2
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ ................................................. 5
§ I. Статистические и индивидуальные эр-годические теоремы и усиленные законы больших чисел ..................................... 5
§ 2. Краткое содержание работы ...................... 10
§ 3. Предварительные сведения ....................... 13
ГЛАВА I. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ НА ПЕРЕМЕШИВАЮЩИХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ I. /^'г-пространства .............................. 23
§ 2. Примеры /^/х-пространств........................ 29
§ 3. Об усреднении одного класса векторнозначных функций ..................................... 31
§ 4. Эргодические свойства Миг-пространств 35
ГЛАВА II. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ И ЯДЕР ОДНОРОДНЫХ
з
СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ НЕПРИВОДИМЫХ РИМАНОВЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ РАНГА I И ПРОСТРАНСТВЕ ЕВКЛИДА § I. Асимптотическое поведение зональных
сферических функций .......................... 39
§ 2. Асимптотические свойства ядер пространств ранга I .................................... 47
§ 3. О скорости убывания корреляционных
функций случайных полей на пространстве Евклида и некомпактных неприводимых римановых симметрических пространствах ранга I ............................ 63
ГЛАВА III. КРИТЕРИИ УСИЛЕННОГО ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ НЕПРИВОДИМЫХ РИМАНОВЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВАХ РАНГА Г
§ I. Специальное представление средних
однородного ПОЛЯ ............................... 69
§ 2. Критерии усиленного закона больших
чисел .......................................... 94
§ 3. Критерии локального усиленного зако-
на больших чисел ЛИТЕРАТУРА ...............
5
ВВЕДЕНИЕ
§ I. Статистические и индивидуальные эргодические теоремы и усиленные законы больших чисел
Основным объектом изучения данной работы является класс однородных в широком смысле случайных полей на локально компактных однородных пространствах.
Пусть Р) - вероятностное пространство, 1_2 (Я,
Р,Р) - гильбертово пространство всех комплекснозначных Р -измеримых случайных величин иг с Е(\^\2) < 00 ;
X- локально компактное однородное пространство, В~ б-алгебра борелевских множеств из X, ^е^/} - сеть (обоб-
щенных) мер , определенных на В, N - направленное множество; £(х), X е X, ~ однородное в широком смысле случайное поле.
Сеть обобщенных мер (Ъ £ N] называется статисти-
чески усредняющей, если для любого однородного в широком смысле случайного поля на X имеет место следующее равенство:
(и 6т Г£Ши.Ас1х) ■= £,
/\ Л
где £ - инвариантная относительно сдвигов поля £(’) случай-
А
ная величина (точное определение £ дано в пЛ § 3 Введения).
С каждой обобщенной мерой уг на В и каждым множеством А е В , для которого О < I (А)\ < <=о, можно связать меру
б
^А/11 ~]^(А^’)/^(А). При этом для любого £(')
на XJ£(х) ))А ^(о[х) ~~(д) ^%(х)^(с1х). Сеть измеримых
х у а
множеств {А„ , XI е N} называется статистически усредняю-
Г 6
щей, если О < ) (Ап) | < со и сеть мер { )>А , П е N }
является статистически усредняющей. Статистическими эргодичес-кими теоремами обычно называют предложения, устанавливающие условия, при которых сеть мер {_/•£„, /2 е /V] или, как частный случай, сеть множеств {А } п е Л/} является статистически усредняющей.
Сходимость случайных величин вида /£(х) и, (скс) естес-
твенно рассматривать не только в смысле сходимости в /_2 , но и с вероятностью Г. Пусть - некоторый класс однородных в широком смысле случайных полей й(-) на X . Будем говорить, что сеть мер {уу^, /г £ N } индивидуально усредняет класс (или, короче, является С} - индивидуально усредняющей), если для любого поля £(•) из С} с вероятностью I существует предел
&лг / £ (х) иЛскзс) = £.
гье N X ^ гь
Сеть измеримых множеств {Аа , П е а/} называется С{- индивидуально усредняющей (относительно меры уг. ), если О <
< (/х-(А )1< °° и сеть мер Л* Л/} является индиви-
дуально усредняющей. Предположения, устанавливающие условия, при которых сеть мер {]1л,пе А/} или сеть множеств {А0, /г е/V) является индивидуально усредняющей, обычно
7
называют индивидуальными эргодическими теоремами (для класса С[ ). С индивидуальной эргодической теоремой тесно связан усиленный закон больших чисел. Если для любого входящего в класс О, случайного поля сделано некоторое предположение о "слабой зависимости" его значений (такое условие может быть, например, выражено в терминах скорости стремления к нулю корреляционной функции Я,(Ь) этого поля при Ь —>00 или поведения его спектра в нуле), то индивидуальную эргодическую теорему для такого класса обычно называют усиленным законом больших чисел. (При этом из указанных условий "слабой зависимости" вытекает,
/ч
как правило, равенство £ = Е £ п.н.)
Наряду с рассмотренными выше "глобальными" индивидуальной и статистической эргодическими теоремами рассматриваются "локальная" статистическая эргодическая теорема, то есть
и "локальная" индивидуальная эргодическая теорема: с вероятностью I существует предел
В отличии от "глобального" усиленного закона больших чисел для "локального" усиленного закона больших чисел условия "слабой зависимости" заменяются условиями на поведение корреляционной функции поля в нуле или его спектра на бесконечности.
Основополагающими работами в области (глобальных) статистических и индивидуальных эргодических теорем явились работы Неймана [52], Биркгофа [56] и Хинчина [4-2] . Теорема, доказан-
(І-) &лг f и Ых) = £(х0),
2 /ге/У %
8
ная Нейманом, утверждает по существу, что сеть промежутков {[Г,, тг]} (7^ Т7, г'°°) является статистически усредняющей
на 2 (относительно считающей меры) и на Л (относительно меры Лебега); теорема Биркгофа - Хинчина утверждает, что для класса стационарных в узком смысле процессов (с 21 2>{0)\ < 00 )
сеть множеств {(“Г, Г)} при Г—>оо является индивидуально усредняющей на £ и Л . Первое обобщение указанных теорем для других однородных пространств было дано Винером [58] и Данфордом [44] , которые показали, что сеть концентрических шаров {радиус) в евклидовом пространстве Я,171, является статистически и индивидуально (для однородных в узком смысле случайных полей) усредняющей при . Питт [53] обобщил
этот результат, доказав, что усреднение возможно не только по сетям концентрических шаров, но и по более широкому классу "регулярных" сетей множеств. Дальнейшее обобщение статистических и индивидуальных эргодических теорем принадлежит Кальдерону Г4Я , который на некотором классе аменабельных унимодулярных локально компактных групп нашел статистически и индивидуально усредняющие семейства множеств (относительно инвариантной меры). В последующих работах эргодические теоремы были распространены на общие аменабельные группы, причем были найдены весьма широкие классы усредняющих сетей мер и множеств. В этих обобщениях фигурируют "эргодические" сети мер и множеств, существующие на аменабельных группах и только на них. Наиболее просто, например, определяются эргодические последовательности множеств для локально компактной группы 2 : последовательность измеримых множеств {Ап\ на Л
'С'
называется эргодической, если О < < °<э,/г = и
- Київ+380960830922