РОЗДІЛ 2
ОСЕСИМЕТРИЧНА ЗАДАЧА ВДАВЛЕННЯ ШТАМПА, ОБМЕЖЕНОГО ПОВЕРХНЕЮ ОБЕРТАННЯ, У ПРУЖНИЙ ШОРСТКИЙ ПІВПРОСТІР ПРИ ЛІНІЙНОМУ ЗАКОНІ ДЕФОРМУВАННЯ ШОРСТКОСТІ
Історично першою була розглянута задача про контакт штампа з пружним шорстким півпростором при лінійному законі деформування шорсткості
І.Я. Штаєрманом [109], а потім Г.Я. Поповим, В.В. Савчуком [81],
Б.Л. Митрофановим [72]. Тому саме з неї почнемо роботу.
Чисельний розв'язок задачі про вдавлення штампа, обмеженого поверхнею обертання, в пружний шорсткий півпростір при лінійному законі деформування шорсткості поверхнею для деяких показників шорсткості було наведено
Л.А. Галіним [19], І.Г. Горячевою, М.Н. Добичіним М.Н. [24], Г.Я. Поповим,
В.В. Савчуком [81], Б.Л. Митрофановим [72]. Наближений розв'язок спорідненої задачі передачі тиску через покриття вінклерівського типу знайдено В.М.Александровим [3].
Задачу розв'язано з використанням методу розкладу в степеневий ряд інтеграла рівняння, методу послідовних наближень, у якому розв'язок записується у вигляді ряду Неймана, і методу розкладу за малим параметром. Комбінація цих методів дозволяє розв'язувати задачі цього розділу. Цей підхід задає загальний напрямок до розв'язання всіх задач даної роботи.
У розділі наведено аналітичний розв'язок даної задачі для великих і малих показників шорсткості в класі неперервних на відрізку функцій ( - радіус круга контакту штампа з півпростором), який виражається через повторні ряди. У розділі також запропоновано метод наближеного обчислення всіх знайдених величин.
Розподіл нормального тиску під круговим плоским штампом, що вдавлюється в пружний півпростір з шорсткою поверхнею [19, 24] характеризується функцією , яка задовольняє інтегральному рівнянню
, (2.1)
для плоского штампа, або
(2.2)
для неплоского штампа. Тут - круг радіуса , - полярні координати, , , , , , - поглиблення штампа при вдавленні, і - показники шорсткості, - модуль пружності, - коефіцієнт Пуассона.
2.1. Задача для неплоского штампа у випадку великого коефіцієнта шорсткості
2.1.1. Аналітичний розв'язок задачі для загального вигляду поверхні штампа. Нехай поверхня штампа має рівняння , де
, (2.3)
а ряд у правій частині збігається на всій дійсній осі.
Розподіл нормального тиску під круговим у плані неплоским штампом, що вдавлюється вертикальною силою у пружний півпростір з шорсткою поверхнею, при лінійному законі деформування шорсткості (тобто в рівнянні (2.2) ) характеризується функцією , яка задовольняє інтегральному рівнянню [19, 24]:
. (2.4)
Розмір площадки контакту є невідомим. При контакті двох гладких пружних тіл для визначення невідомих границь користуються граничною умовою
, (2.5)
яка виражає неперервність тиску на границі тіла.
Запишемо основне рівняння (2.4) на границі площадки контакту . Будемо мати:
. (2.6)
Із (2.4) і (2.6) отримаємо таке рівняння [24]
. (2.7)
Рівняння (2.7) дозволяє знайти невідомий тиск , який перетворюється в нуль на межі площадки контакту .
Розглянемо оператор і функціонал на просторі неперервних на функцій, що мають вигляд [73]
, .
У відповідності до виразу для силової функції простого шару щільності у точці, яка лежить усередині шару, інтеграл, через який виражений оператор , можна записати у вигляді [34]
, (2.8)
Ряд у правій частині (2.8) абсолютно збігається для кожного значення , що задо-вольняє нерівності [34]. Ряд (2.8) отримано з розкладу за функціями Ле-жандра. За допомогою (2.8) і властивостей функцій Лежандра знайдемо :
.
Тут перший доданок перетворюється в нуль [60], тому
, (2.9)
, (2.10)
де для кожного , - повний еліптичний інтеграл другого роду з модулем [60].
Із ланцюжка нерівностей
(2.11)
випливає, що
Рівняння (2.7) перетворюється в інтегральне рівняння Фредгольма другого роду (2.12), яке в операторній формі має вигляд (2.13):
, (2.12)
. (2.13)
Якщо
, (2.14)
то, враховуючи (2.13), будемо мати .
Тоді рівняння (2.7) має єдиний розв'язок у класі неперервних на відрізку функцій, який записується у вигляді ряду Неймана [52] (тут ):
, (2.16)
Знайдемо . Нехай
. (2.17)
У точках кола
(). (2.18)
Враховуючи (2.9), (2.12), (2.17), (2.18), і той факт, що , будемо мати
(2.19)
Із (2.16) і (2.19) отримаємо
, (2.20)
де міститься у формулі (2.17).
Якщо ввести позначення
, (2.21)
то остання формула набуває більш компактного вигляду:
. (2.22)
Із (2.7), (2.13), (2.19), (2.20) маємо
. (2.23)
Якщо на круговий штамп діє вертикальна сила , спрямована вздовж осі симетрії, під дією якої штамп вдавлюється в пружний півпростір на глибину , то з умови рівноваги після підстановки в неї функції тиску (2.20) отримаємо
, (2.24)
. (2.25)
Із рівняння (2.4) знайдемо (тут ):
. (2.26)
Таким чином, доходимо висновку: для кожного , більшого, ніж , існує розв'язок рівняння (2.7), який є неперервною на відрізку функцією вигляду (2.22), яка перетворюється в нуль на границі круга контакту, тобто задовольняє умові (2.5). Розмір круга контакту обчислюється за допомогою (2.24), а глибина, на яку вдавлюється штамп, розраховується за формулою (2.26).
2.1.2. Аналітичний розв'язок задачі для штампа з поверхнею у вигляді параболоїда. Тепер розглянемо окремий випадок, коли поверхня штампа має форму параболоїда, тобто
, .
У цьому випадку функція тиску буде мати вигляд
, (2.27)
де міститься у формулі (2.17), . Функція тиску задовольняє умові
. (2.28)
Радіус круга контакту визначається за формулою (2.24) при
, (2.29)
а поглиблення штампа в пружний півпростір з шорсткістю обчислюється за формулою
. (2.30)
Отримана функція є розв'язком поставленої задачі для кожного ,