассматривались в работах [II,бЬ]. Изучению аппроксимационных свойств гармонических дифференциальных форм степени 1 (т.е. гармонических векторных полей) посвящена работа [С'Х].
В работах [КИР.ПХ] изучались вопросы приближения гармонически-1 ' ми формами (произвольной степени) в евклидовом пространстве, которые рассматривались как обобщения аналитических функций одного комплексного переменного. Считается, что в евклидовом пространстве
3
задана ориентация, но не фиксирован базис. После выбора согласованного с ориентацией базиса пространство Е отождествляется с пространством ИЛ В первой части данной диссертации приведены конструктивные доказательства результатов работы [ИХ]. В 0.3-0.5 мы введем необходимые обозначения и сформулируем доказатше в [ПХ] теоремы.
0.3. Первый результат, на котором мы остановимся, - аналог классической теоремы Рунге о приближении аналитических функций рациональными. Здесь речь идет о приближении дифференциальных форм степени г, 1<г<л — 1, гармонических в окрестности компактного подмножества л-мерного евклидова пространства Е (п > 3). Роль рациональных функций играют определяемые ниже формы Био-Савара и Кулона.
Для определения форм Био-Савара и Кулона необходимо ввести некоторые понятия. В диссертации, как и в работе [ПХ] используется терминология книги Де Рама [Р]. Потоком называется непрерывный линейный функционал на пространстве форм класса Со° (пробных форм). В частности, любой форме ф степени г с. коэффициентами из соответствует поток, действующий на пробные формы степени п - г и обозначаемый
тА<р\ = 1еФА!р- (0.3)
Пусть ф - форма класса Сд0. Ньютоновским потенциалом формы ф называется форма
'Ыф(х) = ~1В ^Ш-2с1т(у) (0.4)
(где сп = (п - 2)НП_1(5П_1), 'Нп~1 - п — 1-мерная мера Хаусдорфа, 5П-1 - единичная сфера в 11”, а га - п-мерная мера Лебега). Форма 1Лф также имеет коэффициенты класса Стс, но уже, вобще говоря, не компактный носитель. Определение ньютоновского потенциала, так же как и операторов (I и 5, естественны?.! образом переносится на потоки. Пусть Т - поток с компактным носителем, тогда ЫТ - поток, действующий на пробные формы по правилу:
ЫТ[ф] = Т[Ыф). (0.5)
Каждому конечному г-мерному циклу 7 соответствует поток с компактным носителем. Он определен на пробных формах степени г ра-
4
1%
венством
7 [ф] = J ф
(0.6)
и обращается в нуль на формах других степеней. Рассмотрим поток
Вне носителя 7 он совпадает с гладкой гармонической формой, которую называют формой Био-Савара. (Слово ’’гладкий” всюду в работе означает класса С°°.) Степень формы Био-Савара, соответствующей г-циклу., равна (п — г - 1). „ В качестве примера рассмотрим 1-форму Био-Савара в трехмерном пространстве. Предположим, что задана параметризация 1-цикла в Л3, 7:[0,1] -> Л3, 7(0) = 7(0, |У(*)| = 1 на [0,/]. Тогда вне множества 7'([0,/]) форма Био-Савара определяется равенством:
Каждому конечному г-циклу 7 в Е соответствует также форма Кулона, обозначаемая СоиГ. Это гармоническая вне носителя 7 форма степени т -f 1. Прежде чем определять формы Кулона в n-мерном пространстве, отметим, что в трехмерном пространстве 1-формы Кулона отвечают 0-циклам, т.е. просто точкам, и имеют очень простой вид. Если а £ R3, то
Вернемся к пространству Л/1. На дифференциальных формах в К" определен оператор Ходжа *, переводящий формы степени г в формы степени п - г. Он линеен и коммутирует с умножением на функции. Если а = {аі,...,ау), 1 < оті < ... < «V < п, а /? = (,0ь ...,/3„_г) -дополнительный к а набор целых чисел, расположенных между 1 и п, рі < ... < /Зп, то
где 7г(а-,/3) - четность перестановки (07,...,агг,/?!,...,/?п_г). Нетрудно проверить, что определение оператора * зависит только от ориентации пространства, но не зависит от выбора ориентирующего базиса. Как
BS^ = SU 7.
(0.7)
(0.9)
* dx° = *{dx°- Л ... A dxa') = {-îyWdxP, ’ (0.10)' '
5
обычно, определение оператора переносится с форм на потоки. Теперь мы можем определить ПОТОК
СоиГ = (0.11)
Вне носителя 7 он совпадает с гладкой гармонической формой, которая и называется формой Кулона, соответствующей циклу 7.
Формы Био-Савара и Кулона называются элементарными гармоническими формами. Говорят также, что 7 - множество особенностей форм ВБ7 и СонР.
0.4. В работе [ПХ] доказаны следующие варианты теоремы Рунге для гармонических дифференциальных форм.
Теорема А. Пусть К - компактное подмножество евклидова пространства Е. Множество элементарных гармонических форм с особенностями в Е \ К плотно в пространстве форм, гармонических в окрестности К (в топологии равномерной сходшлости па К).
В случае, когда К - гладкое п-мерное компактное подмногообразие с краем в Е (что можно предполагать, не теряя общности, т.к. приближаемая форма гармонична в некоторой окрестности исходного множества К), пространства компактных сингулярных гомологий Е \ К конечномерны, и Теорема А допускает более точную формулировку. Пусть 71,...,7лг и Гь...,Глг - базисы пространств (п — г — 1)-мерных и (г — 1)-мерных компактных сингулярных гомологий Е\К, О - открытое подмножество Е\К, пересекающееся с каждой компонентой связности
Е\К.
Теорема В. Любую гармоническую вблизи К г-форму можно равномерно на К приблизить линейными комбинациями форм Кулона., соответствующих циклам Г1,...,Глг, форм Био-Савара, соответствующих циклам 7ь...,7л/, и элементарных гармонических форм с особенностями, расположенными и гомологичными нулю в О. При этом можно считать, что всё элементарные формы с особенностями в О суть формы Био-Савара (или что все они суть формы Кулона.
Отметим, что другой вариант теоремы Рунге доказан в работе [ДП]. Там гармоническая в окрестности К форма приближается линейной комбинацией форм Кулона и Био-Савара, отвечающих циклам Г1,..., Гдг
б
- Київ+380960830922