ГЛАВА 2
ПОЛУСОВЕРШЕННЫЕ ПОЛУДИСТРИБУТИВНЫЕ ПОЛУНАСЛЕДСТВЕННЫЕ КОЛЬЦА МОДУЛЬНО ОГРАНИЧЕННОГО ТИПА.
§2.1 Первичный радикал и первичный колчан ассоциативного кольца.
Важную роль в теории колец, наряду с понятием радикала Джекобсона, играет понятие первичного радикала кольца ([26], [31]).
Хорошо известно, что первичный радикал кольца является ниль-идеалом и содержится в радикале Джекобсона этого кольца.
Определение 2.1.1. Кольцо называется разложимым, если оно раскладывается в прямое произведение двух колец. В противном случае кольцо называется неразложимым.
Определение 2.1.2. [40, с.74] Кольцо называется конечно разложимым (-кольцом), если оно является конечным прямым произведением неразложимых колец.
Примерами -колец являются, в частности, нетеровы справа кольца, полусовершенные кольца, которые могут и не удовлетворять условиям обрыва возрастающих или убывающих цепочек идеалов ( т.е. не являются нетеровыми или артиновыми кольцами).
Для -колец имеет место следующая теорема единственности разложения.
Теорема 2.1.3. [40] Каждое -кольцо единственным образом раскладывается в конечное прямое произведение неразложимых колец, т.е., если - два таких разложения, то и существует перестановка чисел такая, что .
Определение 2.1.4. [40, с.220] Факторкольцо =A/Pr(A) будем называть диагональю кольца .
Отметим, что диагональ кольца всегда является полупервичным кольцом (т.е. кольцом, в котором нет нильпотентных идеалов) [26, Гл.3, §3.2].
Определение 2.1.5. [40, с.220] Кольцо будем называть кольцом с конечно разложимой диагональю (-кольцом), если его диагональ является -кольцом.
Предложение 2.1.6. [40, с.220] Пусть Pr(A) - первичный радикал кольца , . Тогда ePr(A)e совпадает с первичным радикалом кольца .
Учитывая это предложение и теорему 2.1.3, можно построить стандартное двустороннее пирсовское разложение первичного радикала Pr(A) произвольного кольца следующим образом:
Пусть - разложение диагонали -кольца в конечное прямое произведение неразложимых колец и - соответствующее разложение в сумму попарно ортогональных идемпотентов. Поскольку первичный радикал произвольного ассоциативного кольца является ниль-идеалом, то согласно [26, гл.3, § 3.6] идемпотенты можно поднять по модулю Pr(A) с сохранением ортогональности, т.е. имеет место равенство , где и. Ясно, что Pr(A) и Prk(A)=fkPr(A)fk - первичный радикал кольца . Поэтому двустороннее пирсовское разложение первичного радикала Pr(A) кольца имеет вид:
Pr(A), (*)
причем , т.е. .
Дадим определение первичного колчана произвольного кольца , используя обозначения этого параграфа.
Определение 2.1.7. Пусть W = Pr(A)/ Pr2(A). Сопоставим идемпотентам вершины , соединяя вершину с вершиной стрелкой с началом в и концом в тогда и только тогда, когда . Полученный конечный ориентированный граф будем называть первичным колчаном -кольца .
Очевидно, что и определен однозначно с точностью до перенумерации вершин. Кроме того, первичные колчаны -колец, эквивалентных в смысле Мориты, совпадают.
Отметим, что говоря колчан, мы, следуя Габриелю, подразумеваем конечный ориентированный граф, хотя в настоящее время широко используются и бесконечные колчаны, например колчаны Ауслендера - Райтен.
Приведем важное определение -нильпотентности, данное Бассом [33]. Мы следуем монографии [14, гл.11].
Определение 2.1.8. Правый (левый, двусторонний) идеал называется -нильпотентным слева (справа), если для любой последовательности элементов существует натуральное число такое, что произведение равно нулю. Идеал будем называть -нильпотентным, если он -нильпотентен справа и слева.
Отметим следующие два результата, доказанные в [14].
Теорема 2.1.9. Следующие условия равносильны для кольца с -нильпотентным первичным радикалом Pr(A):
(а) кольцо неразложимо;
(в) фактор-кольцо неразложимо.
Напомним, что колчан называется связным, если множество его вершин нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся подмножеств, между которыми нет стрелок.
С учетом теоремы 2.1.3 и определений этого параграфа, следствие 2.1.10 [18] можно сформулировать следующим образом:
Следствие 2.1.10. Пусть является -кольцом. Первичный колчан -кольца с -нильпотентным первичным радикалом Pr(A) связен тогда и только тогда, когда кольцо неразложимо.
§2.2 Конечно представимые модули над полусовершенными кольцами.
В этом параграфе мы описываем метод вычисления конечно представимых модулей над полусовершенным кольцом, который впервые был применен М.Ауслендером в случае артиновых алгебр, затем Ю.А.Дроздом в случае полуцепных колец [7] и изложен в [40, гл.9].
Напомним основные факты о полусовершенных кольцах, введенных Бассом в 1960 г. [33].
Класс полусовершенных колец, включающий артиновы справа кольца, полупримарные кольца, SBI - кольца, полуцепные кольца, оказался очень важным в структурной теории колец.
Отметим, что впервые в теории колец на этот класс не накладывались классические условия обрыва цепей идеалов.
Пусть A - кольцо R - его радикал Джекобсона. Кольцо A называется полусовершенным, если факторкольцо A/R артиново и идемпотенты можно поднимать по модулю радикала Джекобсона R.
Напомним, что идемпотент e кольца A называется локальным, если кольцо eAe является локальным.
Теорема 2.2.1.[44] Кольцо A полусовершенно тогда и только тогда, когда единица кольца раскладывается в конечную сумму взаимно ортогональных локальных идемпотентов.
Теорема 2.2.2. Кольцо A полусовершенно тогда и только тогда, когда оно раскладывается в прямую сумму правых идеалов, каждый из которых имеет в точности один максимальный подмодуль.
Доказательство в [14,§11.4], [17, §7].
Следовательно, полусовершенное кольцо может быть представлено в виде прямой суммы правых идеалов , где попарно неизоморфные неразложимые модули и - простые. М