Асимптотические свойства смесей вероятностных распределений

Содержание
Введение 4
1. Асимптотическое поведение “хвостов” масштабных смесей нормального распределения 13
1.1. Случай экспоненциального убывания “хвоста’’ смешивающего распределения.............................................. 14
1.2. Обобщенный случай экспоненциального убывания “хвоста” смешивающего распределения .................................. 19
1.3. Случай степенного убывания "хвоста” смешивающего распределения .................................................. 25
2. Устойчивость представления вероятностных распределений в виде специальных смесей устойчивых законов и оценки скорости сходимости в теоремах переноса 33
2.1. Первая теорема устойчивости дли степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем
а > 1................................................... 35
2.2. Вторая теорема устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем
О’ > 1.................................................. 42
2.3. Первая теорема устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем
О < а < 1............................................... 47
1
2.4. Вторая теорема устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем
О < от < 1................................................. 51
2.5. Оценки скорости сходимости в теореме переноса в схеме серий 53
2.0. Теоремы устойчивости для сдвиг-стеисиных смесей устойчивых распределений.............................................. 57
2.7. Оценки скорости сходимости распределений центрированных случайных сумм к сдвиг-степенпым смесям устойчивых распределений ................................................. 03
3. О мощности критериев отношения правдоподобия, построенных по выборкам случайного объема 67
3.1. Введение............................................ 07
3.2. Описание модели..................................... 71
3.3. Предельные распределения отношения правдоподобия, построенного но выборкам случайного объема................ 74
3.4. Асимптотическое поведение распределения логарифма отношения правдоподобия при основной гипотезе и альтернативе 76
3.5. Поведение мощности в случае принадлежности распределения логарифма отношения правдоподобия при альтернативе области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 7 > 1................................... 33
3.6. Поведение мощности в случае принадлежности распределения логарифма отношения правдоподобия при альтернативе области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 0 < 7 < 1............................... 30
3.7. Поведение мощности в случае принадлежности распределения логарифма отношения правдоподобия при альтернативе области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 7 > 1 для второй интерпретации мощности 93
2
3.8. Поведение мощности в случае принадлежности распределения логарифма отношения правдоподобия при альтернативе области притяжения устойчивою закона с характеристическим показателем 0 < 7 < 1 для второй интерпретации мощности ..................................................... 96
Литература 99
3
Введение
Смеси вероятностных распределений играют важную роль в теории вероятностей и, прежде всего, в области ее применения. Центральная предельная теорема позволяет приближать результат эксперимента нормальным распределением, если на его исход влияет множество независимо действующих случайных факторов, каждый из которых незначительно влияет па конечный результат. Однако, “нормальность”, как правило, не наблюдается на практике. Возможным объяснением “нс-нормальности” распределений результатов эксперимента может служить то, что на разные эксперименты влияет разное число случайных факторов. В этом случае центральная предельная теорема не применима, и необходимо рассматривать суммы случайного числа случайных величин, для которых справедливы аналоги центральной предельной теоремы — теоремы переноса, в качестве предельных распределений в которых выступают смеси ве]юят-ностных распределений.
“Не-иормалыюсть” распределения па практике, как правило, означает, что результирующие распределения имеют более тяжелые “хвосты” и острую вершину но сравнению с нормальным распределением. Если же исследователь использует нормальное приближение, то он тем самым недооценивает большие значения, считая, что их вероятности малы. Подобные модели появляются, например, в страховании, теории управления запасами, теории массового обслуживания, теории надежности и др.
В диссертации основное внимание уделяется изучению свойств смесей нормального и других устойчивых распределений. Такие распределения являются предельными в теоремах переноса для случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных величии. Класс данных распределений чрезвычайно широк.
4
Действительно, класс масштабных смесей одного только нормального распределения содержит само нормальное распределение, распределение Стыодсита, распределение Коши, распределение Лапласа, распределение случайных величин Ул, 0 < а < 2 с симметричным устойчивым распределением и характеристической функцией /а (/,) = ехр{- \t\a} и др. Кроме того, этот класс обладает замечательными свойствами: он замкнут относительно операции свертки распределений и операции смешивания распределения по масштабному параметру; распределения нечетных степеней случайных величин данного класса также принадлежат ему.
Изучением свойств смесей нормального и других устойчивых распределений вероятностей занимались многие исследователи, среди которых нельзя нс упомянуть О. Kernel [30], Н. Robbins [34), В. М. Золотарев [8, G, 7],
Н. Tcichcr [40], F. W. Steutcl [36], D. Kclker [29], S. J. Wolfe [42]. В перечисленных работах основное внимание уделено аналитическим свойствам смесей вероятностных распределений. В них, в частности, описана структура класса смесей устойчивых распределений и рассмотрены условия безграничной делимости смесей.
Свойства сумм случайного числа случайных величин, в том числе предельные теоремы для таких объектов, изучались многими математиками. Не преуменьшая вклад остальных исследователей, посвятивших свои работы этим вопросам, упомянем лишь некоторые работы и монографии. Основополагающей является работа Г. Роббинса [35], содержащая в схеме “нарастающих” сумм достаточные условия сходимости случайных сумм к смесям нормальных законов. Говоря об истории развития данного вопроса, стоит упомянуть статью Р. Л. Добруншна [5], обобщающую результаты Роббинса на произвольные случайно индексированные случайные последовательности при специальном выборе центрирующих п нормирующих констант, п ряд статей Б. В. Гнеденко и его учеников [4, 20, 21, 37, 38]. Б. В. Гнеденко совместно с X. Фахимом доказал знаменитую теорему переноса, устанавливающую достаточные условия слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий [4] и поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий упомянутой сходимости. Первые шаги в решении но-
5
следией задачи были сделаны учениками Б. В. Гнеденко н, прежде всего, А. В. Печинкнным [20] (для случая сходимости к нормальному закону) и Д. Саасом [21, 37, 38| дня общего случая. Необходимые и достаточные условия слабой компактности случайных сумм смог найти В. М. Круглов [16]. В. 10. Королев обобщил результаты Р. Л. Добрушина, указав необходимые и достаточные условия слабой сходимости суперпозиций произвольных независимых случайных процессов [32], и совместно с В. М. Кругловым нашел окончательное решение задачи Гисдснко-Сааса о необходимых и достаточных условиях слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых [33]. Также следует упомянуть монографии В. М. Круглова и В. 10. Королева [14], Б. В. Гнеденко и В. Ю. Королева [28] и В. М. Золотарева [43].
Задачи, в которых могут использоваться свойства смесей вероятностных распределений, появляются в теории надежности, финансовой математики, страховании. Если приближать некоторый показатель (доход, убыток, остаток и д.р.) случайной суммой одинаково распределенных и независимых случайных величии, имеющих дисперсию (так, например, делается в страховании при расчете страховых ставок страхового портфеля), то в качество продельных появляются распределения, являющиеся смесями нормального распределения. Для оценивания критических значений этого показателя (например, вероятности разорения) необходимо оценить вероятность того, что значение показателя превзойдет некоторую границу, т.е. получить оценку для “хвоста” соответствующего распределения. Получение в таких задачах оценок при помощи нормального приближения дает неверный результат, поскольку “хвосты” итогового распределения тяжелее “хвостов” нормального распределения. Для получения “более правильных” оценок могут быть применены результаты первой части диссертации, в которой изучаются предельные свойства “хвостов” смсссй нормального распределения.
Кроме свойств самих распределений, принадлежащих указанному выше классу смесей устойчивых законов, в диссертации рассматривается устойчивость представления вероятностных распределений в виде специальных смесей устойчивых распределений, а именно, смесей, характсри-
6
стнческие функции которых представимы в виде Е/^(£), где / — характеристическая функция устойчивого закона, а II > 0 — случайная величина (такие смеси будем называть степенными), а также более общие смеси вероятностных распределений с характеристическими функциями вида Е \ег1У/и (£)], где / — устойчивая характеристическая функция, а V и и > 0 - случайные величины (такие смеси будем называть сдвиг-степеннымн). Задача оценки устойчивости таких представлений, по-видимому, впервые рассматривалась Д. Саасом [39]. В указанной статье рассмотрен случай вырожденного смешивающего распределения н получена оценка єдля расстояния Леви между смесями, где є — расстояние Леви между смешивающими функциями распределения. В диссертации будут рассмотрены оценки “близости” в смысле некоторой вероятностной метрики результирующих смесей при “близких” в смысле той же метрики смешивающих и смешиваемых распределениях.
Диссертация посвящена рассмотрению асимптотических свойств смесей устойчивых законов, исследованию устойчивости представлении вероятностных распределений в виде таких смесей, оцениванию скорости сходимости в теоремах переноса в схеме серий и изучению предельного поведения усредненной мощности наиболее мощного критерия проверки просіюй гипотезы против простой альтернативы но однородной выборке случайного объема.
Кратко изложим содержание и основные результаты диссертации. Глава 1 посвящена оцениванию скорости убывания “хвостов” масштабных смесей нормального закона в зависимости от скорости сходимости “хвоста” смешивающих распределений. В разделе 1.1 рассматривается случай, когда смешивающее распределение имеет “хвост”, убывающий экспоненциальным образом, причем показатель степени представлен в виде (-СіЛ(Іпх)), где 1г(х) — правильно меняющаяся функция, а С\ — некоторая константа. В этом разделе доказана теорема о том, что в случае экспоненциального убывания “хвоста” смешивающего распределения масштабная смесь также будет иметь экспоненциально убывающий “хвост”, с показателем в степени (—Съук2 (1пг/)), где Л (гг) — та же самая функция, что н для смешивающего распределения, а Сч — некоторая константа. В
7