Розділ 2
Оптимізація методів Фур’є томографії
Фур’є томографія відповідає випадку, коли в (1.1.2) величини лінійно залежать
від значень градієнтів та часу . Реконструкцію зображень спінової густини
проводять за допомогою перетворення Фур’є вхідних даних (1.1.3). Ці методи
[[liii]] є одними з найкращих і найпоширеніших методів отримання ЯМР зображень,
оскільки мають високу стійкість та високу обчислювальну ефективність (порядку
операцій), проте існує ряд проблем.
У розділі теоретично досліджується запропонований метод (п. 2.1), який дозволяє
зменшити кількість даних (зменшити час сканування) для реконструкції
тривимірних зображень шляхом використання двовимірних зображень великої
товщини, знятих з кроком меншим товщини перерізу методами Фур’є томографії.
Окремо як проблема зменшення часу сканування так і проблема зменшення
поперечної товщини перерізу є суттєвими. Особливо вони актуальні при переході
на томографічні системи з малою напруженістю поля, оскільки вони
характеризуються малою роздільною здатністю та великою товщиною перерізу.
Також проводиться теоретичне та експериментальне дослідження запропонованого
методу реконструкції, що не має недоліків, пов’язаних з неврахованою
релаксацією і дозволяє одночасно реконструювати розподіл спінової густини та
часу поперечної релаксації (п. 2.2) за сигналом, отриманим на томографічній
апаратурі широкого використання. Проблема впливу неврахованої релаксації в
методі Фур’є реконструкції є суттєвою у випадках малих часів релаксації,
тривалого періоду збору даних та необхідності реконструкції спінової густини та
релаксаційних характеристик з малого набору даних. Результати опубліковані в
[54, 57, 60].
2.1 Реконструкція тривимірних зображень за двовимірними зображеннями, що
перекриваються
У двовимірній Фур’є томографії селективне збудження певної площини (зрізу)
відбувається шляхом прикладання градієнту магнітного поля у напрямку
перпендикулярному даній площині і застосування радіочастотного збудження даної
площини.
Для збудження зрізу (повороту спінів на певний кут) прикладаються модульовані
РЧ імпульси, частота заповнення яких є резонансною для певної площини.
Найчастіше огинаюча цих імпульсів має форму близьку до прямокутної, гаусової
кривої або головного максимуму функції sinc(x). Відомо, що такі РЧ імпульси
мають спектр частот, який співпадає з спектром огинаючої, але зміщений від нуля
на величину частоти заповнення. Тобто реально умова резонансу буде виконуватися
для всіх площин, а інтенсивність збудження (кут відхилення спінів) для різних
площин буде залежати від спектральної густини тих частотних компонент
збуджуючого імпульсу, на яких ці площини резонують. Оскільки для вищезгаданих
огинаючих при відхиленні частоти від нуля спектральна густина досить швидко
падає, то відгуком від площин, які відповідають частотам, що знаходяться далеко
від частоти заповнення, можна знехтувати. Шириною зрізу звичайно називають
перерахований в просторові координати частотний інтервал в межах якого
зосереджено 90% енергії імпульсу збудження. Очевидно, що для потреб медичної
діагностики перерізи можуть мати велику товщину, оскільки це дає можливість
збільшувати співвідношення сигнал-шум, візуалізувати більше сусідніх структур.
Однак для планування хірургічних операцій треба отримувати зрізи якомога меншої
товщини, для забезпечення більшої точності локалізації перерізу.
Розглянемо модель, що описує залежність параметрів сигналу від умов отримання
двовимірного ЯМР зображення.
Виберемо систему координат таким чином, щоб напрямок осі співпадав з напрямком
сталого магнітного поля . Нехай магнітне поле обертається навколо напрямку в
площині з частотою Лармора, що відповідає частоті ядерного магнітного резонансу
в магнітному полі з індукцією . Тобто
,
, де - гіромагнітне відношення.
Згідно [3] у такому випадку при умові резонансу залежність кута повороту
намагніченості від рівноважного напрямку в часі дається формулою:
Тобто в системі координат, що обертається навколо осі з частотою намагніченість
прецесує з частотою Лармора, яка задається значенням магнітного поля .
Розглянемо тепер випадок коли магнітне поле залежить від часу за довільним
законом, що має місце у випадку збуджуючого РЧ імпульсу довільної форми.
Нехай магнітне поле РЧ імпульсу збудження має амплітудний спектр , тоді для
кожної окремої точки досліджуваного об’єкту, що резонує на частоті має місце
розглянутий вище випадок, а значення амплітуди поля збуджуючого імпульсу для
даної точки дорівнює .
Якщо на частоті , що відповідає певній виділеній площині спіни за деякий час
повернулись на кут , то за той самий час спіни в площині, що відповідає умові
резонансу на частоті w, повернуться на кут:
(2.1.1)
де - кут відхилення спінів в площині, що відповідає частоті заповнення .
Амплітуда сигналу відгуку певного елементу об’єму залежить від проекції
намагніченості на площину , а отже від кута відхилення спінів від свого
рівноважного значення, отже сигнал , що випромінюється певною точкою
досліджуваного об’єкту, яка резонує на частоті w пропорційний до величини:
де - значення спінової густини в точці, що резонує на частоті w. Припустимо, що
зріз отримується перпендикулярно до осі z в точці , тоді для отримання значення
сигналу спадання вільної індукції від всього об’єкту в рівнянні (1.1.2)
необхідно врахувати різний кут відхилення від рівноважного стану для різних
площин z. Отже з (1.1.2) після підстановки (2.1.1) отримуємо:
Для перерізу, знятого зі зміщенням
(2.1.2)
де (2.1.3)
(2.1.4)
- коефіцієнт пропорційності
Якщо виконати двовимірне Фур’є перетворення від