РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РОТОРОВ
Как отмечалось выше, получение адекватной математической модели роторного механизма является необходимым этапом решения задач диагностирования. При этом модель должна удовлетворять ряду противоречивых требований, среди которых в первую очередь следует выделить то что, во-первых, она должна достаточно точно отражать свойства исследуемого ротора, т.е. быть довольно громоздкой, а во-вторых, быть достаточно простой для практического применения и не требовать при этом различных дорогостоящих технических средств. Учёт в той или иной мере этих требований приводит к различным математическим моделям.
2.1. Математическая модель ротора как механической системы
Решение задач снижения до заданной нормы уровня вибрации не только опор ротора, но и корпуса всего изделия, а также уменьшение прогибов ротора в различных сечениях и ограничение напряжений по длине ротора основано на построении математической модели исследуемого объекта - ротора сельскохозяйственной машины.
Собственные частоты колебаний ротора оказываются достаточно низкими, поэтому перемещение цапф ротора, вызываемые неуравновешенными центробежными силами, в основном определяются его массово-геометрическими параметрами. Плоское движение ротора исключает влияние гироскопических моментов, уравновешиваемых вертикальными реакциями опор.
Вследствие указанных причин достаточно хорошей динамической моделью ротора является тело, имеющее массу и экваториальный момент инерции ротора, колебательное движение которого вызывается проекциями вращающихся в различных плоскостях неуравновешенных центробежных сил и регистрируется в местах расположения его опор.
Такая механическая система имеет две степени свободы, поэтому для решения задачи о её движении может быть составлено, по крайней мере, два уравнения: одно из условия равновесия сил, другое - из условия равновесия моментов. Первое уравнение определяется неуравновешенными центробежными силами, характеризуемыми значениями главного вектора , и инерционными реакциями ротора, характеризуемыми главным моментом центробежных сил относительно центра массы ротора [2, 43, 44].
Используемые при этом известные положения теоретической механики основаны на предположении, что ротор является недеформируемым, т.е. он идеализирован как твердое тело. Реальный же ротор в рабочих условиях выгибается. Определить действительные значения и на рабочих оборотах достаточно сложно, но возможно их определение путем моделирования ротора как твердого тела.
Величины F и М для ротора определяются по известным зависимостям:
, (2.1)
где и - векторы центробежных сил и моментов дискретных масс.
Если учитывать только главные факторы, пренебрегая второстепенными, такими, как гироскопический момент и демпфирование, то выражение для центробежных сил и моментов принимают вид
, (2.2)
где тi - дискретная масса ротора; ? - угловая скорость ротора; еi - эксцентриситет дискретной массы; - прогиб ротора в i-м сечении; li - расстояние от центра массы ротора до i-й массы.
Значение прогиба вычисляется следующим образом:
, (2.3)
где аik - податливость ротора.
После подстановки выражения (2.3) в (2.2) получим системы линейных уравнений
(2.4)
решив которые, найдем и решение зависимостей (2.1).
По сути зависимости (2.1) и (2.4) являются математической моделью ротора, позволяющей определить величины и . Для исследования этой модели необходимо задаться значениями и углами вектора еi.
Значение эксцентриситетов || определяем как математическое ожидание случайной величины, распределенной по нормальному закону. Такой подход правомерен, так как значение || зависит от большого числа производственных факторов, оказывающих примерно одинаковое влияние.
Более сложный вопрос - обоснование угловых положений эксцентриситетов. Решение его может быть общим или частным в зависимости от принятого технологического процесса сборки. Например, если в процессе сборки ротора дискретные массы взаимно ориентируются относительно векторов эксцентриситетов, то схема угловых положений эксцентриситетов с учетом дисперсии будет определенной. В общем случае угол дисбаланса дискретной массы ротора - случайная величина, поэтому выбор углов эксцентриситетов - задача более сложная. Один из путей решения заключается в следующем.
Угол эксцентриситета дискретной массы - независимая случайная величина с равновероятностным законом распределения. Принимаем N возможных положений эксцентриситета по углу для каждой дискретной массы. Тогда количество возможных положений для n-массового ротора составит .
Подставив в уравнения (2.1) и (2.4) значения эксцентриситетов и последовательно решив их раз по числу возможных угловых положений эксцентриситета, получим соответственные значения и для ротора. Из их числа выделим ||, || и || || и разделим на несколько групп с интервалом и , затем построим гистограмму (в координатах частота значений - номер группы), по которой определим группу с наибольшим числом значений || и ||. Это и будет наиболее вероятное расположение углов эксцентриситетов на роторе.
Описанная последовательность является логическим алгоритмом для решения задач на ЭВМ. Отдельные звенья алгоритма можно изменять, например, вместо полного перебора К вариантов решений применить метод случайного поиска.
Неуравновешенность ротора приводит к появлению множества дисбалансов , , ..... , ( = 1,2,.... - число условных дискретных масс), определяемых по формуле
, ( i=1,2,....n) (2.5)
в различных плоскостях вращения.
Существенной помехой, искажающей информацию о дисбалансе, является имеющее место на практике непостоянство частоты вращения ротора. Поэтому математическая модель (2.1), (2.4), предполагающая пост