Оглавление
1 Системы квазилинейных уравнений. Обобщенные решения. Пример построения асимптотик. 10
1.1 Инварианты Римана. Характеристики..................................... 16
1.2 Консервативные системы. Обобщенные решения. Условия на разрывах. 18
1.3 Задача о распаде разрыва.............................................. 21
1.4 Асимптотические последовательности и ряды............................. 23
1.5 Построение асимптотики обобщенных решений
уравнении Хопфа........................................................ 25
2 Построение асимптотики решения задачи о распаде разрыва в случае отсутствия ударных воли. 39
2.1 Постановка задачи.................................................... 30
2.2 Построение асимптотики классического решения.......................... 41
2.3 Обоснование асимптотики классического
решения................................................................ 45
2.4 Асимптотика границ области определенности
классического решения.................................................. 48
2.5 Построение асимптотики решения в волне
разрежения........................................................... 50
2.6 Обоснование асимптотики решения задачи Гурса.......................... 56
2.7 Асимптотика границ волны разрежения................................... в0
2.8 Обоснование асимптотики границ волн
разрежения............................................................. 61
2.9 Построение асимптотики между двумя волнами разрежения................. 62
2.10 Обоснование асимптотики между двумя волнами разрежения................ 65
3 Построение асимптотики решения задачи о распаде разрыва в случае образования ударных воли. 67
3.1 Постановка задачи..................................................... 67
3.2 Предварительные сведения.............................................. 69
2
3.3 Асимптотика решении о случае образования одной ударной волны.... 70
3.4 Обоснование асимптотики в случае образования одной ударной волны. 70
3.5 Построение асимптотики н случае образования
двух ударных ваш.............................................. 83
3.6 Достаточные условия.......................................... 94
3
Введение
Изучение свойств нелинейных уравнений и методов их решения представляет собой быстро развивающуюся область современной теории д»к|>-ференцнальных уравнений. Одним из важных направлений является теория гиперболических систем квазилинейных уравнений. Это связано, в частности, с большим количеством приложений, которые находят гиперболические системы квазилинейных уравнений в практических и теоретических задачах (см., например, [29], [32], [34], [5], [13], [14]).
При исследовании гиперболических систем особое внимание уделяется негладким (разрывным) решениям, которые называются обобщенными. Чаще всего такие решения вводятся для уравнений, являющихся следствием некоторых интегральных законов сохранения (см. [29], Гл. 4). Именно такого типа задача рассматривается в предлагаемой диссертации.
Основным объектом исследования в настоящей работе являются обобщенные решения задачи о распаде разрыва для гиперболической системы двух квазилинейных уравнений с возмущением:
+&(«■>= £/*(««,*, О, к =1,2, 0<е«1,
ик(х 0) = { + £Ф1-ЛХ) + £2Фк,2(х) + • • • > -а < х < 0.
I ФЫХ) + £К 1 0е) + £2Фк,2(х) + ■■■> 0 <х< а. Возмущение здесь задано членами с множителем е, где е — малый! параметр. Ставится задача детально исследовать влияние таких малых возмущений на обобщенное решение. Под детальным исследованием здесь имеется в виду построение полной асимптотики при £—*() для обобщенного решения в области его непрерывности, построение полной асимптотики положения линий сильного и слабого разрывов с указанием алгоритма построения всех членов асимптотических рядов.
Для решения поставленной задачи в диссертации используются методы теории возмущений. Литература, посвященная уравнениям с малым
параметром довольно обширна, можно отметить, например, монографии [1], [2], [3], [8|, [19], [20], [21], [30]. Методы теории возмущений очень часто оказываются полезными для практических задач, так как позволяют конструктивно строить приближенные решения.
Исследование асимптотики решения дифференциальных уравнений состоит, обычно, из двух этапов: формальные построения коэффициентов асимптотики и обоснование построенной асимптотики.
Ключевыми моментами на первом этане являются: выбор главного члена асимптотики; выделение стандартной задачи, решение которой определяет поправки в асимптотическом ряде; доказательство разрешимости стандартной задачи. Вообще говоря, не существует единого для всех задач алгоритма, гарантирующего правильность того или иного выбора главного члена асимптотики. Показателем, что выбор главного члена произведен неправильно, является, например, неразрешимость стандартной задачи на поправки или неединственность ее решения. Положив, формально, малый параметр равным нулю в исходной задаче с возмущением, получим новую задачу без параметра, которую называют предельной или невозмущенной. Естественный путь, когда в качестве главного члена асимптотики выбирают решение предельной задачи, часто оказывается неправильні,їм. В качестве примера можно привести задачу с так называемым сингулярным возмущением (см. [8]), когда порядок дифференциальных уравнений предельной задачи меньше порядка уравнений исходной возмущенной задачи, а число граничных условий у обеих задач одинаково1. В таких задачах возникает хорошо изученные эффекты пограничных и переходных слоев.
Задача, рассматриваемая в диссертации не приводит к эффектам типа погранслосв, поскольку при є —> 0 не происходит понижения порядка уравнений и не возникает проблем с формальным выполнением начальных условий!. Тем не менее, здесь возникает эффект, ПОХОЖИЙ на переходил описанием методики построения асимптотики решения этоП и других сингулярных задач можно обратиться к монографии Л.М. Ильина [8].
5
иыП слоИ. Он связан с проблемой уточнения поправок для линий разрыва (ударного перехода). Эти линии в главном члене асимптотики определяют решение предельной задачи. Наличие возмущений приводит к деформации этих линий на величину порядка О(є). Вычисление поправок к линиям разрыва и составляет одну из главных задач, решаемых в диссертации. В предложенной конструкции важную роль играет способ выбора коэффициентов асимптотического решения вне линий разрыва. Главная идея состоит в том, что эти коэффициенты должны быть определены в областях, которые пересекаются. Как раз в областях пересечения и отыскивается затем линия разрыва с учетом поправок. В таком подходе не возникает проблемы с определением решения в области его непрерывности при уточнении положения линий разрыва.
Из приведенных рассуждений усматривается параллель рассматриваемой задачи с задачами о погранслоях. Решение предельной задачи с фиксированными линиями разрыва оказывается неверным приближением в узком слое, порядка 0(е), вблизи разрыва. Как и в случае сингулярных возмущений главный член асимптотики не совпадаете решением предельной задачи.
После того, как построен главный член асимптотики выписывается стандартная задача на остальные члены асимптотического ряда. Все поправки к главному члену асимптотики удовлетворяют линеаризованной на главном члене системе уравнений. Нетривиальной здесь оказывается задача определения начальных данных для линеаризованной системы уравнений. Так, например, в третьей главе показано, что, при построении асимптотики между двумя линиями ударного перехода, задача определения начальных данных для линеаризованной системы уравнений сводится к решению функционального уравнения специального вида:
A(t)v(k(t)) + B(t)v(t) = C(t),
где A(t)> B(t), C(t) — известные непрерывные функции, k(t) — сжимающее отображение на промежутке (0,Т), v(t) — подлежащая определению
G
функция.
Завершается этап формальных построений доказательством разрешимости стандартной задачи. Таким образом в диссертации построены полные асимптотические ряды для обобщенного решения в области его непрерывности, а также полные «асимптотические ряды для положения линий слабых и сильных разрывов в обобщенном решении.
Из работ, посвященных формальной стороне построения асимптотики, в качестве примера приведем статыо Yu. Kevorkian [38], посвященную исследованию частного случая задачи, поставленной в диссертации. В этой работе была исследована возмущенная задача о распаде разрыва для системы уравнений мелкой воды в случае образования одной ударной волны. Цслыо работы было построение приближенного решения, пригодного на временах порядка обратной степени возмущения. За главный член принималось решение невозмущенной задачи. После этого методом двух масштабов были построены первые два члена приближенного решения. В качестве подтверждения правильности построений испол1»зовался численный счет. Отличие диссертации от указанной выше работы состоит в том, что ставится цель построить полную асимптотику решения задачи о распаде разрыва, когда параметр стремится к нулю. Кроме того ставится задача аналитически обосновать правильность таких построений.
Аналитическое обоснование пригодности формальной асимптотики является вторым важнейшим этапом работы. Обычно на этом этапе формулируются и доказываются утверждения, касающиеся оценки разности между точным решением возмущенной задачи и конечным отрезком построенного асимптотического ряда (остатка). Первым вопросом, который здесь возникает, обычно является вопрос существования и единственности решения как возмущенной так и предельной задачи.
Системы с двумя независимыми переменными являются наиболее изученными на данный момент. По для этих систем в настоящее время пет достаточно полной теории. В частности, не решена до конца проблема одии-
7
- Київ+380960830922