Содержание
Введение 3
1 Классы непрерывных вектор-функций 24
1.1 Определения и вспомогательные результаты...............24
1.2 Обобщения теоремы Банаха-Зарецкого.....................29
1.3 Дифференцирование функций .............................34
2 Обобщенные интегралы 43
2.1 Определения и вспомогательные результаты...............43
2.2 Интегралы Данжуа и вариационный........................50
2.3 О лемме Сакса-Хенстока.................................55
Список литературы 64
2
Введение
Эта работа посвящена проблемам теории интегрирования и дифференцирования банаховозначных функций, то есть функций, определенных на отрезке прямой и принимающих значения в некотором банаховом пространстве. В основном рассматриваются процессы интегрирования, обобщающие интеграл Лебега и его банаховозначный аналог — интеграл Бохнера.
На протяжении работы мы будем придерживаться следующих обозначений: Ж — множество всех действительных чисел, [а, Ь] или Д — отрезок действительной прямой, 0 — пустое множество, Р — замыкание множества Р, |Р| — мера Лебега множества Р, АР — множество {Ад:, д: е Р}, Р(Д) — приращение функции Р на отрезке Д, щ(Р, Р) — колебание функции Р на множестве Р, У^ Р — вариация функции Р на отрезке [а, 6], Хр — индикатор множества Р, X — банахово пространство, X* — сопряженное к X (пространство линейных непрерывных функционалов над Д), X** — второе сопряженное к X.
Необходимость обобщения интеграла Лебега возникла в связи с задачей объединения двух фундаментальных концепций интегрирования. Автором одной из этих концепций, соответствующей идее неопределенного интеграла как первообразной функции, является И. Ньютон. Согласно его определению функция / интегрируема (в смысле Ньютона) на отрезке [а, 6], если существует функция Р, имеющая всюду на [а, Ь) конечную производную, равную /. При этом функция Р называется первообразной или неопределенным интегралом функции /, а приращение Р на отрезке [а, Ъ] называется определенным интегралом функции / по отрезку [а, 6]. Определения такого характера, то есть основанные на дифференциальных свойствах неопределенного интеграла, будем называть дескриптивными. Г. Лейбниц предложил рассматривать определенный интеграл как предел приближающих его интегральных сумм. Впослед-
3
ВВЕДЕНИЕ
4
ствии идеи Г. Лейбница развил О. Коши, который построил теорию интегрирования для всех непрерывных функций (см. [8]). О. Коши вычислял определенный интеграл функции / как предел интегральных сумм £л=1 — Определения, основанные на приближении опре-
деленного интеграла конечными суммами, будем называть конструктивными.
Выяснилось, что в классе непрерывных функций определения Ньютона и Лейбница-Коши эквивалентны. Однако после того как Б. Риман распространил процесс интегрирования Лейбница-Коши на разрывные функции (см. [12]), стало ясно, что эта эквивалентность нарушается. Более того, оказалось, что интегралы Ньютона и Римана не покрывают друг друга. Другими словами, существуют функции, интегрируемые по Риману, но не имеющие первообразной в смысле Ньютона, и наоборот, функции, которые являются точными производными, но не интегрируемые по Риману. Последнее было установлено в работах В. Вольтерра и А. Лебега (см. [87] и [9]). В связи с этим возник вопрос, можно ли построить интеграл, включающий в себя интегралы Римана и Ныотоиа, и, таким образом, объединить конструктивную и дескриптивную теорию интеграла.
А. Лебег в своей диссертации (см. [9]) определил процесс интегрирования для измеримых функций как предел интегральных сумм
п
ф{х € [а, 6] : ук-1 ^ /(ж) < ук},
*=1
разбивая ось у вместо оси х. Этот интеграл, также определенный конструктивно, оказался существенно шире интеграла Римана. Тем не менее интеграл Лебега не решил задачу объединения интегралов Ньютона и Лейбница-Коши. Рассмотрим, например, функцию
х2 эш если х € (0,1],
X
О, если х = 0.
Легко заметить, что Е(х) дифференцируема всюду на отрезке [0,1]. Следовательно, ее производная Е'(х) интегрируема в смысле Ньютона. На любом отрезке [с,1], где е > 0, функция F(я) абсолютно непрерывна, и значит, является неопределенным интегралом Лебега от своей производной. Таким образом, если функция Е'(х) интегрируема по Лебегу, то ее
Р(х) =
ВВЕДЕНИЕ
5
неопределенный интеграл отличается от Р(х) на аддитивную постоянную. С другой стороны, Р(х) не является функцией ограниченной вариации. Поэтому функция, отличающаяся от F(#) на аддитивную постоянную, не может быть неопределенным интегралом Лебега какой-либо функции. Это означает, что F'(:r) не интегрируема по Лебегу.
Приведенный пример, в частности, показывает, что если существует процесс интегрирования, включающий в себя интегралы Ньютона и Лебега, то он должен быть ”неабсолютным”. Другими словами, необходимо отказаться от свойства функции быть интегрируемой тогда, и только тогда, когда ее модуль интегрируем, что справедливо для интеграла Лебега.
Начало развития теории ’’неабсолютных” интегралов, обобщающих интеграл Лебега, было положено А. Данжуа. В 1912 году в заметке [33] А. Данжуа, опираясь на идеи А. Гарнака (см. [52]), дал основанное на трансфинитном процессе конструктивное определение интеграла, назвав процесс интегрирования тотализацией. Не вдаваясь в подробности этого определения, упомянем, что интеграл Данжуа есть, по существу, несобственный интеграл Лебега, правда, переход к пределу осуществляется не один, а счетное число раз, что и приводит к трансфинитному процессу. Функция, приведенная выше, интегрируема по Данжуа, так как существует Иш£_>+о (Ь) £ Р'(х) дх, то есть она интегрируема по Лебегу в несобственном смысле, причем переход к пределу осуществляется один раз. А. Данжуа доказал (см. [34]), что любая точная производная интегрируема в смысле его определения, показав тем самым, что его интеграл включает в себя как интеграл Лебега, так и Ньютона.
Ознакомившись с заметкой А. Данжуа, Н. Н. Лузин дал дескриптивное определение интеграла Данжуа (см. [69]), взяв за основу следующее определение интеграла Лебега.
Определение 1. Функция / : [а,Ь] —> Е называется интегрируемой по Лебегу, если существует такая абсолютно непрерывная функция Е : [а,Ь] —*■ Е, что Л' = / почти всюду на [а, 6]. При этом функция Р называется неопределенным интегралом Лебега функции / на [а, 6], а приращение F(&) — F(a) — определенным интегралом Лебега функции / по отрезку [а, 6], который обозначается через (£) /(£) д±.
С одной стороны, это определение интеграла является более общим, чем определение Ньютона, так как оно содержит более слабые требования
ВВЕДЕНИЕ
6
на дифференциальные свойства неопределенного интеграла (его дифференцируемость и равенство F' = / предполагаются только почти всюду). С другой стороны, приведенное определение, в сравнении с интегралом Ньютона, включает более сильные требования на непрерывность неопределенного интеграла, предполагая его абсолютную непрерывность. Ясно, что при таких предположениях на дифференциальные свойства неопределенного интеграла, как в определении 1, необходимо рассматривать более узкий класс первообразных, чем непрерывные функции, для того чтобы сохранить свойство единственности неопредленного интеграла с точностью до аддитивной постоянной. Чтобы увидеть это, достаточно взять непрерывную сингулярную функцию, не равную константе. Однако условие абсолютной непрерывности первообразной все же можно ослабить, что и сделал Н. Н. Лузин, заменив его на обобщенную абсолютную непрерывность.
Определение 2. Сильной вариацией функции F : [а, Ь] —> Ш на множестве Е С [а,6], обозначаемой через V*(F,E), назовем точную верхнюю грань сумм где {К,^]}^=1 — семейство не-
перекрывающихся отрезков, имеющих непустое пересечение с Е. Если V*(F,E) < +оо, то функция F называется функцией ограниченной вариации в узком смысле (VВ*-функцией) на множестве Е.
Определение 3. Функция F : [а, Ь] —у R называется функцией обобщенной ограниченной вариации в узком смысле (VВG*-функцией) на множестве Е С [а, 6], если F непрерывна и Е представимо в виде счетного объединения множеств, на каждом из которых F является V/^-функцией.
Определение 4. Функция F : [а, 6] —> R называется абсолютно непрерывной в узком смысле (АС*-функцией) на множестве Е С [а, 6], если для любого е > 0 существует такое S > 0, что для любого набора неперекры-вающихся отрезков {[&ьМ}*=1> имеющих непустое пересечение с Е и удовлетворяющих условию — а&) < выполняется неравенство
n=i\nbk)-F(ak)\<e.
Определение 5. Функция F : [a, b] —> R называется обобщенно абсолютно непрерывной в узком смысле (ACG* -функцией) на множестве Е С [а,&], если F непрерывна и Е представимо в виде счетного объединения множеств, на каждом из которых F является Ж7*-функцией.
- Київ+380960830922