РАЗДЕЛ 2
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ПОЛОСЕ
В этой главе мы рассмотрим алгебраические уравнения с голоморфными почти периодическими в полосе коэффициентами и покажем, что непрерывные решения таких уравнений всегда почти периодичны. Мы также рассмотрим мероморфные решения алгебраических уравнений. В этой главе мы получяем достаточные условия для того, чтобы непрерывное решение w(z) уравнения F(z,w)=0, с голоморфной почти периодической по z в полосе функцией F(z,w), было почти периодической функцией и получяем достаточные условия для того, чтобы непрерывное решение w(z) системы уравнений F(z,w)=0, с голоморфным почти периодическим по z в полосе отображением F(z,w), было почти периодическим отображением.
2.1. Непрерывные решения алгебраических уравнений
с голоморфными почти периодическими коэффициентами в полосе S
Приведем эквивалентные определения почти периодической функции на действительной оси.
Определение 2.1 Непрерывная функция f(z) называется почти периодической на действительной оси R, если f(z) принадлежит замыканию множества конечных экспоненциальных сумм
, ,
(2.1)
в топологии равномерной сходимости на R.
Эквивалентное определение следующее:
Определение 2.2 Непрерывная функция f(z) называется почти периодической на действительной оси R если относительно компактно в топологии равномерной сходимости на R.
Далее, пусть S полоса (a может быть - и b может быть +). Мы пишем если ,?a Приведем эквивалентные определения почти периодической функции в полосе.
Определение 2.3 Голоморфная функция f(z) называется почти периодической в полосе S если f(z) принадлежит замыканию множесва конечных экспоненциальных сумм (2.1) в топологии равномерной сходимости в каждой подполосе .
Отметим еще одно эквивалентное определение.
Определение 2.4 Голоморфная функция f(z) называется почти периодической в полосе S если семейство относительно компактно в топологии равномерной сходимости или в топологии равномерной сходимости в каждой подполосе .
Определение 2.5 Пространство голоморфных почти периодических функций в полосе S, снабженное топологией равномерной сходимости в каждой подполосе , обозначим AP(S).
Определение 2.6 Будем говорить, что последовательность функций сходиться к функции в пространстве AP(S), если в любой S', такой, что , последовательность сходится равномерно , т.е.
при (2.2)
(нетрудно видеть, что в этом случае f(z)AP(S)).
Определение 2.7 Нулевое множество функции fAP(S) обозначим Z(f).
Рассмотрим алгебраическое уравнение
(2.3)
где ak(z)- голоморфные почти периодические функции в полосе S для всех 0km.
Теорема 2.1. Пусть функция w(z) непрерывное решение (2.3) в полосе S и ak(z)- голоморфные почти периодические функции в полосе S для всех 0km. Тогда функция w(z)- голоморфная почти периодическая функция в полосе S .
В доказательстве теоремы используются две простых леммы о корнях полиномов вида
Q(w)=wm+bm-1wm-1+.....+b1w+b0. (2.4)
Для удобства читателя мы приведем эти леммы с доказательством.
Лемма 2.2. Для любого N<, >0, существует константа >0, зависящая только от N и , такая, что корни wj, j=1,...,m, и , j=1,....,m, произвольных полиномов , вида (2.4) c
,, ,
можно перенумеровать так, что будут выполнены неравенства , j=1....m.
Доказательство леммы 2.2. Предположим противное. Тогда существуют такие N<, и две последовательности полиномов
такие, что maxj|bj|N, maxj|j|N, maxj|bj-|0 при n, и
(2.5)
при любой нумерации корней wj(n), ,j=1,...,m, полиномов , соответственно. Не ограничивая общности, мы можем предположить, что
, , , при
Следовательно, последовательности полиномов , сходятся к полиному одному и тому же полиному
в топологии равномерной сходимости на каждом компактном подмножестве в C.
Обозначим Cj, j=1,...,p, pm, непересекающиеся круги радиуса с центрами в корнях полинома . По Теореме Гурвица, для достаточно больших n все корни полиномов , , лежат в этих кругах и число корней полинома Qn(w) в круге Cj совпадает с количеством корней полинома в этом же круге для каждого j=1,...,p. Следовательно, существует перенумерация корней полиномов , такая, что (2.5) не имеет места. Это противоречие доказывает лемму. Эту лемму в большей общности можно найти в ([60, стр.143]).
Лемма 2.3. Расстояние между любыми двумя корнями полинома Q вида (2.2.4) c дискриминантом больше чем , где постоянная зависит только от |d(Q)| и maxj|bj|.
Доказательство леммы 2.3.. Предположим противное. Тогда существует последовательность полиномов
такая, что
, ,
и расстояние между какой-то парой корней полиномов Qn стремится к нулю при . Не ограничивая общность, мы можем предположить, что , при ; следовательно, дискриминанты d(Qn) сходятся к дискриминанту полинома
и .По Лемме 1 для и и достаточно больших n, мы получаем, что расстояние между некоторыми двумя корнями полинома произвольно мало, то есть этот полином имеет кратный корень. Это противоречит тому, что . Лемма 2.3. доказана.
Доказательство Теоремы 2.1. Мы можем считать, что функция
am(z)0. Сначала предположим, что дискриминант D(z)0. Решение w(z) ограничено в некоторой окрестности каждой точки z'S. Кроме того, у каждой точки z'S такой, что am(z')0 и D(z')0, существует окрестность, в которой решение w(z) будет голоморфным (см.,([41, стр.215])). Так как нули функций am(z) и D(z) изолированны, то функция w(z) голоморфна в полосе S.
Покажем, что из произвольной последовательности {hn}R можно выделить подпоследовательность {hn'} такую, что функции