розділ 2.3), умови теплового контакту, а саме, умову термоізоляції в областях міжповерхневих зазорів і умови досконалого теплового контакту на ділянках безпосереднього налягання поверхонь. Такий крок дозволяє спростити вихідну задачу: як буде показано далі, вона, залишаючись нелінійною, перестає бути взаємозв'язаною, а тому допускає визначення температури в тілах незалежно від поля напружень та переміщень.
Нехай маємо два ізотропні півпростори з різними термопружними характеристиками. Поверхня одного з них (тіло 1, рис. 4.6) має геометричний дефект у вигляді кругової осесиметричної пологої виїмки малої висоти . Поверхня другого тіла є плоскою.
Віднесемо тіла до циліндричної системи координат (r, ?, z), ввівши її так, щоб вісь z збігалась з віссю симетрії виїмки, а вісь r лежала в площині розмежування тіл (рис. 4.6).
Тіла взаємодіють внаслідок прикладеного до них на нескінченності рівномірно розподіленого тиску p. Вважається, що контакт між тілами безфрикційний і односторонній. Крім того тіла піддані дії заданого на нескінченості однорідного теплового потоку q, спрямованого перпендикулярно до площини z=0.
Оскільки існує початкова виїмка, контакт тіл буде недосконалим. На деякій ділянці поверхні тіл не дотикатимуться і між ними утворюватиметься зазор. Поверхні тіл в межах поверхневого дефекту вільні від напружень.
Рис. 4.6. Схема контакту.
З огляду на осьову симетрію виїмки та її гладкість форма зазору буде круговою, а його розміри наперед невідомими. Вони мусять бути знайдені в процесі розв'язання задачі. Для визначення радіуса зазору використовується умова плавного змикання його берегів.
Вважаємо, що в області відсутності механічного контакту поверхні тіл теплоізольовані, а поза зазором виконуються умови досконалого теплового контакту.
Беручи до уваги все зазначене вище, можемо математично сформулювати контактну задачу термопружності. Задача полягає у тому, щоб визначити розподіл температури, напружень та переміщень в кожному півпросторі за однорідними рівнянням теплопровідності (2.11) та рівняннями рівноваги (2.14) при виконанні наступних граничних умов:
(4.29)
Для замикання задачі мусять бути долучені умови одностороннього контакту (2.19) та умова плавного змикання берегів зазору (2.18) (для випадку одного кругового дефекту), за допомогою якої визначається радіус зазору а.
Задачу розв'язуватимемо згідно з методикою, описаною у розділі 2.
У розв'язку виділимо дві компоненти
, (4.30)
перші з яких (з нижнім індексом нуль) описують основні поля температури, напружень та переміщень, і відповідають повному контакту тіл, а другі (з тільдою) описують збурення, зумовлені недосконалістю контакту.
Граничні умови для визначення основних полів мають вигляд
(4.31)
Після розв'язання задачі (2.11), (2.14), (4.31), яка є тривіальною, можемо записати
(4.32)
З урахуванням виразів (4.30), (4.32) граничні умови для визначення збурених полів запишуться у вигляді
(4.33)
Використовуючи подання (2.29)1, (2.29)2 для і задовольняючи відповідні умови контакту, задачу зведемо до системи парних інтегральних рівнянь
(4.34)
Аналізуючи структуру системи інтегральних рівнянь (4.34), легко бачити, що оскільки у перші два рівняння не входить висота зазору - характеристика механічного поля, то система розщеплюється і допускає почергове розв'язання: спочатку визначення стрибка температури з перших двох рівнянь, а потім висоти зазору з третього та четвертого. Крім того зі сказаного слідує, що стрибок температури на поверхні контакту, а значить, і розподіл температури в тілах не залежатиме від характеристик механічного поля. Це є відображенням невзаємозв'язаності полів температури та напружень і переміщень. Таким чином, використавши простіші умови теплового контакту, ми отримали невзаємозв'язану контактну задачу термопружності.
Парні інтегральні рівняння (4.34) розв'язуватимемо, використовуючи метод підстановок. Невідомі функції шукаємо у вигляді
,
, (4.35)
де - неперервно-диференційовні функції, що задовольняють умову . Проводячи викладки аналогічно до того, як це робилось у підрозділі 3.1, для визначення отримаємо інтегральні рівняння
(4.36)
Обертаючи рівняння (4.36) [165], знаходимо
(4.37)
Щоб завершити розв'язання задачі, необхідно визначити ще радіус зазору а. Для цього задовольнимо умову плавного змикання берегів зазору (2.18). В термінах функції вона записується
.
Підставляючи в останню рівність значення з (4.37), отримуємо алгебричне рівняння:
. (4.38)
Щоб знайти радіус зазору а треба обернути це рівняння. Але оскільки воно має, очевидно, не єдиний розв'язок, то виникає проблема вибору вітки, яка відповідає фізично правильним значенням. Критерій вибору вітки диктується фізичною природою явища: по-перше, радіус зазору має бути невід'ємним, по-друге, із зростанням механічного навантаження він має спадати. Приймаючи це до уваги, знаходимо
. (4.39)
Таким чином остаточно розв'язок задачі визначається формулами (2.29)1, (2.29)2, (4.35), (4.37), (4.39).
На основі отриманого розв'язку проведемо аналіз контактної поведінки системи, зосередивши увагу головним чином на тому, яким є вплив теплового навантаження і які нові ефекти спостерігаються у порівнянні з випадком чисто механічної взаємодії.
На рис. 4.7-4.13. проілюстровано графіки залежностей параметрів контакту від теплового та механічного навантажень. Для проведення числових розрахунків вводились безрозмірні величини за формулами: , , , , . При обчисленнях покладалось .
На рис. 4.7. показано графіки залежності радіуса зазору a від зовнішнього тиску p для різних значень параметра . Бачимо,