ГЛАВА 2
ФЕРРОМАГНИТНОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ В
СИСТЕМАХ СФЕРИЧЕСКИХ НАНОЧАСТИЦ
Хорошо известно, что причиной появления дальнего магнитного порядка в
большинстве известных в настоящее время магнетиков является обменное
взаимодействие. Однако и магнито-дипольное взаимодействие также может выполнять
эту роль. Класс систем, в которых магнито-дипольное взаимодействие структурных
элементов играет основную роль, включает также системы однодоменных
ферромагнитных частиц, случайно распределенных в немагнитной твердой матрице.
Так же, как и в системах атомных магнитных моментов, в системах ферромагнитных
наночастиц может происходить фазовый переход в ферромагнитное состояние.
В данной главе рассмотрена модель и приведены основные соотношения, на
основании которых получены: 1) уравнение для параметра
порядка системы однодоменных ферромагнитных сферических частиц;
2) точное выражение для среднего локального дипольного магнитного поля,
учитывающее не только параметры системы, но и анизотропию распределения частиц
в пространстве; 3) выражение для температуры фазового перехода
парамагнетик-ферромагнетик в системах сферических наночастиц; 4) рассчитаны
температурные зависимости параметра порядка для систем однодоменных сферических
ферромагнитных частиц.
2.1. Модель и основные уравнения
Будем рассматривать системы однодоменных ферромагнитных частиц, которые
случайным образом распределены в немагнитной твердой матрице. При рассмотрении
таких систем будем предполагать, что частицы одноосные и с некоторой
вероятностью занимают узы пространственной решетки. Будем считать, что
взаимодействие между частицами систем является магнито-дипольным.
Однодоменные ферромагнитные частицы можно охарактеризовать с помощью магнитного
момента . Движение вектора без учета диссипации описывается с помощью уравнения
Ландау-Лифшица [79]
, (2.1)
где
– гиромагнитное отношение, рассматриваемое как феноменологический параметр,
характеризующий коллективное движение магнитных моментов в магнитном
материале;
– эффективное магнитное поле, действующее на магнитный момент.
Магнитное поле представляет собой производную от полной энергии магнитного
материала и определяется выражением:
Магнитная энергия частицы [80, 81] согласно выбранной нами модели имеет
следующий вид:
, (2.2)
где
– поле магнитной анизотропии;
– среднее дипольное магнитное поле, действующее на произвольно выделенную
частицу (в начале координат) со стороны остальных.
Чаще всего диссипацию энергии учитывают путем введения в (2.1) релаксационного
слагаемого в форме Гильберта:
, (2.3)
где
– параметр затухания Гильберта.
Если вместо ввести параметр диссипации и учесть тепловое магнитное поле, то
получится уравнение Ландау-Лифшица
, (2.4)
где
(<< 1) – параметр затухания Ландау-Лифшица;
– модуль магнитного момента;
– гауссовское -коррелированное тепловое магнитное поле, которое, в свою
очередь, определяется соотношениями:
, (2.5)
где
– постоянная Больцмана;
– абсолютная температура;
– символ Кронекера;
– оси декартовой системы координат;
– d-функция;
черта над функцией обозначает усреднение по реализациям теплового магнитного
поля .
Согласно (2.4) модуль вектора является сохраняющейся величиной, поэтому
динамика магнитного момента однодоменной частицы может быть описана также
системой стохастических уравнений для полярного () и азимутального () углов
вектора [82]
. (2.6)
Здесь и далее по дважды повторяющимся скалярным индексам подразумевается
суммирование, , ,
, , (2.7)
а вследствие дальнодействующего характера диполь–дипольного взаимодействия
функции зависят от всех и определяются соотношениями
, (2.8)
Система стохастических уравнений (2.6) описывает многомерный диффузионный
марковский процесс, компонентами которого являются все углы . Это, в свою
очередь, означает, что их совместная функция распределения должна удовлетворять
уравнению Фоккера-Планка. Для нахождения общего вида уравнения Фоккера-Планка,
которое соответствует системе уравнений (2.6), будем интерпретировать уравнения
(2.6) как результат среднеквадратичного предельного перехода в неявной
разностной схеме
, (2.9)
где
, ,
, (2.10)
, а приращения винеровских процессов удовлетворяют условиям
, , (2.11)
где
– интенсивность теплового поля.
Выполняя разложение в ряд по малому параметру соотношения (2.9) с учетом
(2.10), в линейном приближении получим:
. (2.12)
Пусть – дважды дифференцируемая функция своих аргументов, которая явно не
зависит от времени. В соответствии с (2.6) ее приращение согласно (2.12) в
линейном по приближении может быть записано в виде
(2.13)
Усредним обе части соотношения (2.13). Усреднение функций и в левой части
проведем с функциями распределения и соответственно. Усреднение же правой части
(2.13) проведем в два этапа. Сначала на основании (2.11) усредним ее по
реализациям , а затем полученный результат усредним, используя совместную
функцию распределения величин :
Выполняя математические преобразования в левой и правой частях данного
соотношения получаем:
В результате, воспользовавшись произвольностью функции , после некоторых
математических преобразований получаем уравнение Фоккера-Планка [38, 83, 84]:
, (2.14)
которое отвечает системе уравнений (2.6).
Воспользовавшись соотно
- Київ+380960830922