Некоторые задачи асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гауссовских процессов

Содержание
1 Введение 3
2 Задача о разорении для гауссовского стационарного процесса. 22
2.1 Выделение промежутка основного вклада................. 24
2.2 Оценка первого факториального момента................. 32
2.3 Оценка второго факториального момента................. 36
3 Асимптотики больших экстремумов гауссовского гладкого процесса с плоским максимумом дисперсии 64
4 Список литературы 81
2
1 Введение
Задача асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гауссовских процессов является актуальной уже в течение длительного промежутка времени. Разработан ряд общих методов ее решения в дискретном и непрерывном случаях. К ним относятся метод сравнений, метод моментов [4], основанный на формуле Райса, и метод двойных сумм [3], базирующийся на лемме Пикаидса и идее подсчета вероятности на измельчении параметрического множества. Последние два метода развиваются в настоящей работе и применяются для решения задачи о разорении и задачи о движущемся барьере.
Метод моментов основан на вычислении моментов числа пересечений гауссовским процессом высокого уровня. Формула для среднего числа пересечений уровня гауссовским процессом, полученная М.Кацем и С.Райсом, стала началом новой ветви теории гауссовских процессов. В ней установлены удобные формулы вычисления моментов числа пересечений, изучаются вопросы конечности этих моментов, обобщаются идеи и методы с одномерных на многомерные задачи, применяются полученные теоремы для оценки распределений различных функционалов, доказательства предельных теорем. Основы данной теории представлены в книге [14]. Гауссовские поля рассмотрены с этой точки зрения в книге [8].
Для получения оценки вероятности превышения некоторого неслучайного уровня гауссовским процессом можно воспользоваться первыми двумя моментами числа пересечений. По-видимому, Райс был первым, кто применил эту идею, которая в течение долго времени была единственным методом оценки распределения максимума случайного сигнала в статистической радио-инженерии. Этот метод достаточно прост, и тем не менее, достаточно
3
точен. Состоит он в следующем: пусть имеется случайный процесс с достаточно гладкими траекториями, про который известно, что его траектории не касаются прямой у = и, тогда множество траекторий, которые превышают в какой-нибудь точке значение и, можно разбить на исперссекающисся подмножества: траектории, графики которых пересекают прямую у = и снизу вверх ровно один раз, пересекает ровно два раза и так далее. Если добавить еще предположение, что уровень и достаточно высок в том смысле, что траекторий с двумя и более пересечениями снизу вверх много меньше, чем траекторий, пересекающих снизу вверх ровно один раз, то мы приходим к идее Райса, как можно хорошо приблизить вероятность выхода случайного процесса за уровень при помощи первых двух моментов числа пересечений. Опишем этот подход более точно.
Пусть случайный процесс Х(£),£ 6 [О,Т] почти наверное непрерывно дифференцируем, и все его одномерные плотности распределения ограничены. Тогда имеет место теорема Булииской [2), в силу которой с вероятностью единица отсутствуют касания любого неслучайного уровня. Обозначим через N„[0,Т] число точек £ Е [0,Т] таких, что Х{{) = и,Х'(£) > 0. Случайные величины Ми[0,Т] назовем числом выходов за уровень и. При некоторых дополнительных ограничениях эта величина конечна, конечны се математическое ожидание и дисперсия. Точные утверждения можно найти, например, в [3]. Поскольку касания уровня траекториями отсутствуют с вероятностью единица, то можно выполнить следующие преобразования:
Р(Х(0) < и, тах^[от] Х{{) > и) =
= Р(Х(0) < щ^[0,Т] = 1) + Р(*(0) < и,^и[0,Т] > 2) =
= Р(^[0,Т] = 1) - Р(ЛГ,[0,Т] = 1,Х(0) > и)+ +Р{Х(0)<и,Ми[0,Т]>2) =
= Р(ЛГи[0,Т] = 1) + Р(Лф,Т] > 2)-
-Р(Аги[0,Т] = 1,Х(0) >и)- Р(АГи[0,Т] > 2,Х(0) >и) =
= Р(К[0)Т] = 1) + Р(^[0,Т] > 2) - Р(АГи[0,Т] > 1,Х(0) > и).
4
Отсюда видно, что простой путь формализации вышеприведенной идеи о малости вероятности двух и более пересечений снизу вверх уровня — оценить второе слагаемое в правой части половиной второго факториального момента числа Л^[0,Т], для которого существует относительно простое интегральное представление. Что же касается третьего слагаемого в правой части, то событие под знаком вероятности может произойти лишь в случае, когда либо одновременно Х(0) > и,Х(Т) > и, либо имеется более одного входа, то есть, следует также оценить второй факториальный момент числа входов (числа точек, таких что Х(£) = и,Х'{Ь) < 0). Таким образом, если обозначить число входов через Ьи[0уТ], то можно получить следующее простое комбинаторное двустороннее неравенство:
0 < ЕЛГу[0,Т] 4- Р(Х(0) > и) — Р(шахгб[0)т] Х(£) > и) <
< 1 (ЕЛ^[0,Т](ЛГи[0,Т] - 1) + ЕЬи[0,Т}(Ьи[0,Т) - 1)) + +Р(Х(0)>и,Х(Т)>и).
Это неравенство можно использовать всегда, когда есть возможность работать с совместными плотностями распределений процесса X и его первой производной в одной или двух точках, через которые выражаются первый и второй факториальные моменты случайных величин N и Ь.
В [35] Дж.Пикандс предложил способ вычисления асимптотики вероятности
Р(тахХ(£) > и)
для стационарного процесса Х(£) при и -> оо, а именно, если Х(£) — стационарный центрированный гауссовский процесс с ковариационной функцией Л(£), такой что /?(£) < 1, £ > 0 и Я(£) = 1 - |£|а + о(|£|а) при £ -* 0, то
Р(шах Х(1) > и) = 'Нари2/ссЪ(и)( 1 4- о( 1)), и -> оо.
<€[0 ,р]
5
Здесь Ф(и) — хвост функции распределения стандартной гауссовской случайной величины, 'На — константа Пикандса, определяемая следующим образом.
Пусть Ва({) — дробное броуновское движение (т.е. гауссовский действительнозначный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией Г(М) = 7}{Ща + 15Г I* “ £ (0,2]). Тогда существует предел
« _ЗДГ)
Тьа — Ншт,_>оо лр ,
(Т) = Еехр(шахо<кг >/2Д*(0 - |£|а).
Я = а/2 называют параметром Харста и иногда используется обозначение £//(0 для дробного броуновского движения с показателем Харста Я. Для Я = 1/2 мы получаем обычный винеровский процесс.
Данный метод нахождения асимптотики был обобщен на широкий класс гауссовских полей и процессов и получил название метода двойных сумм |3]. В процессе развития и уточнения оказалось, что в определенном смысле он аналогичен методу Лапласа, а именно: во-первых для траекторий, составляющих событие под знаком вероятности траектория находится выше уровня и с вероятностью почти единица на множестве, диаметр которого стремится к нулю. И во-вторых, для стационарных процессов данные множества распределены по всей области изменения параметра, а для нестационарных — около множества точек максимума дисперсии случайного процесса X.
В первой главе диссертации рассматривается задача о разорении для модели проинтегрированного стационарного гауссовского процесса, используя метод Райса для получения точной асимптотики.
Пусть скорость поступлений доходов некоторой компании с > 0 а суммарные расходы представляют собой случайный процесс > 0,Хо = 0. Пусть также и — начальный капитал компании. Тогда в момент времени
б