Содержа не
Введение • -4
. 1. Состояние вопроса. Цели работы и ее содержание. 6
1.1 Численные методы решения нелинейных нестационарных задач деформирования элементов конструкций * 6
V - •'
1.20бзор результатов исследований деформирования и устойчивости стержней и оболочек вращения , : • 21
1 .ЗВыводы из обзора, цели и структура диссертационной работы 29
2. Конечно-элементная модель нестационарного упругопластического деформирования конструкций 34
2.1 Определяющая система уравнений. -34
2.2Методика численного решения и ее программная реализация 37
2.2.1 Восьмиузловые конечные элементы для решения трехмерных задач динамики сплошных сред и оболочек 42
2.2.2 Методы численного интегрирования 45
2.2.3 Применение квадратурных формул для повышения точности вычисления в зонах интенсивных локальных формоизменений 50
2.2.4 Интегрирование определяющей системы уравнений по времени 53
2.2.5 Численное моделирование контактного взаимодействия деформируемых тел. , 55
2.2.6 Алгоритм консервативного сглаживания численного решения 61
2.2.7 Программная реализация методики численного решения трехмерных задач динамики конструкций 63
3. Решение тестовых задач. Оценка эффективности разработанной методики. 66.
3.1 Поперечные колебания упругой балки 67
3.2Поперечный изгиб круглой упругой пластины . 69
3.3Продольный удар цилиндрического алюминиевого стержня о жесткую преграду 69
3.4Изгиб упругопластической балки под действием взрыва ВВ 70
3.5Динамический изгиб упругопластической круглой пластины, жестко 7 защемленной по контуру /г 71"
З.бДеформирование упругопластической цилиндрической панели, ^'нагруженной импульсом давления 72"~&"’"
•3.7Деформирование '‘цилиндрической оболочки с присоединенными ,7*7 массами на торцах при ударе по жесткой преграде. .. .73 -
Экспериментально-теоретическое * исследование ' деформирования ... "стержней, оболочек и тонкостенных конструкций 75
4.1Потеря устойчивости и закритическое поведение упругопластических цилиндрических оболочек при осевом сжатии 75 7'
4.2Потеря устойчивостиупругопластического деформирования и закритическое поведение стержней с различной формой поперечного — _ сечения при растяжении ,, :7Т’7 ■**’’’ • . ‘ *^80г
. . ...» ч
4;3 Конечно-элементный анализ ■ высокоскоростного удара о
преграду транспортного упаковочного комплекта для радиоактивных
7 материалов ". • 83'
4.3.1 Продольное соударение ТУК с жесткой преградой. • .? ~ 85
- 4.3.2 Боковое соударение ТУК с жесткой преградой 88
Заключение _ • -90
Слисок литературы • 7* 92
Приложение 113
Введение
■ л.- - • '! ■- '•
~ Т. ... .'V ч . •
• ....... . ' , . -«Г*. . • * . - • . . . . \ . ХЛ"
Появление и интенсивное. развитие вычислительных машин оказали
- • . . . V.* • •••• •
существенное влияние на характер и темпы развития методов решения задач "прочности. Наряду с повышением скорости и точности вычислений ... происходит постепенный отказ. от классических подходов составления расч^тньис схем, в которых несущие конструкции разделялись на балки, пластинки, оболочки,, анализ напряженно-деформированного состояния которых производился изолированно, простейшими методами строительной механики и сопротивления материалов. Интенсивное развитие получили численные методы, позволившие значительно расширить класс и постановку решаемых задач за счёт более полного учёта реальных форм исследуемых конструкций и- взаимного влияния входящих в них элементов, условий ■■'нагружения и свойств используемых материалов. При решении задач, связанных с деформированием элементов конструкций и деталей машин проведение натурных испытаний часто вызывает значительные трудности и большие материальные затраты. В тех случаях, когда натурный эксперимент трудно осуществим, а ^ применение аналитических методов ограничено рамками грубой идеализации, численное моделирование становится практически единственным инструментом исследования.
Оболочки, пластины, ; стержни, являясь основными элементами конструкций авиационной, автомобильной, атомной, космической техники, в процессе эксплуатации подвергаются импульсным и ударным воздействиям.
. Необходимость обеспечения надежности и безопасности конструкций с одной стороны, и их рациональное проектирование с другой стороны, требует учета различного рода нелинейных эффектов деформирования. В связи с изложенным выше, представляются актуальными теоретические и экспериментальные исследования процессов нестационарного деформирования трехмерных оболочечных и стержневых элементов
конструкций при- наличии больших деформаций и формоизменений, нелинейных свойств: материала, контактного взаимодействия, краевых эффектов и т.д. Важным, при этом, является изучение' областей
______ •’ ...... - - V . - - . - -*» - *
применимости~современных численных методов-и алгоритмов решения упомянутых задач прочности и их развитие в соответствии с требованиями инженерной практики.
1. Состояние вопроса. Цели работы и со содержание.
1.1 Численные методы решения нелинейных нестационарных
. задач деформирования элементов конструкций
. .. . • ’• ~“ . • ’ '
. . « .г . . 4 * -• и
'' , ’ * ’ ’ . “>* •-
• Задачи - нестационарной динамики конструкций обладают рядом
факторов, затрудняющих получение решения. К таким факторам относятся: сложность геометрии конструкций; геометрическая нелинейность (в процессе деформирования конструкций перемещения, как правило, нельзя считать малыми); физическая нелинейность, вырождение задач, обусловленное малостью размеров по одной или двум координатам в случае оболочек и стержней. Поэтому интегрирование разрешающей системы уравнений, описывающей динамические нелинейные процессы деформирования сложных конструкций, возможно только при использовании численных методов и современной вычислительной техники.
Обзор основных подходов к численному решению нестационарных задач механики сплошных сред можно найти в [36, 90, 135]. Среди всего многообразия численных методик, применительно к рассматриваемому классу задач можно выделить методы конечных разностей, вариационноразностный метод и метод конечных элементов.
Метод конечных разностей (МКР) [12, 56, 92, 112, 123] основан на замене исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных ее дискретным аналогом, который получается в результате аппроксимации производных по пространственным координатам некоторыми разностными соотношениями. Расчетная область разбивается на ячейки, вершины которых образуют разностную сетку области. Искомые функции заменяются совокупностью их узловых значений, вычисляемых из дискретного аналога определяющей системы уравнений. Для регулярных, не искажающихся в процессе деформирования сеток, при этом часто используют простые разности первого или второго порядка [111, 139, 161, 169].
Наибольшее распространение среди схем МКР получила схема "крест", предложенная в- работе [94], . отличающаяся простотой и высокой алгоритмичностью по сравнению с другими схемами сквозного счета. Неудобства простейших аппроксимаций производных проявляются при построении разностных соотношений для неоднородных участков сетки либо вблизи границ расчетной области. Устранение этих неудобств возможно с помощью формул естественной аппроксимации частных производных по пространственным переменным [104], внесшим значительный прогресс в теорию и практику конечно-разностных методов. Среди многочисленных работ, использующих "естественную" аппроксимацию, можно выделить работу МЛ. Уилкинса [136], в которой излагается численная схема решения нестационарных задач упругопластического деформирования в двумерной постановке. Решение осуществляется' на сетках, состоящих из четырехугольных ячеек, перемещающихся вместе с деформируемой средой. Вычисления осуществляются в общей системе координат. В качестве искомых функций рассматриваются истинные (логарифмические)
деформации, на основе которых вычисляется тензор напряжений Коши, с учетом поворота тела как жесткого целого. В линейных задачах схема имеет второй порядок аппроксимации [161] и, как показали вычислительные эксперименты, может применяться для исследования быстропротекающих процессов деформирования упругопластических тел, поведение за пределом упругости которых описывается теорией Прандтля-Рейсса [136]. В [87] она обобщена на среды, описываемые более сложными уравнениями состояния, а в [117] на решение задач о разрушении твердых тел при импульсных воздействиях. Проведенные расчеты показали, что хотя метод Уилкинса позволяет исследовать процессы, имеющие место при импульсных' воздействиях, он допускает нефизические искажения ячеек сетки, при которых компоненты тензора скоростей деформаций, вычисленные по схеме [136] , равны нулю. Эти искажения разностной сетки, называемые . неустойчивостью типа "песочные часы", появляются при распределении
перемещений, для которого характерно равенство скоростей в
‘ . • •- -
противоположных углах четырехугольной ячейки (диагонали ячейки • движутся параллельно самим себе как жесткое целое).' .
.'В этом случае могут возникнуть значительные отклонения от ожидаемого гладкого поля скоростей (скоростной "шум" [97]), приводящие к пилообразной картине смещений. В такой ситуации схема [136] допускает перехлест ячеек разностной сетки, появление отрицательных объемов, одностороннее нарастание энергии и потерю точности, в результате чего численное решение задачи теряет свою адекватность воспроизводимому физическому процессу, В связи с этим появился ряд работ [97, 133, 142, 182], в которых предлагается для подавления скоростного шума использовать искусственную вязкость специального вида. В [133] описывается контурная и угловая вязкости, препятствующие искажениям сетки, связанными с~ обращением в ноль одной из сторон ячейки или одного из ее углов. Эти же принципы построения искусственной вязкости используются в работах [97, 142] . Следует отметить, что введение искусственной вязкости (тензорной, угловой, контурной и т.д.) повышает уровень диссипативности схемы. При . этом доля диссипируемой энергии в некоторых задачах может достигать десятков процентов от общей энергии и более, в силу чего возможны значительные искажения численного решения [120, 138] , что недопустимо, например, при анализе упругих колебаний. По этой причине в работах [120, 133] наряду с искусственной вязкостью вводят в расчеты треугольные сетки. Как показало решение модельных упругих и упругопластических задач [120] треугольные сетки • позволяют • проследить за интегральными характеристиками решения на значительных интервалах времени по сравнению с периодом колебаний рассчитываемого элемента по низшей частоте. Однако точность решения при грубом разбиении оказывается весьма низкой, что снижает эффективность применения треугольных сеток. Подавление «скоростного шума» возможно введением пространственного распределения деформаций внутри КЭ. Так в [88] предложена методика
равномерного деформирования ребер. Работоспособность этой методики
' »•
продемонстрирована в [115] результатами решения тестовых задач.
Под действием импульсных, интенсивных нагрузок расчетная область может претерпевать сильные искажения, в результате которых не исключено аварийное прерывание счета. В такой' ситуации получение решения без коррекции сетки становится затруднительным.' Некоторые общие
соображения, регламентирующие перестройку сетки, сформулированы в [121]. Там же изложен один из возможных способов перестройки сетки. Варианты интерполяции искомых величин со старой сетки на новую приведены в [50,65]. В • [65] эффективность перестройки сетки иллюстрируется на примерах продольного соударения упругопластического цилиндрического стержня о жесткую ' преграду и проникания
недеформируемого полу бесконечного конуса в деформируемую преграду. Сопоставление времени счета показало, что коррекция разностной сетки позволяет существенно (в первой задаче в шесть раз) ускорить решение ’ задачи, когда происходят значительные деформации расчетной области. Решение же второй задачи, как отмечается в [65], без перестройки сетки довести до конца не удается. "
Хорошую эффективность в задачах высокоскоростного взаимодействия, характеризующихся большими напряжениями, деформациями и
формоизменениями, демонстрирует так называемый метод свободных частиц (БРН-методы) [39, 44, 74, 116, 168]. При использовании этого метода среда изначально представляется как дискретная система частиц. В процессе деформирования дискретного набора частиц возможны произвольные деформации и разрывы среды, так как точки в ней топологически не фиксированы с лагранжевой сеткой элементов. Для каждой частицы определяется окрестность, в которой вычисляются локальные силы взаимодействия. Подобный подход получил широкое распространение при построении различных схем. Данная методика дает хорошие результаты в задачах высокоскоростного проникания и пробивания, которые невозможно
. ' 9
решить другими способами, однако оналребует дальнейшего обоснования (исследования точности и устойчивости).
Среди конечноразностных методов можно отдельно отметить сеточнохарактеристические методы и схему распада разрыва С.К.Годунова..
Метод характеристик [111] основан на записи исходных уравнений в виде соотношений на характеристиках. Преимуществом этого метода является близость областей зависимости дифференциальной и сеточной задач. Данный подход эффективен при решении нестационарных волновых задач динамики массивных тел. Однако его применение осложняется при анализе динамики составных конструкций, где необходимо учитывать многократное взаимодействие скачков. В связи с этим получили развитие характеристические конечно-разностные методы, различные варианты которых. представлены в [89-92]. Недостатки этих методов связаны с определенными трудностями при решении нелинейных задач и сложной логикой расчета особенностей и построения многократных взаимодействий скачков. В этом плане более универсальными являются метод конечных разностей и метод конечных элементов. •
Схема С.К. Годунова [57] в своей основе использует дивергентную
г*/-'» ■
запись уравнений. В случае, когда уравнения механики сплошных сред не* допускают запись в дивергентной форме (например, уравнения Прандтля-Рейсса [119] или теории оболочек), недивергентные слагаемые обычно переносятся в правую часть уравнений [11]. Важным свойством схемы С.К.Годунова является ее монотонность. Однако она обладает большой схемной вязкостью, которая исчезает лишь при числе Куранта равном единице, что достижимо для данной схемы только в одномерном случае. Существуют модификации схемы С.К.Годунова, с повышенным порядком аппроксимации на гладких решениях (схема Лакса-Вендрофа и гибридные схемы) [141], но они уже не обладают свойством монотонности или имеют смешанный порядок (второй на монотонных решениях и первый - на немонотонных).
10
Вариационно-разностные мето;м (ВРМ) при описании движения деформируемой среды исходят из какого-либо вариационного принципа (Даламбера-Лагранжа, Журдена и т.д.). Дискретизация разрешающей системы -уравнений основана на тех же подходах, что и в методе конечных разностей. В задачах газовой динамики ВРМ развивался в работах А. А. Самарского [122, 123], »"динамике упругопластическйх тел, пластин и оболочек - в работах [14, 15, 69] и др. Вариационно-разностный и конечно-разностный методы по "‘существу являются упрощенными вариантами метода конечных элементов. В частности, дискретные соотношения, вытекающие из КРМ или ВРМ, могут быть получены исходя из МКЭ при использовании определенных функций ' форм и сокращенного интегрирования.
В методе конечных элементов (МКЭ) [55,58, 76, 100, 105, 109, 110, 129, ...155, 183] расчетная область, также разбивается на ряд ячеек - конечных элементов (КЭ). В каждом КЭ задается стандартная система базисных функций (функций форм), аппроксимирующая перемещения, деформации и напряжения. Численное решение находится из минимизации вариационной задачи на введенном множестве базисных функций. Благодаря целому ряду положительных качеств (универсальность, независимость вычислений в отдельных элементах, возможность уточнения решения путем повышения порядка аппроксимации и т.д.) МКЭ получил широкое распространение. Разработанный для решения задач статики, в последующем метод конечных элементов был применен и для анализа процессов нестационарного деформирования. Поведение КЭ в нелинейных задачах нестационарного деформирования зависит от гладкости определяющих уравнений. В случае достаточно гладко протекающих процессов предпочтительнее использование КЭ с высокой степенью аппроксимации, т.к. они в этом случае имеют более высокую скорость сходимости решения по сравнению с КЭ с низкой степенью аппроксимации. Когда процесс нестационарного деформирования не обладает достаточной гладкостью, преимущество КЭ с высокой степенью аппроксимации уменьшается. Это справедливо и для задач, где имеют место
- Київ+380960830922