Оглавление
0.1. Введение................................................... 6
0.1.1. Актуальность темы................................... 6
0.1.2. Обозначения и определения........................... 9
0.1.3. Основные результаты................................ 12
0.1.4. О методах исследования............................. 17
0.1.5. Известные результаты............................... 24
I Гиперболические уравнения 27
1. Волновое уравнение 28
1.1. Введение................................................. 28
1.1.1. Случайное решение. Сходимость к равновесию . ... 30
1.1.2. Условие перемешивания...............................31
1.2. Главные результаты....................................... 32
1.2.1. Основная теорема................................... 32
1.2.2. Примеры............................................ 34
1.3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами .... 36
1.4. Приложение к случаю гиббсовских мер...................... 37
1.4.1. Гиббсовские меры................................... 37
1.4.2. Сходимость к равновесию............................ 39
1.4.3. Предельный поток энергии............................41
1.5. Компактность семейства мер................................42
1.6. Сходимость корреляционных функций........................ 46
1.7. Корреляционные функции в общем случае.................... 51
1.8. Метод Бернштейна для волнового уравнения................. 54
1.9. Сходимость характеристических функционалов............... 60
1.10. Условие Линдеберга....................................... 63
1.11. Моментные функции четвертого порядка..................... 65
2
1.12. Теория рассеяния для решений с бесконечной энергией ... 69
1.13. Сходимость к равновесию для переменных коэффициентов . 74
1.14. Оценки Вайнберга........................................ 76
1.15. Эргодичность и перемешивание для предельных мер .... 77
1.16. Дополнения.............................................. 81
1.16.1. Дополнение А1. Преобразование Радона..............81
1.16.2. Дополнение А2. Гауссовские меры в пространствах Соболева.................................................. 83
2. Уравнение Клейна - Гордона 85
2.1. Введение................................................. 85
2.1.1. Случайное решение. Сходимость к равновесию . ... 86
2.1.2. Условие перемешивания............................. 87
2.1.3. Статистические условия и основной результат .... 88
2.2. Уравнения с постоянными коэффициентами....................91
2.3. Приложение к случаю гиббсовских мер.......................92
2.3.1. Гиббсовские меры.................................. 93
2.3.2. Предельный поток энергии для сглаженных полей . . 94
2.4. Оценки для начальной ковариации.......................... 95
2.4.1. Перемешивание в терминах спектральной плотности 95
2.4.2. Разложение начальной ковариации................... 97
2.5. Равномерные оценки и сходимость ковариации............... 99
2.6. Компактность семейства мер...............................106
2.7. Метод Бернштейна для уравнения Клейна - Гордона .... 110
2.8. Сходимость характеристических функционалов...............113
2.9. Переменные коэффициенты: Теория рассеяния для решений бесконечной энергии...........................................117
2.10. Эргодичность и перемешивание для предельных мер .... 122
2.11. Дополнения..............................................124
2.11.1. Дополнение АЗ. Преобразование Фурье..............124
2.11.2. Дополнение А4. Сингулярные осциллирующие интегралы ..................................................125
II Разностные уравнения 129
3. Гармонический кристалл 130
3
3.1. Введение..................................................130
3.1.1. Динамика...........................................133
3.1.2. Сходимость к статистическому равновесию............136
3.1.3. Условие перемешивания..............................137
3.1.4. Статистические условия и результаты................137
3.1.5. Примеры............................................141
3.2. Приложение ко Второму закону..............................143
3.2.1. Поток энергии......................................144
3.2.2. Гиббсовские меры...................................146
3.3. Оценки для начальной ковариации...........................149
3.4. Компакность семейства мер.................................150
3.5. “Вырезание” критического спектра..........................151
3.5.1. Равномерная непрерывность ковариации...............151
3.5.2. Равномерная непрерывность характеристических функционалов .................................................153
3.6. Сходимость корреляционных функций для некритического спектра...................................................153
3.6.1. Сходимость С)1(х,у)................................154
3.6.2. Сходимость С£{х,у).................................156
3.6.3. Сходимость <Э[(ж,2/) ..............................160
3.7. Техника Бернштейна........................................163
3.7.1. Осциллирующие интегралы и метод стационарной
фазы...............................................163
3.7.2. Разбиение на ’’комнаты - коридоры”.................165
3.8. Условие Линдеберга........................................170
3.9. Эргодичность и перемешивание для предельных мер . . . .173
3.10. Дополнения...............................................175
3.10.1. Дополнение А5. Динамика и ковариация в преобразовании Фурье.............................................175
3.10.2. Дополнение А6. Об ослаблении условия перемешивания ....................................................177
4. Литература 185
4
Резюме. Работа посвящена доказательству слабой сходимости мер для непрерывных и дискретных систем, описываемых гамильтоновыми уравнениями в частных производных и разностными уравнениями.
Рассматриваются гиперболические уравнения в IRn, п > 1, с постоянными или переменными коэффициентами, а также, разностные уравнения в Жп, п > 1. Предполагается, что начальная случайная функция удовлетворяет условию перемешивания и близка при хп —> ±оо к двум различным трансляционно-инвариантным процессам с распределениями /х±. Изучается распределение fit случайного решения в момент времени t £ IR. Основной результат - доказательство слабой сходимости мер fit к гауссовой мере при t -> оо, что означает центральную предельную теорему для рассматриваемых уравнений. В работе дается приложение к случаю гиббсовских мер fi± = д± с двумя различными температурами.
5
0.1. Введение
0.1.1. Актуальность темы
Изучение слабой сходимости мер для уравнений в частных производных и для разностных уравнений является одной из интересных и актуальных задач современной теории вероятностей. Это связано как с теоретической важностью изучения поведения статистических решений, так и с исследованием математических проблем статистических физики непрерывных и дискретных систем.
Проблема математического обоснования статистической физики возникла в 19 веке, когда Максвелл, Больцман и Гиббс применили равновесные (гиббсовские) статистические распределения для вычисления средних значений физических величин: средних энергий и скоростей молекул газа, величины свободного пробега и т.п. (см. книгу [30]). Это привело к хорошим результатам для теплоемкости газов и твердых тел, электропроводимости металлов и т.д. Такой подход оказался удивительно успешным в классической и еще более в квантовой физике, но математическое обоснование роли равновесных мер до сих пор является открытой проблемой.
Эргодическая теория Биркгофа и фон Неймана была одной из первых попыток такого обоснования (см. [7, 72, 73]). Однако эргодичность реальных физических систем (газов, жидкостей, электронов в металлах и пр.) до сих пор не доказана. Далее эргодическая теория получила бурное развитие для гладких конечномерных динамических систем, начиная с 1939 г. в работах Хопфа (об эргодичности геодезического потока на многообразиях (постоянной) отрицательной кривизны [87]) и Аносова и Синая (1967) (об эргодичности У-систем, [3, 82]), подробнее см. в обзорной статье [4].
В 50-х годах появляются работы, в которых впервые изучаются бесконечномерные системы, отвечающие движению бесконечного числа невзаимодействующих частиц (см. статью Добру шина [33]). Первые достижения на этом пути - результат Волковысского и Синая (1971) для идеального газа [25] и Синая (1972) для одномерных твердых шариков [83]. Эр-годические свойства системы твердых стержней были также исследованы в работе Айзенмана, Голдстейна и Лейбовица [1, 2], а для газа Лоренца -в работе Бунимовича и Синая [20]. Для решетчатых систем эргодичность и перемешивание впервые доказаны Лэнфордом и Лейбовицем в 1975 г. в
б
статье [69] для начальных мер, которые являются абсолютно непрерывными относительно канонической гауссовой меры. В 1977 г. Лейбовиц и Шпон [84] доказали сходимость к равновесию для одномерной цепочки гармонических осцилляторов в случае двух-температурных начальных мер, т.е. начальная случайная функция ’’далеко слева” (при х < —N) и ’’далеко справа” (при х > N) совпадает с двумя различными однородными случайными процессами, которые имеют гиббсовские распределения с температурами /З^1 ф ^ . Эта работа является продолжением исследований Лейбовица и др. (см., например, [71, 80]), где изучаются стационарные состояния конечного гармонического кристалла, т.е. одномерной цепочки N гармонических осцилляторов, которые на правом и левом концах связаны с двумя тепловыми резервуарами с температурами и
Я1-
В 1977 г. в своем докладе на заседании Московского математического общества (см.[35]) Добрушин высказал новую идею обоснования равновесных распределений, отличную от эргодичности: равновесная мера должна появиться как предельная теорема, вытекающая из условий перемешивания на начальные распределения. Эти условия перемешивания были введены Добрушиным и Суховым [35, 37] при исследовании сходимости к равновесным мерам для свободного движения в системах бесконечного числа частиц или одномерных твердых стержней. Затем аналогичные результаты в этом направлении были получены Болдригини, Пеллегри-нотти и Триоло в статье [8] для одномерных решетчатых систем.
В многомерном случае результаты для решетчатых систем не были известны. Исследование многомерных задач имеет важное значение для теории теплопроводности твердого тела. В работах Наказавы [71] и Райдера, Лейбовица, Лиеба [80] предложен метод построения равновесных мер в двух-температурной задаче. Однако сходимость при Ь -» оо не рассматривалась.
В недавних работах Экмана и других [57]-[59] исследовалась сходимость к равновесной мере для одномерной конечной цепочки ангармонических осцилляторов, связанных с двумя тепловыми резервуарами. Для многомерных задач подобная сходимость является открытой проблемой. В работах Экмана и других доказательство сходимости сводится к исследованию стохастического конечномерного уравнения. Заметим, что в исследуемых нами задачах сведение к конечномерной системе невозможно.
7
В 80-х годах Комеч, Копылова и Ратанов впервые начали изучать эргодические свойства динамических систем, описываемых гиперболическими уравнениями в частных производных (см. [66, 67, 75, 76]). Они доказали сходимость к равновесным мерам при условии, что начальная мера является трансляционно-инвариантной и удовлетворяет условиям перемешивания типа Ибрагимова [63] или Розенблатта [81]. Однако, для неоднородных начальных мер результатов не было. Это и дало импульс к настоящему исследованию.
В работе рассматриваются уравнения в частных производных и разностные уравнения. Для всех уравнений предполагается, что начальные данные - случайная функция, удовлетворяющая условию перемешивания типа Розенблатта или Ибрагимова. Через fit обозначается распределение решения в момент времени t 6 lit. Основная задача исследования -доказать слабую сходимость мер
Щ -> Мэс при t —> оо, (0.1.1)
где с - гауссова мера. В главах 1, 2 и 3 рассматриваются, соответственно, уравнения акустики, Клейна - Гордона и упругой тг -мерной решетки, состоящей из гармонических осцилляторов. Эти системы имеют существенные различия и требуют соответствующей модификации методов, которые и излагаются в каждой главе диссертации.
Отметим, что хотя постановка проблемы связана с одним из направлений в обосновании статистической физики, исследование основано на методах теории дифференциальных уравнений в частных производных и теории случайных процессов: теоремах вложения Соболева, формулах Кирхгофа и Герглотца - Петровского, энергетических оценках, методе стационарной фазы для осциллирующих интегралов, теории рассеяния, критерии компактности Прохорова, методе комнат - коридоров Бернштейна, предельных теоремах в условиях слабой зависимости и т.д. (Подробнее см. в разделе 0.1.4).
8
0.1.2. Обозначения и определения
Рассматриваются три вида уравнений:
I. Волновое уравнение в Ип (п > 3 и нечетно) с постоянными или переменными коэффициентами вида
й(х, I) = £ 3^(а;Цх)3/.д(х, 0) “ ао(я)м(х, £), ж Е Ш.п, £ Е Ш.. (0.1.2) М=1
где 3; = ——, и(х,Ь) Е Ш. Предполагается, что (I) коэффициенты урав-
ОХ у
нения достаточно гладкие, причем при \х\ > До уравнение (0.1.2) имеет вид
й(х^) = Дд(х,£);
(и) ао(х) > 0, и матрица (а^(х)) положительно определена при всех хЕК". Наконец, требуется выполнение так называемого условия нело-вушечности (см. условие Э на стр.234 в [22]), заключающегося в уходе на бесконечность при £ -> оо всех лучей уравнения (0.1.2).
II. Уравнение Клейна - Гордона в Ш," (п > 2) с постоянными или переменными коэффициентами вида
й(х, £) = 51(^7 “ гЛ^(х))2ц(х,£) — т2 д(х,£), а: Е Нп. (0.1.3)
Здесь т > 0, (Л^х),..., А„(х)) - потенциал магнитного поля, д(х,£) Е (С . Предполагается, что коэффициенты А3[х) - гладкие, вещественные функции, причем А^(х) = 0 при |х| > До* В случае п = 2 дополнительно предполагается, что
ЗЛ1 ЗЛ2 3^2 3x1 *
Для уравнений (0.1.2) и (0.1.3) предполагается, что (д(-,£),й(-, £)) Е С(П1, Д), где Д = Я/ос(П1Г|) © #/ЦП1п) - пространство Фреше пар V = (и(х),у(х)) действительных функций гг(х), у(х) с локальными энергетическими полунормами
Мд = / (М*)Р + \Уи(х)\2 + \у(х)\2)с1х < оо, УД>0.
И <п
О
III. Разностное уравнение в Жп (п > 1) вида
й(х,1) = - £ У(х-у)и(у,1), хежп. (0.1.4)
уетп
Здесь и(ж,£) = (дЦж, £),..., г^ОМ)) £ И1(/, д > 1; У(я) = (Уы{х))ц=1 - действительная матрица взаимодействия (или сила). На матрицу V накладываются условия Е1-ЕЗ (см. с.133), из которых вытекает, что ее
А
преобразование Фурье (У(в)) есть действительно-аналическая эрмитовая и неотрицательно определенная матрица для каждого 0 £ Тп, где Тп -п-мерный тор Ш!1/2кЖи. Это означает, что уравнение (0.1.4) - гиперболическое, подобно волновым и Клейна - Гордона уравнениям.
Для уравнения (0.1.4) предполагается, что (г/(*, £),&(*,£)) £ 0(111,%«), где %а - гильбертово пространство пар У = (п(ж),^(я)) Ж^-значных функций от х £ Жп с нормой
11*11« = Е (М®)12 + 1Ф)12)(1 + И2)а<оо-
Для уравнений (0.1.2), (0.1.3) и (0.1.4) изучается задача Коши с начальными данными
и(х, £)|(=о = «о(г), й(х, <)|,=о = Уц(ж). (0.1.5)
Обозначим У(£) = (1/0(£),У1(£)) = (и(-,£),й(-,£)), У0 = (Уц11,^,1) =
Тогда задачи (0.1.2), (0.1.5); (0.1.3), (0.1.5); и (0.1.4), (0.1.5) имеют вид
У(£) - /*(У(£)), £ £ Ж, У(0) = У0. (0.1.6)
Предполагается, что начальные данные Уо принадлежат фазовому пространству £, которое в случае уравнений (0.1.2) и (0.1.3) совпадает с пространством %, а в случае уравнения (0.1.4) - с пространством %«, а 6 Ж.
Следующее предложение для уравнений (0.1.2) и (0.1.3) вытекает из [70, теоремы У.3.1, У.3.2] в силу конечности скорости распространения, а для уравнения (0.1.4) будет доказано в третьей главе (см. предложение 3.1.4).
Предложение 0.1.1. (I) Для любого Уо £ £ существует единственное решение У(£) £ С(Ж,£) задачи Коши (0.1.6).
(и) Для любого £ 6 Ж оператор и{£): Уо У(£) непрерывен па £.
Предполагается, что начальные данные Уо - случайная функция с распределением до на пространстве £, причем мера до обладает нулевым средним, и начальная корреляционная матрица (^о (х?2/)),^=о,1 >
<?{?(*,у) := /УфУ'Мми = 0,1,
имеет вид
(]1 (х — у), ХП)УП <С—а,
<2и(я,у) =
Й(ж-у), хп,уп>а.
(0.1.7)
Здесь у±(я — у) - корреляционные функции некоторых трансляционноинвариантных мер Да- с нулевым средним значением, а; = (х\9Х2,... ,хп), у = (УьУ21‘*мУп)> и а > 0. Мера ди не является трансляционно-инвариантной, если ql ф q+. Далее предполагается, что начальная мера До обладает конечной средней плотностью энергии. В частности,
«(*)|2 + М(*)|2] = <№,*) + Ql'M < 00. (0.1.8)
Наконец предполагается, что начальная мера до удовлетворяет условию перемешивания типа Розенблатта или Ибрагимова, которое означает, грубо говоря, что
У»(ж) и У0(у) являются асимптотически независимыми (0.1.9) при \х — у| —> оо.
В параграфе 1.2.2 построены общие примеры начальных мер ди, удовлетворяющих всем наложенным условиям.
Через fit(dY), £ £ IR, обозначается мера на пространстве £, которая является распределением случайного решения У(£) задачи (0.1.6).
Для борелевской вероятностной меры д обозначим через д её характеристический функционал (преобразование Фурье)
£(Ф)=/ехр(г(У,Ф»^У),
Через V обозначается пространство [Cq°(IRw)]2 в случае гиперболических уравнений (0.1.2), (0.1.3) и пространство [Co(Zn) х IR ]2 - в случае
11
разностных уравнений (0.1.4). Вероятностная мера /х называется гауссовской (с нулевым математическим ожиданием), если ее характеристический функционал имеет вид
А(ф) = ехр(~2(Ф,Ф)), ФеХ>,
где Q - действительная неотрицательная квадратичная форма на V, Мера fi называется трансляционно-инвариантной, если
/|СГ*В) = /£(В), VB€B(£),
где T,X(x) = Y(x-h).
Изучается распределение fit случайного решения в момент времени t £ IR. Основная цель диссертации - доказать слабую сходимость мер (0.1.1) к равновесной мере /Хоо, которая является гауссовской мерой. По определению это означает сходимость
/ J(Y)MdY) -> / f(Y)>iK(dY) при t -4 со (0.1.10)
для любого ограниченного непрерывного функционала f(Y) на соответствующем пространстве.
Аналогичная сходимость имеет место при t —> —оо, так как рассматриваемые системы обратимы по времени.
0.1.3. Основные результаты Перейдем к описанию результатов.
I. Волновое уравнение
В первой главе изучается волновое уравнение (0.1.2). Чтобы сформулировать основной результат для этого уравнения введем сначала корреляционную матрицу предельной меры в случае постоянных коэффициентов. Определим для почти всех я, у £ Ш." матричнозначную функцию
Qoc(X)V) = (Qx{X^y))itj=Qf\ = {Ях{Х ~ 2/))|,;=и,1 > (0.1.11)
где <7эс(я) = <7* (я) + q^(x). В преобразовании Фурье функции q% опреде-
ляются следующими формулами:
чШ = №)> (0.1.12)
g-(fc) = £sgn(^^|M0-(fe), (0.1.13)
12
где
ВД “ \(чЧЬ) + С(к)ч+(к)С'(к)), (0-1.14)
М<;(к) := \(С(к)ц(к)-ц(к)С'(к)). (0.1.15)
Здесь я+ := ^(<?++ <?_), q~ := ^(<?+-<?_), функции q± введены в формуле
*<*> := (-цц “74) - := ("-•(*) '"о(Ч) <°-1Л6>
с и(к) = \к\. В координатном пространстве функции qt£(x) задаются формулами (1.2.7) - (1.2.9).
Пусть 5 - произвольное положительное число.
Определение 0.1.2. Нб - гильбертово пространство функций У = (и, и) е К с конечной нормой
ЦУ|| = /е-^Аф)!2 + |Уд(х)|2 + |г;(х)|2)^х < со.
Обозначим через 2эс(Ф»Ф) действительную квадратичную форму на пространстве V = [Со°(П1п)]2, определенную следующим образом
бо=(*,ф) = Е / ЯМъу)П*)*}(у)<1х(1у.
Заметим, что форма 2*, непрерывна на пространстве Н'ь в силу следствия 1.5.3.
Обозначим через Я*0С(Щ,П), $ Е Н, локальные пространства Соболева (определение пространств Я^к.(Щ”) см. на с.30) и
п* = н£3(Ю Ф нию, * е И-
Используя стандартные методы псевдодифференциальных операторов и теоремы вложения Соболева (см., например, [61]), можно доказать, что Я° = Я С К~€ для каждого е > 0, и это вложение - компактно.
Основной результат первой главы - доказательство слабой сходимости мер Ц1 в пространствах Фреше Н~Е с любым е > 0,
/Н~*
/х* —7 Цэс при £ —> оо, (0.1.17)
13
где предельная мера /х^ - борелевская гауссовская мера на пространстве Я, и ее характеристический функционал имеет вид
/МФ) = ехр{-^0ос(И'Ф,И'Ф)}, ФеХ>.
Здесь W : V Ц$ - линейный непрерывный оператор для достаточно малых $ > 0, и W = /, если Ьд(ж) = 0, а()(х) = 0. В параграфе
1.15 доказывается, что группа U(t) обладает свойством перемешивания относительно предельной меры с .
II. Уравнение Клейна - Гордона
Прежде, чем сформулировать основной результат для уравнения Клейна - Гордона (0.1.3), определим корреляционную матрицу предельной меры /х^ в случае постоянных коэффициентов. Введем матричнозначную функцию
Q<x{X)U) = [Qoc{X>y))i,)=\),\ = ~~ 2/))*,;=о,1> Х>У ^ ’ (0.1.18)
где д£(х) = и ql£. определяются формулами (0.1.12) - (0.1.16) с
v(k) = y/\k\2 + m2.
Обозначим через 2ос(Ф,Ф) действительную квадратичную форму на пространстве Я = L2(IRn) ф #l(lRn), определенную следующим образом
2ос(Ф,Ф)= Е / {Q'i,{x,y),'l!,{x)®'i!3(y))dx(ly,
*J=0,1 DlnxIRn
где функции Q^x^y) определены формулами (0.1.18) и (0.1.12) - (0.1.16), а через (*,*) обозначается действительное скалярное произведение в IR2x 1R2 = ffi4. Заметим, что форма непрерывна на пространстве Я в силу следствия 2.4.3.
Основной результат второй главы - доказательство сходимости (0.1.17) для любого € > 0. При этом предельная мера /х^ является гауссовской равновесной мерой на пространстве Я, и ее характеристический функционал имеет вид
Аэс(Ф) = ехр{-^д5е(1УФ,1УФ)}, Фе£.
Здесь W : V Я - линейный непрерывный оператор, и W = I, если А,(х) = 0.
Приложение. Результаты первой части применяются в случае гиббсовских мер = д± с двумя различными температурами Т+ ф Т_. Формально,
(А , ч 1 -^/(М*)12+1^ио(®)|2+т2||1о(®)|2)с&
(0.1.19)
где т > 0, /3± = Т±{ и Т± > 0 - соответствующие абсолютные температуры. Определение гиббсовских мер д± уточняется в параграфах 1.4.1 и 2.3.1. Гиббсовские меры д± имеют сингулярные корреляционные функции и не удовлетворяют условию (0.1.8). Поэтому вводятся гауссовские случайные процессы У±, соответствующие мерам д±, и определяются “сглаженные” меры дв± как распределения сверток У± * в, где в Е И = Со°(И1"). Меры удовлетворяют всем наложенным предположениям, и сходимость двь —г двх при £ -4 оо вытекает из сходимости (0.1.17). Отсюда следует слабая сходимость мер # —г дХ) £ —> оо, в силу произвольности функции 0. В работе доказано, что предельный поток энергии для дх равен (формально)
]* = -сх>.(0,...,0,Т+-Т_).
Эта бесконечность связана с ’’ультрафиолетовой расходимостью”. Поток энергии имеет конечное значение в случае сглаженных мер двх и равен
£ = -св-(о,...,о,т+-г_),
если функция в(х) осесимметрична относительно Охп\ Св > 0, если в{х) ф 0. Это соответствует Второму Закону термодинамики.
III. Гармонический кристалл
В третьей главе диссертации изучается уравнение (0.1.4).
Обозначим через V(в) преобразование Фурье матрицы взаимодействия V(х) и определим эрмитову неотрицательно определенную матрицу
П(0) := (Г(<9))1/2>0
с собственными значениями Ш\(0) = ... = и>Г1(0), иГ1+\(в) = ... = и/Г2(0), ^г,_1+1 = ... = шг,{0) , где г3 = с*.
15
Введем корреляционную матрицу предельной меры /іос . Она трансляционно-инвариантна, т.е.
= Шх - у)),,,=о,1. (0Л-20)
и в преобразовании Фурье имеет вид
Ш = (0.1.21)
где
яШ ■■= t можтлв), (0.1.22)
<7=1
Ш “ Elsgn(^(0))n^)Mn-(0)n^). (0.1.23)
Здесь 11^(0) - спектральная проекция, соответствующая собственному
значению и)Га{в) (см. лемму 3.1.2 (iv)), q+ := -(g+-fg_), q“ := -(д+-д_), матрицы M(, задаются формулами (0.1.14) и (0.1.15) с
йW := (-ад °Т) • := (n-m "Т) • <ол м»
Пусть Ф = (Ф^Ф1) Є S := [5(Zn) 0 IR^]2, где 5(Zn) - пространство действительных последовательностей, убывающих на бесконечности быстрее любой степени. Обозначим через Qx квадратичную форму с матричным ядром (Q&(®,2/)),,;=о,ь
«*(*,*)= Е Е (0.1.25)
«iJ=0fl х,уЄ2.п
Основной результат третьей главы - доказательство сходимости
fit —7 при £—>оо, (0.1.26)
для а < —п/2. При этом предельная мера fix - гауссовская трансляционно-инвариантная мера на пространстве Иа с а < —п/2, и ее характеристический функционал имеет вид
дсс(Ф) = ехр{-^д00(Ф, ф)}, ф є <s,
где Q?с - квадратичная форма, определенная в (0.1.25).
16
Полученные результаты применяются в случае гиббсовских мер /i± = д± с двумя различными температурами Т±. В разделе 3.2.2 выводится формула для предельной средней плотности потока энергии (см. формулу (3.2.12)). В замечании 3.2.2 показано, что при некоторых дополнительных условиях на матрицу V предельная средняя плотность потока энергии равна
]ос = -С(0,...,0,Т+-Т_), (0.1.27)
с некоторой положительной константой С > 0. Формула (0.1.27) показывает, что поток энергии (тепла) внутри системы постоянен и направлен от более высокой температуры к более низкой.
0.1.4. О методах исследования
I. Волновое уравнение
Объясним сначала результат в случае постоянных коэффициентов и п = 3. В этом случае задача (0.1.2), (0.1.5) имеет вид:
й(х, t) = Ди(ж, £), х 6 III3,
(0.1.28)
^|*=0= ^о(®)> *|j=|)= V{\(x).
Доказательство сходимости (0.1.17) в случае постоянных коэффициентов разбивается на три этапа, используя методику [45, 76].
I. Семейство мер fit у t > 0, является слабо компактным в подходящем пространстве Фреше.
II. Корреляционные функции сходятся к пределу: для ij = 0,1,
Q?(*>v) = I Y\x)Y>(y)m(dY) -4 <№,»), t -4 (X). (0.1.29)
III. Характеристические функционалы сходятся к гауссовскому:
Д/(Ф) = /ехр(г(У,Ф))^<(<1У) -4 ехр{-^20С(Ф,Ф)}) t ^ оо, (0.1.30)
где Ф £ V, и Q-X - квадратичная форма с интегральным ядром (Q!£(a;,?/)),tJ=Uti; через (У, Ф) обозначается скалярное произведение в действительном гильбертовом пространстве L2(Dln) ® Ш, .
17
- Київ+380960830922