Розділ 2 присвячено вивченню нескінченних неабелевих груп із заданими обмеженнями на норми різних систем нескінченних підгруп. У якості таких обмежень виступає недедекіндовість відповідної - норми або скінченність її індексу у групі.
У підрозділі 2.1 вводиться поняття норми нескінченних циклічних підгруп. Зрозуміло, що така норма розглядається лише для неперіодичних груп і є максимальною підгрупою групи , котра нормалізує будь-яку нескінченну циклічну підгрупу. Норму нескінченних циклічних підгруп у групі позначатимемо .
У лемі 2.1.9 доведено, що норма нескінченних циклічних підгруп неперіодичної групи збігається з її центром, якщо останній містить елементи нескінченного порядку. Тому будь-яка скінченна над нормою NG(C?) неперіодична група майже абелева, а група без скруту - абелева (наслідок 2.1.5). Властивості норми нескінченних циклічних підгруп суттєво впливають на властивості самої групи. Зокрема, у теоремі 2.1.13 стверджується, що NG(C?) містить усі елементи нескінченного порядку групи G при умові, що підгрупа NG(C?) неабелева.
У підрозділі 2.2 вивчаються групи з заданими властивостями норми нескінченних абелевих підгруп. Так будемо називати перетин нормалізаторів усіх нескінченних абелевих підгруп групи за умови, що система таких підгруп непорожня. Норму нескінченних абелевих підгруп у групі G позначатимемо . Зрозуміло, що при умові будь-яка нескінченна абелева підгрупа групи є її нормальною підгрупою. Отже, є абелевою (у періодичному випадку дедекіндовою) або нескінченною IH-групою (див. [30]). Тому нескінченні групи, що є скінченними розширеннями своїх норм нескінченних абелевих підгруп, майже абелеві. Будову неперіодичної групи G, норма нескінченних абелевих підгруп якої є IH-групою, характеризує наступна теорема.
Теорема 2.2.11. Неперіодична група тоді і тільки тоді має неабелеву норму нескінченних абелевих підгруп, коли всі елементи нескінченного порядку групи породжують нормальну абелеву підгрупу , що містить кожну нескінченну абелеву підгрупу групи , і існує елемент b порядку 2 або 4, такий що для довільного елемента . При цьому .
Зрозуміло, що з неабелевості норми у неперіодичній групі випливає неабелевість групи , тому враховуючи теореми 2.1.13 та 2.2.11, одержимо, що ці норми збігаються. Обернене твердження, як показує приклад 2.2.13, невірне.
У зв'язку з існуванням груп О.Ю. Ольшанського, періодичні групи з недедекіндовою нормою нескінченних абелевих підгруп вивчалися за умови їх локальної скінченності. Було встановлено, що такі групи тоді і тільки тоді задовольняють умову мінімальності для підгруп, коли цю умову задовольняє підгрупа . Більш того, якщо є групою з умовою мінімальності для підгруп, то є скінченним розширенням її повної частини (теорема 2.2.16 та наслідок 2.2.17) і тому .
У підрозділі 2.3 вводиться ще одне узагальнення поняття норми - норма нескінченних підгруп групи. Так будемо перетин нормалізаторів усіх нескінченних підгруп нескінченної групи .
Якщо , то є групою, всі нескінченні підгрупи якої нормальні. Нескінченні неабелеві групи з такою властивістю вивчались
С.М. Черніковим у роботі [28] і були названі там INH-групами. Тому нескінченні неабелеві групи, в яких норма має скінченний індекс, розширюють клас груп, у яких нормальними є всі нескінченні підгрупи. Зокрема, у неперіодичному випадку такі групи вичерпуються скінченними розширеннями своїх центрів.
Теорема 2.3.7. У неперіодичній неабелевій групі норма нескінченних підгруп тоді і тільки тоді має скінченний індекс, коли група неабелева мішана й скінченна над центром.
Зазначимо також теорему 2.3.2, що є узагальненням теореми Бера [49] про співпадання норми групи та її центра у випадку неперіодичності .
Теорема 2.3.2. У неперіодичній групі норма нескінченних підгруп абелева і збігається з центром, якщо є неперіодичною групою.
Далі у підрозділі 2.3 досліджуються нескінченні локально скінченні групи, норма яких недедекіндова або має скінченний індекс у групі. У першому випадку встановлено, що група є скінченним розширенням квазіциклічної підгрупи , що є повною частиною норми . Відповідь на друге запитання дає теорема 2.3.13.
Теорема 2.3.13. Нескінченна локально скінченна група G тоді і тільки тоді скінченна над нормою NG(?) нескінченних підгруп, коли група G або скінченна над центром, або її центр скінченний і вона є скінченним розширенням прямого добутку Р скінченного числа квазіциклічних p-груп за одним і тим же p, причому Р - мінімальна повна нескінченна нормальна підгрупа групи G і кожний елемент з групи G, що не належить централізатору підгрупи Р, індукує на Р незвідний автоморфізм
У розділі 3 вивчаються групи, що мають недедекіндову нециклічну норму. Нагадаємо, що нециклічною нормою нециклічної групи G називають її максимальну підгрупу NG, яка нормалізує всі нециклічні підгрупи.
У підрозділі 3.1 встановлюються деякі допоміжні результати. Зокрема, тут доведено, що нескінченні локально скінченні групи, що мають недедекіндову норму , є скінченними розширеннями квазіциклічної підгрупи (теорема 3.1.7).
У підрозділах 3.2 та 3.3 вивчаються локально скінченні -групи (-довільне просте число), нециклічна норма яких недедекіндова. Будову таких груп описують теореми 3.2.1, 3.2.4 та 3.3.3.
Результати, встановлені в підрозділах 3.2 та 3.3, суттєво використову-вались у підрозділі 3.4, де розглядаються непримарні локально скінченні групи, нециклічна норма яких недедекіндова. Виявилось, що нескінченні групи такого роду локально нільпотентні. Їх будову характеризує наступна теорема.
Теорема 3.4.4. Нескінченні локально скінченні непримарні групи, що мають недедекіндову нециклічну норму NG, локально нільпотентні та вичерпуються групами типів:
1) G - нескінченна непримарна негамільтонова -група, G=NG ;
2), А - квазіциклічна 2-група, ?b?=?c?= =?d?=2, [b,c]=[d,c]=[d,b]=а1?А, ?a1?=2, [A,]=1, d-1ad=a-1 для будь-якого елемента а?А, (?у?,2)=1, NG;
3)G=, А - кваз
- Київ+380960830922