- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
1. ВВЕДЕНИЕ............................................... 3
2. ГЛАВА I. Исследование интегрального многообразия нелинейного интегро-дифференциального уравнения в бесконечномерном банаховом пространстве ................. II
3. § I. Приведение основного уравнения к системе специального вида....................................... II
4. § 2. Существование и некоторые свойства интегрального многообразия преобразованной системы ...... 24
5. ГЛАВА П. Исследование интегрального многообразия нелинейного интегро-дифференциального уравнения не разрешенного относительно производной ................... 36
6. § I. Приведение исходного уравнения к системе специального ввда . . . . 36
7. § 2. Существование и ‘некоторые свойства интегрального многообразия преобразованной системы ............... 46
8. ГЛАВА Ш. Исследование почти периодического решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения в бесконечномерном координатном гильбертовом пространстве .................................................. 57
9. § I. Приведение исходного уравнения к специальному виду..................................................... 57
10. § 2. Существование и некоторые свойства почти периодических решений преобразованных уравнений .... 62
11. ГЛАВА 1У. Исследование решения интегро-дифференциального уравнения с частными производными гиперболического типа методом усреднения академика Н.Н. Боголюбова............................................... 74
12. ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................ 82
13. ЛИТЕРАТУРА . ....................................... 83
- 3 -
ВВЕДЕНИЕ
При изучении многих прикладных задач часто приходим к рассмотрению интегро-дифференциальных уравнений.
Интегро-дифференциальные уравнения встречаются при изучении щелевых антенн /42, 43/, качки корабля на спокойной воде /46/, распространение вязкопластического течения с учетом упрочнения для случая сдвига /28/, в гидродинамической теории смазки, в теории автоматического регулирования /29/, в процессах сейсмостойкости сооружений /31/.
К исследованию интегро-дифференциальных уравнений приводятся, например, изучения явления последействия в твердом теле /49/, изучение процессов деформации реальных тел /32, 33, 34 /, механические, электромагнитные и тепловые процессы с учетом явления фактора времени, процесс распространения электромагнитных волн в среде с диэлектрической и магнитной вязкостью /35, 36, 37/, колебания физического маятника с полостью, заполненной вязкой жидкостью /16/.
Известно, что А.М. Ляпунов является одним из основоположников теории фирур равновесия однородной и слабо неоднородной вращающейся жидкости, частицы, которой взаимно притягиваются согласно закону всемирного притяжения. Ляпунов доказал существование фигур равновесия близких к элипсоццальным. Он выявил также существование близких к сфере фигур равновесия медленно вращающейся неоднородной жидкости в случае изменения ее полости с глубиной.
Эта теория А.М. Ляпунова получила глубокое развитие в работе /48/, где вся проблема фигур равновесия вращающейся в жидкости связана с теорией интегро-дифференциальных уравнений.
_ 4 -
К интегро-дифференциальным уравнениям приводятся задачи динамики вязкой упругости / 12 /, а также задачи ядерной физики / 8, 41, 47 / и многие другие задачи механики, физики, теории колебаний.
Вышеприведенные примеры задач, иэс связь с теорией интегро-дифференциальных уравнений позволяют утверждать, что изучение интегро-дифференциальных уравнений имеет важное теоретическое и практическое значение.
Этим прежде всего об"ясняется тот факт, что за последнее время появились многочисленные работы /6,7,8,12,15,16/, в которых исследуют существование, единственности, устойчивость и многие другие свойства решений интегро-дифференциальных уравнений. Обзор исследований интегро-дифференциальных уравнений дан в / 6,7,15,45/.
Сравнительно недавно, но весьма интенсивно, стал развиваться классический метод усреднения академика H.H. Боголюбова для интегро-дифференциальных уравнений / 12, 45/ и в настоящее время уже получен р>яд результатов как в направлении разработки алгоритма построения усредненных уравнений, так и в направлении установления различных теорем. Полученные алгоритмы уже находят эффективное применение в различных задачах механики сплошной среды, в частности, в теории вязко-упругих систем -/12 /, в теории колебаний тел, имеющих полости, заполнения жидкостью / 16 / и т.п.
На возможность исследования динамики вязко-упругих систем классическим методом усреднения академика H.H. Боголюбова указал A.A. Ильюшин / 12 /. Им же была показана принципиальная возможность сведения определенного класса таких задач к системам
•« Э м
интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром.
Приведем конкретную прикладную задачу, приводящуюся к ин~ тегро-дифференциальным уравнениям и ее решении с методом усреднения.
Колебание физического маятника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, описывается интегро-дифференциальным уравнением следующего вида / 16 /:
_ со2 (!- $СОЗсо-619-0, после введение в это уравнение новых переменных Й и / согласно формулам
0= ОС с^у4^5ІПу/
в - - 0-$Щ 4-іСвъу
и полученную систему усредняя по "р , получаем систему уравнений первого приближения
Нетрудно видеть, что для границы области неустойчивости получаем соотношение
_ сг-г)і,
6
Это уравнение гиперболы с ассимптомами е/г ^ С J Оно и характеризует смещение границы области неустойчивости и величину смещения в зависимости от вязкости жвдкости.
Идею интегрального многообразия выдвинул академик H.H. Боголюбов в своей монографии /I/. Он доказал при достаточно общих условиях классическую теорему о существовании и свойствах интегрального многообразия для уравнений
sczsXCt'^)-
Эта классическая теорема академика H.H. Боголюбова стала отправной точкой для дальнейшего развития метода интегральных многообразий. Этот классический метод интегральных многообразий академика H.H. Боголюбова является одним из новых и эффективных методов качественной теории дифференциальных уравнений.
Этот метод представляет собой некоторый новый подход в качественной теории дифференциальных уравнений. Качественное исследование решений системы значительно упрощается, если они лежат на многообразии меньшего числа измерений, чем исходное фазовое пространство. Особенно это относится к случаю устойчивых интегральных многообразий.
Интегральные многообразия позволяют также достаточно полно исследовать окрестности стационарных решений рассматриваемых уравнений в критических случаях.
Этот метод дает возможность строго обосновать так называемый одночастотный метод в нелинейной механике и значительно расширить область его применения.
- Київ+380960830922